Кучность стрельбы на дальние дистанции: влияние разброса начальной скорости и БК на примере спортивной винтовки 33XC

УДК 623.442.58:519.224.2

Аннотация

В статье исследуется влияние технической кучности спортивной винтовки калибра 33XC, разброса начальной скорости и баллистического коэффициента (BC) пули Berger .338 300 gr на суммарную угловую кучность в диапазоне дистанций 100–2500 м. В представленных расчётных сценариях показано, что на дистанциях до 1000–1500 м винтовка 33XC, настроенная на более высокую техническую кучность, обладает очевидным преимуществом. Однако по мере увеличения дальности возрастает вклад в угловое рассеивание разброса скорости и BC, а вклад технической кучности снижается. Нелинейный характер влияния разброса скорости и BC связан с различиями во времени полёта и интенсивности торможения пуль на одинаковых по длине участках траектории.

Основной результат исследования состоит в выявлении предельной дистанции применения данного калибра и пули в 1500–2000 м, при которой вклад технической кучности в суммарную кучность еще высок, и вклад зависящих от дальности параметров пули еще не привел к неприемлемо большому рассеиванию облака пропаданий.

Статья будет полезна разработчикам спортивных винтовок и боеприпасов к ним, спортсменам-стрелкам, охотникам, а также всем любителям высокоточной спортивной стрельбы из нарезного оружия.

Работа выполнена в интересах мирового спортивного стрелкового сообщества по инициативе авторов и на их собственные средства, с использованием открытых источников информации.

Abstract

This article investigates the effects of the intrinsic precision of a 33XC target rifle, variations in muzzle velocity, and variations in the ballistic coefficient (BC) of the Berger .338 300 gr bullet on overall angular dispersion at distances of 100–2500 m. The computational scenarios presented demonstrate that, at distances of up to 1000–1500 m, a 33XC rifle tuned for greater intrinsic precision offers a clear advantage. However, as range increases, muzzle velocity and BC variations contribute increasingly to angular dispersion, while the relative contribution of intrinsic rifle precision decreases. The nonlinear effects of muzzle velocity and BC variations are associated with differences in flight time and deceleration over trajectory segments of equal length.

The principal finding of the study is the identification of a limiting effective range of 1500–2000 m for this cartridge and bullet combination, within which intrinsic rifle precision still makes a substantial contribution to overall precision, while range-dependent effects of bullet parameter variations have not yet caused an unacceptably large spread of impact points.

The article will be useful to designers of target rifles and ammunition, competitive shooters, hunters, and all enthusiasts of precision rifle shooting.

The study was undertaken on the authors’ initiative and funded entirely by them for the benefit of the global shooting sports community, using publicly available information.

Ключевые слова: Ключевые слова: спортивная винтовка; 33XC; внешняя баллистика; кучность; угловое рассеивание; начальная скорость пули; баллистический коэффициент; G7; стандартное отклонение; экстремальный размер группы; статистическое моделирование; ELR.

Keywords: sporting rifle; 33XC; external ballistics; precision; angular dispersion; muzzle velocity; ballistic coefficient; G7; standard deviation; extreme spread; statistical modeling; ELR.

Введение

В связи с ростом популярности соревнований в классе ERL (Extra Long Range) появляются все более совершенные образцы спортивных винтовок крупного калибра. Например, в опубликованных испытаниях комплекса Specter в калибре 33XC компании BespokeGun при настройке в трех точках подряд получен размер групп из трех выстрелов 0,09, 0,26 и 0,17 MOA, средний размер — 0,173 MOA [1]. Схожие результаты получены для комплекса Monolith 33ХС, у которого кучная полка включила семь посадок с шагом 0.003” со средней кучностью 0,187 МОА, что для ELR системы считается очень сильным результатом. Вместе с тем такие винтовки предназначены для стрельбы на сверхдальние дистанции. В дисциплине ELR с ними проводятся соревнования King of 1 Mile и King of 2 Miles [13]. Это делает весьма актуальным исследование зависимости кучности спортивных винтовок в калибре 33ХС от дистанции и, в частности, влияния разброса начальной скорости пули и баллистического коэффициента (BC) на изменение кучности с ростом дистанции.

Цель статьи – построить модель статистического рассеивания точек попаданий на разных дистанциях на основе уравнений внешней баллистики, провести исследование вклада технической кучности спортивной винтовки в калибре 33ХС, разброса начальной скорости и баллистического коэффициента пули Berger .338 300 gr в суммарную угловую кучность в диапазоне дистанций 100–2500 метров и определить предельную дистанцию для этих калибра и пули.

Материалы и методы

В спортивных винтовках калибра 33XC чаще всего применяются матчевые пули массой 300 gr, в основном, Berger .338 300 gr Hybrid OTM Tactical и Hornady .338 300 gr A-Tip Match [1, 4, 14]. Исследование проведено для пули Berger 300 gr. Для исследований применялись модели, разработанные на основе современной теории внешней баллистики, встроенные в статистические модели.

Настройка спортивной винтовки на экстремальную кучность как правило ведётся в контролируемых условиях на дистанции 100 метров. Кучность на этой дистанции преимущественно определяется конусом разлёта пуль из ствола. Однако на дальних дистанциях дополнительно появляется целый набор факторов, главными из которых являются разброс начальной скорости и баллистического коэффициента, изменение ветра между выстрелами, мираж. Различие роли углового рассеивания и внешних условий на коротких и дальних дистанциях рассматривается, в частности, в материалах Berger [4]. Наше исследование посвящено двум управляемым факторам – скорости и баллистическому коэффициенту (ВС).

Важно учитывать, что кучность изменяют случайные изменения от выстрела к выстрелу. Постоянная систематическая ошибка, одинаково смещающая все попадания, смещает СТП, но не изменяет размер группы [2, 3].

Обобщённая модель кучности

В работе в качестве основного показателя кучности использовано стандартное отклонение координат точек попадания от СТП. Для вертикали формулу кучности можно записать в виде:

или в более строгом виде:

где — чувствительность попадания к данному фактору на дистанции . Использование коэффициентов чувствительности и учёт ковариаций соответствуют общему закону распространения неопределённости [18].

Для оценки влияния на вертикальную составляющую кучности разброса начальной скорости и баллистического коэффициента необходима модель внешней баллистики.

Полная 6DOF-модель внешней баллистики

Полная модель с шестью степенями свободы учитывает поступательное движение и изменение ориентации пули [15]. Примем систему координат: — вперёд по линии стрельбы, — вправо, — вверх. Состояние пули:

где — координаты центра масс, — скорость центра масс, — кватернион ориентации пули, — угловая скорость в связанной с пулей системе координат. Индекс пишем отдельно, чтобы не путать с кватернионом . Базовая система уравнений:

Для осесимметричной пули:

Относительная скорость воздуха:

где — вектор ветра, — число Маха, — скорость звука, — динамическое давление, — площадь поперечного сечения пули.

Если — единичный вектор продольной оси пули, полученный из кватерниона ориентации, то малый вектор угла атаки и рыскания можно записать как:

Аэродинамические силы в компактной форме:

Итого:

Моменты:

Здесь — вектор угла атаки в связанной системе пули, — поперечная угловая скорость, — скорость собственного вращения пули вокруг продольной оси.

Исходные данные для полной 6DOF-модели

Реальные 6DOF-решатели требуют измеренных или рассчитанных аэродинамических таблиц конкретной пули. Lapua прямо указывает, что её 6DOF-расчёт основан на таблице аэродинамических коэффициентов для каждой пули: коэффициент аэродинамического сопротивления, определённый по доплеровским измерениям; производная коэффициента нормальной силы по углу атаки; производная коэффициента момента тангажа по углу атаки; демпфирование вращения вокруг продольной оси; аэродинамические производные устойчивости; сила Магнуса и момент Магнуса [15, 16].

Таким образом, для точного расчёта ELR-траекторий необходима индивидуальная драг-функция , измеренная доплеровским радаром и заданная таблицей Mach–, и точная 6DOF-модель. Однако для наших целей исследования вклада выбранных факторов в суммарное рассеивание облака попаданий достаточно менее точной, но более простой модели.

Модель типа Applied Ballistics / point-mass + G7 BC

В материалах Berger объясняется подход с использованием стандартных моделей сопротивления: при вводе G1/G7 BC стандартная кривая сопротивления масштабируется по заданному BC [6]. Брайан Литц предлагает баллистический калькулятор Applied Ballistics, основанный на point-mass и использовании баллистического коэффициента BC G1/G7 или конкретной функции сопротивления пули. Пуля представляется как материальная точка. Ориентация, прецессия, угол атаки, моментные уравнения, демпфирование вращения вокруг продольной оси и эффект Магнуса напрямую не интегрируются:

где: . Здесь — стандартная функция замедления G7. В практических баллистических решателях она обычно задана таблицей или кусочно-степенной аппроксимацией:

для соответствующего диапазона скоростей. Для современных длинных пуль с хвостовым конусом G7 обычно ближе к реальному сопротивлению, чем G1 [17].

В современных баллистических калькуляторах сопротивление пули может задаваться не одним числом или , а собственной функцией сопротивления пули где — коэффициент лобового сопротивления, — число Маха. Такая функция обычно задаётся таблицей. Подход Custom Drag Model (CDM) использует сопротивление конкретной пули, измеренное доплеровским радаром, без привязки к стандартным моделям G1/G7. Его преимущества особенно существенны в трансзвуковой и дозвуковой областях [6, 17]. В такой модели ВС вообще не используется. Пуля сравнивается не с эталонной G7-пулей, а рассчитывается по собственной аэродинамической кривой. Однако такое использование модели сопротивления значительно усложняет анализ его влияния в зависимости от дальности. Для целей нашего исследования принята модель с баллистическим коэффициентом G7.

Исходные данные для модели point-mass + G7 BC

Примем следующие исходные данные: пуля .338 Berger Tactical / Hybrid OTM, масса пули 300 gr = 19,44 г, диаметр пули 0,869 см = 8,69 мм, длина 4,630 см = 46,30 мм, начальная скорость 920–950 м/с, дистанция обнуления 100 м, высота прицела 5,8 см, дистанция расчета до 2500 м, ветер 0 м/с, температура 15 °C, давление 1013 mbar, влажность 50 %, плотность воздуха 1,2208 кг/м3, отношение к ISA ρ/ρ0 = 0,9966, скорость звука 340,3 м/с, твист 22,86 см = 9”, начальная скорость вращения 249000 об/мин. По странице Berger для 338 Cal 300 Grain Hybrid OTM Tactical указан G7 BC 0,421, хотя у Брайана Литца есть другие значения. Примем для нашей задачи G7 = 0,421. Для подтверждения работоспособности модели проведем расчет траектории полета пули Berger 338 Cal 300 gr Hybrid OTM Tactical на дистанцию 2000 метров (рис. 1).

На графике видно, что пуля сначала поднимается над линией прицеливания на высоту 16,101 метра примерно через 1200 метров после вылета из ствола, и далее ускоренно снижается, теряя скорость, до попадания в мишень. Скорость пули при этом в силу разного сопротивления падает нелинейно, что определяет и нелинейное время пролета одинаковых промежутков дистанции. В свою очередь, такой режим полета пули создает нелинейность точек вертикального попадания пуль в мишени на разных дистанциях. Однако в абсолютном выражении углы встречи с мишенью малы, что позволяет проекцию облака попаданий в мишень считать без искажения по вертикали.

Для своей задачи мы применили метод линеаризации и собственные модели внешней баллистики и статистических исследований. Основой примененного подхода стало представление координат точки попадания как функции исходных параметров внешней баллистики:

где — координаты точки попадания, — начальная скорость пули, — баллистический коэффициент, — плотность воздуха, — скорость ветра, — направление ветра, — дистанция стрельбы. В плоскости мишени, установленной на дальности L, эта зависимость может быть линеаризована: где — матрица чувствительности, а — вектор малых изменений исходных параметров. Для вертикальной поправки это можно записать в развернутом виде:

Такая запись дает не только итоговое облако расчетных попаданий, но и явные коэффициенты чувствительности. Например, можно непосредственно определить, насколько изменится вертикальная поправка при изменении начальной скорости на , баллистического коэффициента на , плотности воздуха, давления, температуры или ветра. Для научного анализа это принципиально важно, поскольку позволяет объяснить результат, а не только получить численное значение вероятности попадания. Дополнительным преимуществом линеаризации является возможность разложить суммарную неопределенность облака попаданий на отдельные составляющие:

В такой форме сразу видно, какой фактор является доминирующим источником ошибки: техническая кучность винтовки, скорость пули, баллистический коэффициент, сила и направление ветра, плотность воздуха, давление, температура, ошибка прицела, ошибка обнуления, округление кликов или другие факторы. Это делает модель удобной не только для расчета, но и для диагностики. Отличие нашего подхода от стандартного метода Монте-Карло состоит не в отказе от вероятностного анализа, который мы сами часто применяем, а в выборе более аналитической и диагностической формы этого анализа, которая позволяет ответить на вопросы, почему разброс именно такой, и какой фактор вносит главный вклад.

Статистическая модель технической кучности винтовки

Модель простая, но дает базовые опорные точки для всех последующих расчетов, поскольку рассматривается предельная кучность, которая могла бы реализоваться, если бы она определялась только начальным направлением разлета пуль (конусом линейного рассеивания). Добавление любых факторов нелинейного влияния на кучность только увеличивает рассеивание облака попаданий. Рассматривается идеализированный случай, когда все источники разброса, кроме разброса направления вылета пули из ствола σ_тех, отсутствуют: . Тогда кучность на любой дистанции определяется только случайными отклонениями направления вылета пуль из ствола. Это означает, что проекции облака попадания на мишени, расположенные на равных отрезках дистанции, образуют линейный конус разлёта. Пули движутся по криволинейным траекториям (рис. 1), но углы кривизны малы, что позволяет не учитывать угол проекции облака попаданий на мишень и считать, что на всех дистанциях пули заходят в мишени перпендикулярно их плоскости. Пусть угловые отклонения по двум осям независимы и нормально распределены: , где — техническая угловая кучность в MOA, — угловые отклонения в горизонтальной и вертикальной плоскостях. На дистанции линейные координаты точки попадания равны . Углы, на которых пуля входит в мишень, достаточно малые, и поэтому можно принять , тогда . Если задана в MOA, то линейный размер на мишени в сантиметрах равен , где = π/180/60. Именно поэтому на графике рис. 2 все линии кучности — прямые, выходящие из начала координат: при постоянной угловой кучности линейный размер группы растёт линейно с дистанцией. В этой идеализированной модели вероятность попадания в гонг диаметром 1 МОА (размер выделен жирной синей линией) не зависит от дистанции, поскольку мы приняли, что техническая кучность постоянна в MOA, и размер гонга тоже постоянен в MOA. То есть, гонг 1 MOA на 100 м и гонг 1 MOA на 2500 м в угловом смысле одинаковы, поэтому и группа, и гонг масштабируются с расстоянием одинаково.

На рис. 2 слева приведены зависимости линейных размеров групп от дистанции при разной технической кучности винтовки. Синяя жирная линия соответствует размеру гонга в 1 МОА. На рис. 2 справа представлен график вероятности попадания в гонг 1 МОА при разной технической кучности винтовки. Этот простейший случай интересен тем, что лучше, чем эта техническая кучность винтовки σ_тех, у нас уже не будет практически ни на какой дистанции. И если даже с ней вероятность попадания в цель будет невысока, то с добавлением возмущений от других факторов она снизится до значений, когда стрельба по этой цели потеряет смысл из-за низкой вероятности попаданий.

Вероятности попадания в гонг 1 МОА равны: MOA → , MOA → MOA → MOA → MOA → MOA → . Эта вероятность рассчитана для идеального совпадения СТП с центром прицеливания. Но даже в этом случае при размере группы 1 МОА каждая третья пуля проходит мимо, а при размере 1,5 МОА почти две из трех, в то время как при размере 0,2 МОА группа из 20 выстрелов попадает в мишень с очень большим запасом.

На рис. 3 изображена сравнительная картина стрельбы по гонгу размером 1 МОА на дистанции 1000 метров при технической кучности винтовки (размере групп) 0,2 МОА и 2 МОА.

Наглядно видно, что при размере группы 0,2 МОА попадание в мишень практически гарантировано, тогда как стрельба с размером группы 2 МОА превращается в лотерею: из 20 выстрелов в мишень попало только 7. Любое отклонение СТП от центра гонга еще больше уменьшает вероятность попадания в него. Любой дополнительный фактор (разброс скорости, баллистического коэффициента, влияние ветра и миража, и т. д.) еще больше уменьшает вероятность попадания в гонг.

Статистическая модель влияния разброса скорости

Перейдем в оценке кучности от экстремального размера группы ES_n к среднему квадратическому отклонению конуса рассеивания и разброса скорости Известно соотношение σ = 0,326 ES₅ [3], где ES₅ - экстремальный размер группы из 5 выстрелов. Пусть средняя начальная скорость будет, например, , а случайное отклонение скорости отдельного выстрела , , где, например, . Прицел считается обнулённым по средней траектории: . То есть пуля со средней скоростью попадает в центр мишени на каждой рассматриваемой дистанции, которую мы введем дискретно как 100, 500, 1000, 1500, 2000, 2500 метров. Общий механизм влияния вариации скорости между выстрелами на вертикальное рассеивание рассмотрен Б. Литцем [17]. Вертикальная ошибка в точке попадания пули от скорости на дистанции :

Для малых отклонений скорости эту зависимость можно линеаризовать:

Тогда среднеквадратическое вертикальное отклонение от разброса скорости:

В угловой мере, в MOA:

Итоговая вертикальная кучность с учётом технической кучности σ_тех равна:

где MOA —постоянная начальная угловая техническая кучность, а разброс скорости даёт дополнительную зависимую от дальности вертикальную составляющую. Кучность MOA эквивалентна размеру группы из 3 выстрелов ES₃ = 0,24 МОА и из 5 выстрелов ES₅ = 0,31 МОА, что вполне реально для лучших спортивных винтовок крупного калибра. Применение линейного приближения и сложение дисперсий при отсутствии корреляции соответствуют общему статистическому подходу [15].

Почему угловая кучность от разброса скорости меняется с дистанцией

Техническая кучность, связанная с разбросом начального направления пуль (конусом рассеивания), в первом приближении даёт постоянную угловую величину на всех дистанциях: . Если пули вылетели под углом MOA, то считается, что эта угловая ошибка остаётся на 100, 500, 1000, 1500, 2000, 2500 м. Есть, конечно, нюансы, особенно для дальних дистанций, которые мы опустим в данном исследовании. Но разброс скорости работает с ростом дистанции иначе. Он влияет не как начальный угол, а через время полёта и падение. При полете пули в вакууме действуют соотношения:

, ,

Тогда чувствительность падения траектории к скорости определяется как:

То есть линейная вертикальная ошибка от разброса скорости растёт примерно, как , а угловая ошибка растёт примерно, как L, потому что реализуется соотношение ∆Y/L. В реальной атмосфере сопротивление воздуха усиливает нелинейность, особенно на больших дистанциях и в трансзвуковой области. Поэтому угловой вертикальный вклад разброса скорости возрастает с дистанцией [17].

Тогда гравитационное падение можно записать как:

Пристрелка по средней скорости означает, что для угол вылета выбран так, чтобы пуля пришла в центр. Для другой скорости вертикальное смещение равно разности падений. Чувствительность к скорости считается центральной разностью:

где имеет размерность . и

Статистическая модель влияния разброса ВС

Теперь рассмотрим модель влияния разброса баллистического коэффициента ВС при исходных данных , и на тех же дистанциях 100, 500, 1000, 1500, 2000, 2500 метров. Разброс БС примем как аллистический коэффициент характеризует, насколько быстро пуля теряет скорость из-за сопротивления воздуха. Если у отдельных пуль в группе или в партии в целом реальный немного отличается, то при одинаковой начальной скорости они начинают по-разному тормозиться. Если то пуля имеет большее сопротивление, быстрее теряет скорость, летит дольше и приходит ниже средней траектории. Если , то пуля тормозится меньше, летит быстрее и приходит выше средней траектории [17, 7]. Поэтому разброс превращается в вертикальный разброс попаданий через цепочку: . На малых дистанциях этот эффект почти не успевает накопиться. Но на больших дистанциях, особенно после 1000–1500 м, даже маленькое отличие уже даёт заметную разницу во времени полёта и падении.

Пусть , , где , . Такое консервативно низкое значение мы взяли не потому, что оно в среднем такое (оно в среднем заметно больше), а потому, что для пули Berger 300 gr о нем нам пока вообще мало что известно, и чтобы брать большее значение, нужна хорошая доказательная база. Прицел обнулён по средней траектории: Вертикальное отклонение отдельной пули на дистанции : . Для малых отклонений аналогично скорости используем линейное приближение:

Тогда среднеквадратическое линейное отклонение будет равно:

В угловых единицах:

Суммарная вертикальная угловая кучность с учётом технической кучности будет равна:

Где примем .

Почему угловой разброс от BC меняется с дистанцией. Как и в случае со скоростью, угловая техническая кучность, связанная с разбросом направления вылета, в первом приближении в MOA постоянна: . Пуля, вылетевшая на MOA выше, в принятых приближениях сохранит этот угловой вклад и на 100 м, и на 1000 м. Но , как и скорость, влияет иначе. Он меняет всю историю торможения пули. Чем дальше летит пуля, тем больше накапливается разница , , . Поэтому линейная ошибка падения растёт быстрее, чем просто пропорционально дистанции, и угловая ошибка ∆Z/L тоже начинает расти с дистанцией. Именно поэтому на 100–500 м разброс , как и разброс скорости, практически невидим, а на 1500–2500 м он становится важным фактором вертикального рассеивания. Общая тенденция согласуется с опубликованным анализом влияния вариации BC между выстрелами [17; 7].

Расчётная модель. Для построения зависимости использована гладкая внешнебаллистическая аппроксимация:

где коэффициент торможения зависит от :

Модель откалибрована так, чтобы чувствительность к совпадала с расчетами по точной модели:

Чувствительность к считалась центральной разностью:

где имеет размерность .

Так как в задаче , то

9. Данные о технической кучности и разбросах скоростей и БК

Техническая кучность в условиях стрельбы с прочного бетонного стола и в закрытом тире у винтовок крупного калибра проверяется редко, поэтому статистики по ней немного. Тем не менее известно, что стабильный Extreme Spread 0,2 MOA из 5 выстрелов для крупного ELR-калибра следует считать исключительно высоким результатом. В этой связи обратим внимание, что по 3 группам из трех выстрелов для винтовки Specter 33ХС и по 7 группам для винтовки Monolith 33ХС при настройке мы получили средний размер групп 0,173 [1] и 0,187 МОА, то есть меньше, чем 0,2 МОА, а в пересчете на группы из 5 выстрелов 0,22–0,24 МОА. С другой стороны, на соревнованиях встречаются винтовки с технической кучностью хуже 1 МОА. Поэтому диапазон ES₅ = 0,2–1,5 МОА можно считать реалистичным.

Исходя из представленных данных, и с учетом соотношения σ = 0,326 ES₅ рабочим диапазоном технической кучности винтовки крупного калибра для проверки влияния разброса скорости и БС можно принять экстремальному размеру группы из 5 выстрелов ES₅ = (0,3–1) МОА.

Разброс начальной скорости в одной партии патронов принято задавать как , то есть как стандартное отклонение начальной скорости в или . Второй показатель — ES, extreme spread, то есть разность между самой быстрой и самой медленной пулей в данной серии, [19]. Без указания числа выстрелов он почти бесполезен, потому что ES растёт с числом выстрелов в группе [2, 3, 20]. Запишем формулы для оценки И ES_n. Пусть в серии выстрелов измерены скорости: Средняя скорость и ее выборочное стандартное отклонение и размах определяются по известным формулам [3, 19]:

,, .

Precision Rifle Blog, пересказывая Bryan Litz, приводит пример: если средняя скорость 3000 fps, а SD равен 10 fps, то около 68 % выстрелов будут между 2990 и 3010 fps, а около 95 % — между 2980 и 3020 fps. Для нашей модели. Тогда 68 % это 918–922 м/с, 95 %–916–924 м/с, 99,7 %–914–926 м/с. В fps , .

ES очень зависит от числа выстрелов, полностью зависит от двух крайних выстрелов и игнорирует все остальные, тогда как SD использует отклонения всех наблюдений [3, 19, 20]. Один и тот же патрон с одной и той же реальной даст разные ES в сериях из 5 и 20 выстрелов. С учетом сказанного в нашей работе мы используем записи: , а не .

В пересказе Bryan Litz на Precision Rifle Blog приведены ориентиры SD 20, 15, 10 fps и ниже [23]. Можно предложить условную шкалу: плохая стабильность, массовый заводской уровень — 6,1 м/с; лучше среднего заводского, но не уровень хорошего патрона — 4,6 м/с; цель большинства опытных релоадеров — меньше 3,0 м/с. Очень хороший уровень, сильный результат — 1,5–2,4 м/с; труднодостижимый и требующий строгой методики, исключительный уровень — 0,9–1,5 м/с. Пример SD около 3 fps в сериях из 10 выстрелов приведён автором блога C. Zant как его личное наблюдение [23].

Для релоадера самая большая статистическая ловушка — делать выводы по 3–5 выстрелам. Если вы отстреляли 5 выстрелов и получили это не значит, что вся партия имеет . При оценке стандартного отклонения из малой выборки возникает значительная статистическая неопределённость; малые выборки могут существенно искажать SD и ES, и поэтому вывод о параметре генеральной совокупности следует сопровождать доверительным интервалом [3, 21, 22].

Физическая цепочка влияния скорости на точку попадания такая: . Более медленная пуля летит дольше и падает ниже. Более быстрая — летит меньше времени и приходит выше [17]. Berger в статье о SD и «bell curve» также приводит пример значительной разницы падения на 1500 ярдах; в опубликованном примере сравниваются скорости 2980 и 3020 fps, то есть разность составляет 40 fps [8]. В анализе PRB по матчу PRS пример с 6.5 Creedmoor на 1033 ярда показал, что SD 20 fps давал около 70 % вероятности попадания в модельных условиях, а SD 5 fps — около 87 %; при этом автор подчёркивает, что другие факторы, включая ветер, дальность и механическую кучность, тоже входят в общую неопределённость [24].

В научном исследовании целесообразно использовать несколько сценариев разброса скорости, например, исключительно высокий уровень σ_V0 = 1 м/с, очень хороший ERL/F-class уровень 1,5 м/с, реалистичный для точного релоадинга уровень 2 м/с, хороший практический уровень 3 м/с, средний 5 м/с, слабый для ERL выше 6 м/с. Можно также оперировать обобщенными и относительными величинами, уменьшая число переменных в формуле суммарного разброса кучности. Но у каждого исследования есть цель, и для нашего мы остановились на двух значениях разброса скорости – 1 м/с и 2 м/с.

По разбросу BC гораздо меньше объем достоверных данных. Одна и та же фраза «разброс BC 1 %» может означать разные вещи, например= 1 % от среднего ВС или ES = 1% от среднего ВС или ВС лежит в пределах Это три разные величины. В статье Bryan Litz, перепечатанной Shooting Sports USA, используется термин SD of BC, то есть стандартное отклонение баллистического коэффициента. Там сказано, что Doppler radar позволяет измерить BC каждого отдельного выстрела и определить SD of BC. В той же статье приведена важная шкала: очень качественные пули могут иметь BC SD около 0,4–0,6 %, типичные — около 0,8–1,2 %, а отдельные проблемные пули — 1,5–2,0 % и более. Там же пример: измеренное при среднем BC 0,368 интерпретируется как 0,3 %. Это однозначно показывает, что проценты считаются как , то есть это относительное СКО, а не размах и не ± [17]. Berger рассматривает геометрическую неоднородность и нарушения устойчивости как разные причины вариации BC между выстрелами [9]. Для Long Range Hybrid Target с Meplat Reduction Technology измерялись BC SD порядка 0,5 % и 0,3 %, а у некоторых длинных тяжёлых пуль других производителей встречались BC SD 2–3 % и более. В статье Berger Shot-to-Shot Consistency приведён пример большого разброса: средний G7 BC, определённый на интервале от 0 до 1700 ярдов, около 0,290; в серии из 10 выстрелов максимум 0,301, минимум 0,283; SD равен 0,006, а ES — 0,018 [7]. Относительно среднего 0,290 это 2,1 % BC SD, а полный размах 6,2 %. В той же статье приведён хороший пример: Berger 6.5 mm 140 gr Hybrid Target со средним BC 0,316, ES 0,006 и SD 0,002. Это 0,63 % SD и 1,9 % ES. Эти примеры хорошо показывают, что SD = 0,5 % от номинала – это уже близко к предельному значению, и также показывают, почему нельзя смешивать SD и ES: в одном и том же наборе данных ES в несколько раз больше SD. Отметим, что данные о других моделях пуль не должны автоматически распространяться на Berger 300 gr Hybrid OTM Tactical.

Все это означает, что если в материалах Bryan Litz / Applied Ballistics / Berger встречается фраза вроде “BC SD = 1 %”, то это, как правило, σ_ВС/ВС ∙ 100% = 1%. То есть это относительное стандартное отклонение BC, а не «плюс-минус 1 %» и не полный размах от минимального до максимального BC. Поэтому для оценки разброса BC между выстрелами удобнее опираться на данные Applied Ballistics/Berger, где прямо используется понятие [17; 7].

Форумные обсуждения ВС полезны как практический фон, но редко дают строгую величину . Обычно там смешиваются четыре разных вопроса: отличие заявленного BC от реального; отличие среднего BC одной партии от другой партии; изменение BC с дальностью или скоростью; разброс BC от пули к пуле внутри одной партии. Чаще всего встречаются обсуждения геометрии пуль. Это полезно для оценки геометрической стабильности, но это не прямое измерение BC SD. Связь есть: разница в геометрии влияет на разницу в сопротивлении [9; 11], но перевести «тысячные дюйма по оживалу» в без независимых аэробаллистических измерений нельзя. Возможности измерения BC по скорости, времени полёта и доплеровским данным рассмотрены в [12].

Для нашей модели с можно было бы использовать такую шкалу, которая согласуется с формулировками Shooting Sports USA / Bryan Litz и Berger: 0,4–0,6 % — очень качественные пули с подрезанным (выровненным) и ужатым носиком (меплатом); 0,5–1 % - высококачественные матчевые пули из коробки; 0,8–1,2 % — типично хорошие пули; 1,5–2,0 % — проблемные, как правило, длинные, чрезмерно высокий разброс; 2–3 % - очень некачественные пули. Berger также говорит о стандарте SD ниже 1 % и о случаях 0,5 % и 0,3 %.

Для нашей пули если , то . Это в 4 раза больше взятого Если считать распределение примерно нормальным, то около 68 % пуль будут находиться в пределах то есть . Около 95 % пуль будут в пределах примерно то есть . Если брать модель для хороших матчевых пуль, нужно считать несколько сценариев: — уникальный очень оптимистичный случай с сортировкой и доработкой пуль, около 0,24 % SD; — реалистично очень хороший случай, около 0,48 % SD; σ_ВС = 0,004–0,008 — около 2 % SD, проблемный случай для ELR. Для пули в основной модели будем использовать = 0,001 как предельный случай, как разумный рабочий вариант для очень качественных матчевых пуль, а как сценарий «1 % BC SD», то есть более распространенный среди спортсменов случай.

Исходя из проведенного анализа, при соответствует исключительно малому относительному BC SD = 0,237 %. Это очень оптимистичный уникальный разброс, значительно лучше, чем многие приведённые публичные примеры [17; 7]. Но у нас пока нет надежных данных о разбросе пули Berger 300 gr Hybrid OTM (Tactical) из коробки, и тем более нет данных, какой разброс мы получим после сортировки пуль, подрезки и ужатия носика, поэтому исследуем влияние разброса ВС при предельно высоком значении , но также проведем расчеты и при значении [21; 20].

Результаты и обсуждение

Влияние разброса скорости и ВС на кучность

Результаты расчета влияния разброса начальной скорости на суммарную угловую кучность приведены на рис. 2а, а на линейный размер облака попаданий на рис. 2б. Исходные данные для расчета: V₀ = 920 м/с, σ_V0 = 2 м/с, σ_тех = 0,1 и 0,2 МОА. Техническая кучность винтовки в MOA в нашей модели вносит постоянный вклад в суммарную кучность, потому что она задаётся угловым конусом вылета пуль. Но ошибка от разброса скорости не является постоянной угловой величиной. Она накапливается через время полёта и гравитационное падение. Поэтому на малых дистанциях м разброс скорости почти не снижает угловую кучность. На 1000 м разброс скорости уже становится сопоставимым с технической кучностью, а на 1500–2500 м становится одним из главных факторов вертикального рассеивания.

На 2000 м даже при отличной технической кучности MOA разброс скорости увеличивает вертикальную сигму до .

На 2500 м модель дает уже , увеличение размера облака попаданий в 7 раз.

На правом графике рис. 4 принят угловой размер технической кучности σ_тех = 0,2 МОА, в два раза больше, чем на левом графике, поэтому вклад разброса скорости незаметен до 1000–1200 м, после чего линейный размер облака попаданий на мишени начинает быстро увеличиваться, и при начальном размере = 0,58 см увеличивается до 55,3 см на дистанции в 2500 м, то есть, почти в 100 раз. При этом размер облака попаданий только от технической кучности составил 14,54 см, линейно увеличившись со 100 до 2500 м в 25 раз.

Результаты расчета влияния ВС на суммарную угловую кучность приведены на рис. 3а, а на линейный размер облака попаданий в σ на рис. 3б. Исходные данные для расчета: V₀ = 920 м/с, σ_V0 = 2 м/с, σ_тех = 0,1 и 0,2 МОА, σ_ВС = 0,001. На 100 м влияние разброса почти также, как и скорости - практически равно нулю: , и общая кучность равна технической: Нелинейное влияние ВС на суммарную кучность начинается позже, чем у скорости, но темпы роста влияния с дистанцией по сравнению со скоростью выше. На 1500 м вклад становится сопоставимым с технической кучностью: . На 2000 м разброс уже доминирует над технической кучностью: , . На 2500 м модель даёт уже очень сильный рост: , .

Если представить те же результаты в сантиметрах (рис. 5 справа), то на дистанциях 100, 500, 1000, 1500, 2000, 2500 метров вертикальное среднее квадратическое отклонение точки попадания Ϭ_∑ равно 0,29, 1,46, 3, 5,55, 12,88, 33,05 см. Линейный размер облака попаданий на дистанциях 100 и 2500 м различается в 114 раз. Если взять классический интервал 3Ϭ∑, то отклонения точек попадания на дистанции 2000 м с вероятностью примерно 99,73 % будет по 39 см в обе стороны от точки прицеливания, а на дистанции 2500 м уже по 100 см в обе стороны от точки прицеливания. Таких больших отклонений стрелки часто не видят только потому, что количество выстрелов у них как правило ограничено. Если стрелять много, такие разбросы проявятся.

Совместная модель влияния разброса начальной скорости и БК на суммарную кучность в зависимости от дистанции имеет вид:

где . Исходные данные: .

Графики совместного влияния скорости и BC для угловой и линейной кучности приведены на рис. 4. На 500 м разброс скорости уже даёт заметную, но еще небольшую добавку: На 1000 м скорость становится главным фактором вертикали: . На 2000 м суммарная вертикальная сигма возрастает почти до При этом вклад BC уже превышает вклад технической кучности: . На 2500 м модель показывает резкий рост: .

На рис. 6б приведены зависимости размеров облака попаданий в см при действии сразу двух факторов. Видно, что линейный размер облака рассеивания при действии всех трех факторов, выраженный в σ_∑, вырос до 65 см, то есть, увеличился в 112 раз. То есть, с вероятностью 95 % интервал суммарного разброса может составить более 250 см.

Мы брали в расчетах в основном техническую кучность 0,1 МОА, среднее квадратическое отклонение скорости 2 м/с и предельно низкий разброс ВС 0,001. При изменении этих данных соответственно будет меняться доля кучности, зависящая от дистанции, вклад каждой составляющей и предельная дистанция, на которой влияние разброса скорости или ВС становится критичным. Чем меньше разброс ВС, тем больше вклад разброса скорости. Однако даже при предельно низком разбросе ВС его вклад, начиная от 1000–1500 метров, составляет значительную часть от суммарной кучности. Поэтому мы провели еще расчеты для другого крайнего, но реалистичного значения разброса ВС. При средней скорости V0 = 920 м/с, разбросе скорости σ_V0 = 1 м/с и 2 м/с, технической кучности σ_тех = 0,1 МОА, среднем значении ВС = 0,421 мы взяли разброс σ_ВС = 0,00421, или 1 % от среднего значения. Результаты расчетов представлены на рис. 5. На графиках видно, что в этом примере разброс ВС начал доминировать намного раньше. При переходе от к вклад разброса BC резко возрастает и уже на дистанциях больше 1200 м становится доминирующим. Снижение разброса скорости с до м/с помогает немного снизить общий разброс, но при таком большом главный рост вертикальной кучности уже определяется именно BC.

Также было проверено влияние увеличения разброса скорости до 3 м/с и 5 м/с (рис. 7). До 500 м влияние ещё умеренное. На 750 метрах влияние уже значительное, а на 1000 м суммарная сигма уже в 2,5 раза больше технической. На 2000 м она становится более 1 MOA. В этом сценарии на средних дальностях основной рост создаёт скорость, но к 2000–2500 м вклад BC становится сопоставимым и затем доминирует. При скорость становится очень сильным источником вертикали уже с 600 м. На 1500 м общая угловая кучность превышает техническую более чем в 7 раз, а на 2000 м — почти в 14 раз.

Кривая технической кучности остаётся горизонтальной линией. Кривая скорости растёт быстрее в диапазоне 500-1500 м, но потом уступает влиянию ВС. Кривая BC на малых дистанциях почти прижата к нулю, но затем резко поднимается, потому что различие в сопротивлении накапливается по мере полёта.

При большом и малом разбросе скорости BC начинает доминировать и давать сильную вертикаль. При на 2500 м вклад BC уже больше вклада скорости. При на 2500 м вклад скорости и BC становятся почти равными.

Практический вывод. Если техническая кучность винтовки , то суммарная кучность остается относительно неизменной только на дистанциях до 500 метров и только при очень малых разбросах скорости. При и на дистанциях 1500–2500 м вертикальная кучность уже почти целиком определяется не технической кучностью винтовки, а качеством патрона и пули. уже заметно ухудшает вертикаль после 1000 м, а становится недопустимо большим для точной ELR стрельбы. Для дистанций 1500–2500 м такая комбинация даёт уже не «тонкую поправку», а кратное увеличение вертикального размера группы.

Сравним теперь влияние разброса скорости и ВС при высокой MOA и низкой технической кучности σ_тех = 0,5 МОА (рис.7, табл.1).

Из графика и таблицы хорошо видно, что при сверхвысокой технической кучности 0.07 MOA абсолютный суммарный на этом уровне до 500 м, а дальше он нелинейно растет.

Таблица 1.

Сравнительная таблица технической и суммарной кучности

При 0.5 MOA на дистанциях до 1000 м наблюдаемая угловая кучность определяется в основном технической кучностью системы. Поэтому разница между винтовкой с MOA и винтовкой с MOA проявляется очень резко. Предельная дистанция, на которой баллистические факторы в относительном влиянии начинают доминировать и преимущества высокой технической кучности значительно утрачиваются, для 0.07 MOA начинается примерно с 1000 м, а при 2100 м доля вклада σ_тех в суммарную кучность уже не превышает 10 %.

На дистанции 2500 м вклад σ_тех в σ_∑ составляет около 5 %. При σ_тех = 0.5 MOA на ближних и средних дистанциях техническая кучность сама по себе уже велика, поэтому вклад скорости и BC менее заметен, а выигрыш к суммарной кучности велик. На дистанции до 1500 м преимущество высокой технической кучности неоспоримо. Однако к 2000–2500 м суммарная кучность в обоих случаях начинает доминировать над технической, и различие между двумя системами уменьшается. Например: на 1000 м MOA 4.73 см, MOA 15.16 см; на 2500 м MOA 96.81 см, MOA 103.29 см. То есть на очень больших дистанциях преимущество сверхмалой технической кучности заметно уменьшается, поскольку основную роль начинают играть разброс скорости и разброс BC. Это, конечно, не говорит о том, что при стрельбе на сверхдальние дистанции высокая техническая кучность не нужна. Стрелок с винтовкой лучшей кучности имеет преимущества на всех дистанциях, а на дистанциях до 1000–1500 м преимущество сверхвысокой технической кучности проявляется очень убедительно, и сохраняется дальше, если одновременно обеспечены малые и . Но с ростом дистанции вклад разброса начальной скорости и баллистического коэффициента нелинейно растёт. Чем выше кучность, тем меньше дистанция, на которой влияние разброса скорости и ВС становится доминирующим.

Мы провели анализ зависимости кучности от дистанции по вертикали. А если речь о полной группе по мишени, то главный дополнительный фактор — это, конечно, случайный профиль бокового ветра по траектории. Анализу влияния случайного профиля ветра по траектории мы посвятим следующее наше исследование. Пока примем одинаковый разброс по вертикали и горизонтали и представим, какой может быть реалистичный вид мишеней на различных дистанциях. На рис. 10 представлено 6 мишеней, точки попадания на которых рассчитаны с одинаковыми условиями: среднее значение V0 = 920 м/с, разброс скорости σ_V0 = 2 м/с, среднее значения ВС = 0,421, разброс σ_ВС = 0,0025, техническая кучность σ_хтех = σ_yтех = 0,1 МОА (ES₅ = 0,3 MOA). Угловой размер облака попаданий на этих мишенях при одной и той же технической кучности винтовки растет, и на дистанциях 100, 500, 1000, 1500, 2000, 2500 м σ_∑ = 0,1, 0,114, 0,177, 0,336, 0,669, 1,333 МОА. Если перевести кучность в более привычный стрелкам размер групп, то на дистанции 100 м размер групп ES₅ = 0,3 МОА, а на дистанции 2500 м мы получили размер групп уже ES₅ = 4 МОА, или почти в 14 раз хуже технической кучности.

Угловой размер мишеней. Нужно обратить внимание, что на мишенях рис. 8 принят именно угловой размер в MOA. То есть, все мишени имеют одинаковый размер в МОА, а их реальный линейный размер на местности с ростом дистанции увеличивается пропорционально дистанции. В последнем варианте для дистанции 2500 м было принято поле мишени 5 х 5 МОА, то есть от до по горизонтали и вертикали.

Если все мишени сделать одинакового физического размера, например, 2х2 м, тогда визуальное сравнение будет уже другим: физически одинаковая мишень на дальних дистанциях займет всё меньший угловой размер. Как известно, линейный размер 1 MOA на дистанции равен 1 МОА = 2,9089 ∙ L/100 м. Тогда 1 МОА на дистанциях 100, 500, 1000, 1500, 2000, 2500 м равен 2,91, 14,54, 29,09, 43,63, 58,18, 72,72 см. Поэтому линейные размеры мишеней на этих дистанциях равны 5 х 5 МОА или соответственно 14.54 × 14.54, 72.72 × 72.72, 1.45 × 1.45, 2.18 × 2.18, 2.91 × 2.91, 3.64 × 3.64 см. То есть, на 100 м поле мишени вместе с подложкой получилось около 14.5 см, а на 2500 м — уже около 3.64 м.

Концентрические круги через 0,5 МОА означают, что радиусы кругов идут с шагом 0,5, 1,0, 1,5, 2,0, 2,5 МОА. Например, центральный круг радиусом 0.5 MOA имеет диаметр 1 MOA. На 2500 м , поэтому диаметр круга 1 MOA на такой дистанции , а всё поле 5 MOA

Для шести мишеней рис. 10 рассчитаем вероятность попадания в центральный круг диаметром . Радиус круга На мишенях было принято двумерное нормальное распределение с одинаковыми отклонениями по горизонтали и вертикали: . Из табл. 2 следует, что до 1000 м вероятность попадания в центральный круг диаметром 1 MOA остаётся очень высокой. После 1500 м вероятность резко падает. На 2000 м она равна 24%, а на 2500 м всего 6,8. То есть, по принятой модели при , центральный круг 1 MOA уверенно поражается до 1000 м, но на 1500–2500 м вероятность быстро падает из-за снижения суммарной угловой кучности от разброса скорости и BC.

При несовпадении СТП с центром мишени или влиянии ветра и миража вероятность попасть в круг диаметром 1 МОА на дистанции 2500 м при использованных данных мала. Это можно понимать так, что пуля 300 gr с BC = 0,421, и соответственно, калибр 33ХС могут уверенно поражать мишени до дистанций 1500 – 2000 м, но являются недостаточными для надежного поражения мишеней на дистанциях выше 2000 м.

Таблица 2.

Расчет вероятности попадания в центральный круг 1 МОА

Проведенные исследования показывают, что обеспечение прежде всего экстремальной технической кучности Ϭ_тех ≤ 0,1 МОА (ES₅ ≤ 0,25 МОА), и затем минимального разброса скорости и ВС Ϭ_V0 ≤ 1 м/с и Ϭ_BC ≤ 0,3–0,5 % от номинала являются целевыми задачами спортсмена, рассчитывающего на победу в высокоранговых соревнованиях ERL. Мишени на 2000 и 2500 м показывают, что 1500–2000 м – это уже предел эффективного применения пули Berger 300 gr и винтовки в калибре 33ХС. Эти дистанции требуют применения винтовок больших калибров с более тяжелыми пулями с более высоким BC.

Заключение

В статье исследуется влияние технической кучности спортивной винтовки калибра 33XC, разброса начальной скорости и баллистического коэффициента (BC) пули Berger .338 300 gr на суммарную угловую кучность в диапазоне дистанций 100–2500 м. В представленных расчётных сценариях показано, что на дистанциях до 1000–1500 м винтовка 33XC, настроенная на более высокую техническую кучность, обладает очевидным преимуществом. Во всем диапазоне исследованных дистанций стрелок с максимальной кучностью винтовки также получает преимущество перед другими. Однако по мере увеличения дальности возрастает вклад в угловое рассеивание разброса скорости и BC, а вклад технической кучности снижается.

Основной результат исследования состоит в выявлении предельной дистанции применения винтовки данного калибра и пули в 1500–2000 м, при которой вклад технической кучности в суммарную кучность еще высок, и вклад зависящих от дальности параметров пули еще не привел к неприемлемо большому рассеиванию облака пропаданий. Также не только выявлено, что для стрельбы на дальние дистанции одинаково важным является настройка винтовки на экстремальную кучность, обеспечение минимального разброса скорости и ВС, но и получены целевые значения этих параметров.

Дальнейшая проверка выводов предполагает сопоставление расчётов с результатами натурных испытаний и отдельный анализ случайного ветрового воздействия.

Список литературы

References