ГИБРИДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОТКАЗОВ ОБЪЕКТОВ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ НА ОСНОВЕ ПОЛУМАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА С КОВАРИАТНО-ЗАВИСИМЫМ ЯДРОМ И АЛГОРИТМОВ МАШИННОГО ОБУЧЕНИЯ

УДК 004.94

Аннотация

Статья посвящена разработке гибридной математической модели прогнозирования отказов объектов телекоммуникационной инфраструктуры. Актуальность работы обусловлена непрерывным ростом масштабов сетей связи и ужесточением требований к коэффициенту готовности оборудования в условиях цифровой трансформации экономики. Предложенная модель интегрирует неоднородный полумарковский процесс с ковариатно-зависимым ядром и алгоритмы многоклассовой классификации, преодолевая ключевые ограничения как классических стохастических моделей (стационарность параметров переходов), так и методов машинного обучения (слабая интерпретируемость). Объектами исследования выступают критически важные узлы гетерогенных сетей связи: оборудование оптического транспортного уровня DWDM и узлы пакетной коммутации IP/MPLS. Предиктивный блок модели реализован на основе многоклассовой логистической регрессии с функцией активации Softmax, обеспечивающей динамический расчёт ковариатно-зависимой матрицы переходов по данным оптической, пакетной и аппаратной телеметрии. Стохастический блок моделирует законы распределения времени пребывания в состояниях с использованием распределений Вейбулла и логнормального, выбор которых обоснован эмпирическими данными отрасли. Разработан двухэтапный метод статистической идентификации параметров, обеспечивающий декомпозицию невыпуклой задачи совместного оценивания на две независимые выпуклые подзадачи с гарантией единственности глобального минимума. Выведена аналитическая формула динамического остаточного ресурса RUL(t) и целевая функция минимизации удельного времени простоя оборудования. Предложен алгоритм адаптивного предиктивного технического обслуживания. Доказана устойчивость модели к малым возмущениям телеметрических данных. Результаты создают строгий математический фундамент для реализации систем предиктивного обслуживания, обеспечивающих выполнение SLA-требований по коэффициенту готовности.

Abstract

A hybrid mathematical model for predicting failures of telecommunication infrastructure objects is proposed, integrating a non-homogeneous semi-Markov process with multi-class classification algorithms. The model includes a predictive block based on multi-class logistic regression for the dynamic calculation of a covariate-dependent transition matrix using optical, packet, and hardware telemetry data, and a stochastic block that models state sojourn time distributions using Weibull and log-normal distributions. A two-stage statistical parameter identification method has been developed, providing the decomposition of a non-convex problem into two independent convex subproblems. An objective function for minimizing specific equipment downtime is derived, and an algorithm for adaptive predictive maintenance is proposed. An analysis of the model's robustness to telemetry data noise has been conducted.

Ключевые слова: полумарковский процесс, машинное обучение, прогнозирование отказов, телекоммуникационная инфраструктура, предиктивное техническое обслуживание, коэффициент готовности, остаточный ресурс.

Keywords: semi-Markov process, machine learning, failure prediction, telecommunication infrastructure, predictive maintenance, availability factor, remaining useful life (RUL).

Введение

Развитие современной информационно-телекоммуникационной инфраструктуры сопровождается непрерывным ростом масштабов сетей и усложнением архитектуры. Надежность оборудования становится ключевым фактором стабильной работы государственных и корпоративных сервисов. Отказы оптических систем передачи и узлов коммутации ведут к нарушению связи, снижению качества обслуживания (QoS) и невыполнению соглашений об уровне сервиса (SLA) [1, 2].

Для анализа надёжности технических систем применяются различные математические методы, однако каждый из них имеет существенные ограничения. Марковские и полумарковские модели описывают динамику состояний системы, но в классическом виде предполагают стационарность параметров переходов [3]. Методы машинного обучения демонстрируют высокую эффективность в поиске скрытых зависимостей, но обладают слабой структурной интерпретируемостью и не позволяют напрямую анализировать системные показатели надёжности [4]. Анализ выживаемости и модели Кокса ориентированы на прогнозирование времени до единственного терминального отказа невосстанавливаемого элемента, что недостаточно для гетерогенных сетей со структурным резервированием [5].

Указанные ограничения формируют фундаментальную научную проблему: необходимость разработки методов, объединяющих аналитическую строгость стохастических процессов и предиктивную мощность алгоритмов машинного обучения. Целью настоящей работы является разработка гибридной математической модели, интегрирующей неоднородный полумарковский процесс с ковариатно-зависимым ядром и алгоритмы многоклассовой классификации для прогнозирования отказов и оптимизации технического обслуживания объектов телекоммуникационной инфраструктуры.

Материалы и методы

Объектом исследования выступают критически важные узлы гетерогенных сетей связи: оборудование оптического транспортного уровня (DWDM) и узлы ядра пакетной коммутации (IP/MPLS). Системы мониторинга осуществляют непрерывный сбор телеметрических данных, структурированных в три группы: параметры оптического уровня Xopt (OSNR, мощности приёма/передачи, pre-FEC BER); параметры пакетного уровня Xnet (задержка, джиттер, потери пакетов); аппаратные параметры Xhw (температура трансиверов, загрузка CPU). В любой момент времени t ≥ 0 состояние описывается многомерным вектором ковариат X(t) ∈ R^d.

Для математического описания эволюции технического состояния вводится конечное фазовое пространство E = {S1, S2, S3, S4}, разбиваемое на подмножество работоспособных состояний U = {S1, S2, S3} и подмножество отказа D = {S4}: S1 — нормальное функционирование; S2 — деградация (предаварийное состояние); S3 — частичный отказ / работа на резерве; S4 — полный отказ. Выбор четырёх состояний соответствует классификации режимов функционирования по ITU-T G.808.1 [6].

Требуется разработать модель, позволяющую вычислить: матрицу вероятностей Pij(t|X) нахождения системы в состоянии j в момент t; коэффициент готовности Kr(t|X); динамический остаточный ресурс RUL(t) и оптимальный интервал превентивного обслуживания T*opt(X).

Архитектура модели. Предлагаемая модель предусматривает строгое функциональное разделение на два блока. Предиктивный блок (машинное обучение) осуществляет многомерный анализ вектора телеметрии X(t) и вычисляет вероятности переходов узла в различные состояния. Стохастический блок (полумарковский процесс) моделирует законы распределения времени пребывания в каждом состоянии и выполняет системный синтез для расчёта коэффициента готовности.

Для обеспечения математической разрешимости принимаются две гипотезы: (1) кусочно-постоянный характер ковариат — вектор X(t) фиксируется в момент смены состояния; (2) условная независимость — при фиксированном X вероятности направления перехода и функции распределения времени пребывания статистически независимы. Данные допущения позволяют декомпозировать совместную функцию правдоподобия на две независимые выпуклые задачи оптимизации [7]. Следует отметить, что в реальных телекоммуникационных системах направление перехода и время пребывания могут быть статистически зависимыми, однако учёт данной зависимости делает задачу вычислительно труднорешаемой. Принятая гипотеза является обоснованной аппроксимацией, обеспечивающей практическую реализуемость метода.

Таблица 1. Функциональное назначение компонентов гибридной модели

Ковариатно-зависимая матрица переходов. В отличие от классических полумарковских моделей со стационарными вероятностями, в предлагаемой модели вероятности перехода из состояния i в состояние j динамически зависят от вектора телеметрии. Для вычисления применяется многоклассовая логистическая регрессия с функцией активации Softmax:

pij(X) = exp(βijᵀX) / Σk∈E exp(βikᵀX)                                           (1)

Функция Softmax гарантирует неотрицательность и нормировку вероятностей. Выбор логистической регрессии обусловлен следующими факторами: вероятностная интерпретируемость выхода модели, позволяющая непосредственно встроить его в полумарковское ядро без калибровочных преобразований; гарантированная стохастичность (автоматическое выполнение условия нормировки); аналитическая трактабельность градиента функции правдоподобия, обеспечивающая сходимость процедуры оценки параметров. Параметры βij оцениваются минимизацией кросс-энтропийной функции потерь с L2-регуляризацией, что обеспечивает устойчивость к мультиколлинеарности и шумам телеметрических данных [4, 8].

Распределения времени пребывания. Процессы деградации (переходы S1→S2, S2→S3) аппроксимируются распределением Вейбулла, а процессы восстановления (S3→S1, S4→S1) — логнормальным распределением, что соответствует эмпирическим данным телекоммуникационной отрасли [3, 9]. Окончательный выбор закона уточняется на основе критериев AIC, BIC и теста Колмогорова–Смирнова.

Полумарковское ядро и уравнения восстановления. Полумарковское ядро синтезируется как произведение ковариатно-зависимых вероятностей перехода и функций распределения времени пребывания:

Qij(t|X) = pij(X) · Fij(t)                                                   (2)

Вероятности Pij(t|X) нахождения системы в состоянии j определяются из системы интегральных уравнений Вольтерры второго рода:

Pij(t|X) = δij[1 − Hi(t|X)] + Σk∈E ∫0^t Pkj(t−u|X) dQik(u|X)        (3)

где Hi(t|X) = Σj∈E Qij(t|X) — безусловная функция распределения времени пребывания в состоянии i. Существование и единственность решения гарантируются при конечности E, отсутствии мгновенных переходов и строгой стохастичности P(X) [3, 10]. Коэффициент готовности вычисляется как Kr(t|X) = Σj∈U Pij(t|X).

Для задач долгосрочного планирования и верификации SLA-требований важен стационарный коэффициент готовности Kr(∞|X) = limt→∞ Kr(t|X). По теореме восстановления для эргодических полумарковских процессов [3] данный предел существует, не зависит от начального состояния и вычисляется через стационарное распределение π(X) вложенной цепи Маркова и средние времена пребывания θj(X) в каждом состоянии.

Результаты и обсуждение

Пусть имеется историческая обучающая выборка T = {(Xc, ic, jc, θc)}^Nc=1, где для каждого наблюдения c зафиксированы: вектор телеметрии Xc, исходное состояние ic, следующее состояние jc и время пребывания θc.

Этап 1 (ML-блок). Параметры βij оцениваются методом максимального правдоподобия с L2-регуляризацией: β* = argmin {−Σ ln pij(Xc) + (λ/2)Σ||βij||²}. Задача выпуклая, что гарантирует единственность глобального минимума.

Этап 2 (стохастический блок). Параметры распределений Вейбулла (kij, λij) и логнормального (μij, σij) оцениваются независимо методом максимального правдоподобия с использованием алгоритма BFGS. Валидация выбора параметрического семейства осуществляется на основе критериев AIC, BIC и теста Колмогорова–Смирнова.

Численное решение системы (3) выполняется методом квадратурных формул трапеций на равномерной сетке с шагом Δt. Вычислительная сложность составляет O(M²|E|²), что допускает интеграцию алгоритма в контроллеры программно-определяемых сетей (SDN) для пересчёта в реальном времени [11].

Пусть X̃ = X + ε — зашумлённый вектор ковариат, ||ε|| ≤ δ. Применение L2-регуляризации ограничивает нормы весовых коэффициентов: ||βij|| ≤ C(λ). Учитывая, что константа Липшица функции Softmax не превышает 1/2 [12], ошибка оценки вероятностей переходов ограничена сверху: ||P(X̃) − P(X)|| ≤ Kδ, где K = (1/2) maxi∈E ||Bi||².

Из теоремы об устойчивости решений линейных уравнений Вольтерры [13] следует, что возмущение ядра приводит к ограниченному возмущению коэффициента готовности: |Kr(t|X̃) − Kr(t|X)| ≤ C(T) · Kδ. Таким образом, модель обладает робастностью к малым возмущениям аппаратной телеметрии.

Динамический остаточный ресурс. Остаточный ресурс RUL определяется как математическое ожидание времени до первого достижения состояния S4. Объявляя D = {S4} поглощающим состоянием и обозначая mi(X) среднее время до поглощения, методом разложения по первому переходу получаем систему линейных уравнений:

mi(X) = θi(X) + Σk∈U pik(X) mk(X),   ∀i ∈ U                           (4)

Матричное решение: m(X) = (I − PU(X))⁻¹ θ(X). Матрица (I − PU) невырождена, поскольку PU субстохастическая: спектральный радиус ρ(PU) < 1.

Целевая функция минимизации простоя. Рассматривается стратегия адаптивного обслуживания с интервалом Tm. На основе теоремы восстановления для регенерирующих процессов целевая функция удельного времени простоя принимает вид:

U(Tm|X) = [Tp·R(Tm|X) + Tf(1−R(Tm|X))] / [∫0^Tm R(t|X)dt + TpR(Tm|X) + Tf(1−R(Tm|X))]    (5)

где Tp — среднее время планового обслуживания, Tf — среднее время аварийного восстановления (MTTR), R(t|X) — функция надёжности. Оптимальный интервал: T*opt(X) = argminTm>0 U(Tm|X). Минимум существует при условии kij > 1 для распределения Вейбулла (возрастающая интенсивность отказов).

Алгоритм адаптивного обслуживания. Процесс управления надёжностью формализуется в виде замкнутого адаптивного алгоритма, включающего: (1) непрерывный мониторинг и обновление матрицы P(X) на основе текущей телеметрии; (2) численное решение уравнений восстановления и расчёт функции надёжности R(t|X); (3) решение задачи одномерной оптимизации для нахождения T*opt(X); (4) генерацию управляющего воздействия при выполнении одного из двух условий: приближение наработки к адаптивному порогу T*opt(X) или падение остаточного ресурса RUL(t) ниже времени реакции Treact. Данный подход позволяет перейти от реактивного устранения аварий к научно обоснованному управлению ресурсом оборудования, обеспечивая выполнение требований SLA по коэффициенту готовности (Kr ≥ 0.99999).

Заключение

В работе разработана гибридная математическая модель прогнозирования отказов объектов телекоммуникационной инфраструктуры, обладающая следующей научной новизной:

1) Предложен и теоретически обоснован метод интеграции алгоритмов многоклассовой классификации в ядро неоднородного полумарковского процесса, что позволяет динамически учитывать многомерную телеметрию при моделировании деградации оборудования.

2) Разработан двухэтапный метод статистической идентификации, обеспечивающий декомпозицию невыпуклой задачи совместного оценивания на две независимые выпуклые подзадачи. Доказана устойчивость модели к зашумлению телеметрических данных.

3) Выведена аналитическая формула динамического остаточного ресурса RUL(t) и целевая функция минимизации удельного времени простоя, формирующие математическую основу стратегии предиктивного технического обслуживания.

Полученные результаты создают строгий математический фундамент для программной реализации и экспериментальной верификации. Ограничения модели включают гипотезу условной независимости, допущение кусочно-постоянных ковариат и фиксированные параметрические семейства распределений. Направлениями дальнейших исследований являются ослабление гипотезы кусочно-постоянных ковариат, применение методов Монте-Карло для высокодинамичных сценариев и экспериментальная оценка на данных DWDM и IP/MPLS сетей.

Список литературы:

1. Tian W., Xu J., Ma C., Zou X. Reliability assessment of complex systems using semi-Markov models // Reliability Engineering & System Safety. — 2025. — Vol. 253. — Art. 110498.
2. Mogylevych D., Kononova I., Kredentser B. Reliability models of recoverable telecommunication systems with redundancy // Telecommunications and Radio Engineering. — 2019. — Vol. 78(4). — P. 331–344.
3. Limnios N., Oprișan G. Semi-Markov Processes and Reliability. — Boston: Birkhäuser, 2001. — 222 p.
4. Bishop C.M. Pattern Recognition and Machine Learning. — New York: Springer, 2006. — 738 p.
5. Compare M., Baraldi P., Zio E. Challenges to IoT-enabled predictive maintenance for Industry 4.0 // IEEE Internet of Things Journal. — 2020. — Vol. 7(5). — P. 4585–4597.
6. ITU-T Recommendation G.808.1. Generic protection switching — Linear trail and subnetwork protection. — Geneva: ITU, 2014.
7. Compare M., Baraldi P., et al. Semi-Markov model for condition-based maintenance optimization // Reliability Engineering & System Safety. — 2020. — Vol. 200. — Art. 106904.
8. Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning. — 2nd ed. — New York: Springer, 2009. — 745 p.
9. Barlow R.E., Proschan F. Mathematical Theory of Reliability. — SIAM, 1996. — 258 p.
10. Çinlar E. Introduction to Stochastic Processes. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1975. — 402 p.
11. Kreutz D., et al. Software-defined networking: a comprehensive survey // Proc. IEEE. — 2015. — Vol. 103(1). — P. 14–76.
12. Gao B., Pavel L. On the properties of the softmax function with application in game theory and reinforcement learning // arXiv preprint. — 2017. — arXiv:1704.00805.
13. Messina E., Raffoul Y.N., Vecchio A. Analysis of perturbed Volterra integral equations on time scales // Mathematics. — 2020. — Vol. 8(7). — Art. 1133.