АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С Z-ЧИСЛАМИ И АНАЛИЗ КОМПОНЕНТОВ ВЕРОЯТНОСТИ НА ОСНОВЕ α-СЕЧЕНИЙ

УДК 004.032

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлен метод выполнения арифметических операций с треугольными нечеткими числами на основе Z-чисел и анализа результатов с использованием α-сечений. С помощью программного обеспечения выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления, при этом компоненты A (значение) и B (вероятность/достоверность) отображаются отдельно. Компонент B ограничен интервалом [0,1], а с помощью анализа α-сечений определяются нижние и верхние границы каждой операции. Кроме того, результаты визуально представлены в виде таблиц и графиков. Данный подход может применяться для моделирования неопределённости, выраженной с помощью Z-чисел, принятия решений и нечетких логических вычислений.

ABSTRACT

This article presents a method for performing arithmetic operations with triangular fuzzy numbers based on Z-numbers and analyzing the results using α-cuts. Addition, subtraction, multiplication, and division operations are performed using software tools, while the A (value) and B (probability/reliability) components are represented separately. The B component is constrained within the interval [0,1], and the lower and upper bounds of each operation are determined through α-cut analysis. In addition, the results are visually represented using tables and graphs. This approach can be applied to modeling uncertainty represented by Z-numbers, decision-making, and fuzzy logical computations.

Ключевые слова: Z-числа, треугольные нечеткие числа (TFN), α-сечение, нечеткая арифметика, вероятностный компонент, нечеткая логика.

Keywords: Z-numbers, triangular fuzzy numbers (TFN), α-cut, fuzzy arithmetic, probability component, fuzzy logic.

Введение

В настоящее время учет неопределенности и вероятности в процессе принятия решений в сложных системах приобретает важное значение. В традиционных моделях, основанных на точных значениях, трудно полностью отразить неопределенность, что негативно влияет на качество принимаемых решений. По этой причине широко применяются такие подходы, как нечеткая логика и Z-числа. Z-числа (Z-numbers) позволяют одновременно выражать неопределенность и достоверность, где компонент A представляет значения, а компонент B — их вероятность или достоверность. В данной статье показано выполнение арифметических операций с Z-числами на основе треугольных нечетких чисел (TFN) и анализ результатов с помощью метода α-сечений [1,2].

Работа с Z-числами позволяет точно моделировать неопределенность, что имеет практическое значение в принятии решений, прогнозировании, экономических и экологических системах, а также в системах искусственного интеллекта. Вместе с тем анализ α-сечений облегчает визуализацию и анализ результатов путем определения нижних и верхних границ каждой операции. Ограничение B-компонента (компонента вероятности/достоверности) интервалом [0,1] обеспечивает надежность результатов [3–5].

Цель данной статьи заключается в выполнении арифметических операций с Z-числами, анализе компонентов A и B с помощью α-сечений, а также представлении метода моделирования неопределенности посредством визуализации результатов в графическом и табличном виде [6].

В статье рассматривается несколько основных задач работы с Z-числами, посредством которых можно одновременно моделировать неопределенность и достоверность. Во-первых, с использованием треугольных нечетких чисел (TFN) выполняются арифметические операции с Z-числами — сложение, вычитание, умножение и деление. Во-вторых, с помощью метода α-сечений определяются нижние и верхние границы результата каждой операции, что упрощает анализ результатов. В-третьих, обеспечивается ограничение компонента B (вероятность/достоверность) интервалом [0,1], что делает результаты надежными и гарантирует их практическое применение в процессах принятия решений. Таким образом, задачи направлены на эффективное выполнение арифметических вычислений и анализа неопределенности с использованием Z-чисел [7–9].

Научная новизна данного исследования проявляется в объединении арифметических операций с Z-числами и анализа α-сечений. В традиционных исследованиях треугольных нечетких чисел (TFN) и нечеткой логики отсутствие ограничения компонента B интервалом [0,1] могло приводить к некорректному представлению результатов. В данной работе все значения B автоматически адаптируются с точки зрения достоверности и вероятности, а с помощью метода α-сечений результат каждой операции определяется через нижние и верхние границы. Кроме того, визуальное представление результатов в виде таблиц и графиков повышает научную новизну и практическую полезность исследования, что позволяет рассматривать Z-числа как новый подход к моделированию неопределенности [10–12].

Практическая значимость данного исследования заключается в том, что с помощью Z-чисел и анализа α-сечений можно точно моделировать неопределенность в сложных системах. Полученные результаты могут использоваться для принятия решений, прогнозирования и оценки рисков в экономических, экологических, социальных и технологических системах. Ограничение компонента B интервалом [0,1] и представление результатов посредством α-сечений обеспечивают системный и надежный анализ, что делает данный подход практически полезным инструментом для специалистов, работающих с неопределенными данными. Кроме того, результаты, представленные в графическом и табличном виде, облегчают интуитивное понимание в процессе принятия решений [13–17].

Методы исследования

1. Модель Z-чисел

Z-число     состоит из двух компонентов:

— выражается через треугольное нечеткое число (TFN), представляющее основное значение или параметр.

— треугольное нечеткое число достоверности (вероятности).

1.1 Формулы треугольных нечетких чисел (TFN — Triangular Fuzzy Number)

Для треугольного числа   α-сечение определяется следующим образом:

В данной формуле:

l — нижняя граница,

m — модальное значение (наиболее вероятное),

u — верхняя граница.

2. Арифметические операции над Z-числами

В программе операции выполняются в соответствии с формулой B-компонента по Заде следующим образом.

2.1 Сложение

2.2 Вычитание

2.3 Умножение

2.4 Деление

3. Получение результатов с помощью α-сечения

Для результата Z-числа  формулы α-сечения имеют следующий вид:

Эти результаты α-сечения обеспечивают визуальное представление в виде таблиц и графиков.

3. Результаты

Результаты арифметических операций над Z-числами были упорядочены и проанализированы в табличной форме (таблица 1).

Таблица 1.

Результаты арифметических операций над Z-числами

Рисунок 1. Графики арифметических операций над Z-числами

Проведённый анализ показывает, что в арифметике Z-чисел интервальные значения, полученные в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления на основе α-сечений, с увеличением α приближаются к центральному модальному значению, обеспечивая уменьшение неопределённости. Как наблюдается в A-компоненте треугольных нечетких чисел (TFN-значений), при сложении и умножении интервал сужается и концентрируется вокруг центра, тогда как при вычитании в некоторых случаях могут возникать отрицательные значения. При делении начальные значения являются малыми и с увеличением α становятся ещё более узкими.

В анализе B-компонента (достоверность/вероятность) результаты сложения и вычитания, вычисленные на основе формулы Заде, остаются устойчивыми в интервале [0,1], а при умножении и делении вероятностные значения приближаются к центру и не выходят за пределы допустимого диапазона. В общем случае значения α-сечения обеспечивают максимальную неопределённость при α=0, а при α=1 — полную центральную точность, что ясно отражает сущность Z-числа.

В результате данный подход позволяет анализировать арифметику Z-чисел не только с математической точки зрения, но и визуально, демонстрируя её эффективность при принятии решений в условиях неопределённости, оценке достоверности, а также решении реальных задач на основе нечеткой арифметики (рисунок 1).

Результаты и Заключение

Результаты исследования показали, что в арифметике Z-чисел операции сложения, вычитания, умножения и деления через значения α-сечений точно отражают степень определённости и неопределённости. A-компонент (модальные значения) с увеличением α приближается к центральному значению, что сокращает интервалы и уменьшает неопределённость. Данное свойство позволяет более точно и надёжно использовать Z-числа в математических моделях. B-компонент (достоверность или вероятность) в соответствии с теорией Заде вычисляется через операцию min при сложении и вычитании, а при умножении и делении — в виде произведения. В результате B всегда сохраняется в интервале [0,1] и с увеличением α приближается к центральным значениям. Данная методика служит для вероятностного управления неопределённостью и оптимизации процессов принятия решений.

Полученные результаты и анализ α-сечений подтверждают практическую значимость арифметики Z-чисел. Данный подход может применяться в нечеткой арифметике, вероятностном моделировании и системах принятия решений. Кроме того, работа с Z-числами расширяет возможности визуализации неопределённых данных, оценки их интервалов и уровня достоверности, что создаёт прочную методологическую базу для научных и практических исследований. В данной работе операции сложения, вычитания, умножения и деления на основе арифметики Z-чисел и анализа α-сечений были реализованы с помощью математической модели и программы на Python; результаты показали, что A-компонент (значения треугольных нечетких чисел TFN) с увеличением α сужает интервал и приближается к модальному значению, а B-компонент (достоверность/вероятность), вычисленный в соответствии с формулой Заде, всегда остаётся в интервале [0,1]. С помощью значений α-сечений и графиков влияние операций на Z-числа было наглядно визуализировано, а результаты красиво представлены в табличной форме, что подтвердило практическую значимость данной методики в задачах принятия решений в условиях неопределённости и в области нечеткой арифметики.

Список литературы:

1. Gongao Q., Juanrui L., Bingyi K., Bin Y. The aggregation of Z-numbers based on overlap functions and grouping functions and its application on group decision making // Information Sciences. – 2023. – Vol. 623. – P. 857–899.
2. Zadeh L.A. A note on Z-numbers // Information Sciences. – 2011. – Vol. 181. – P. 2923–2932.
3. Zamri N., Ahmad F., Rose A.N.M., Makhtar M. A fuzzy Topsis with Z-numbers approach for evaluation on accident at the construction site // Proceedings of the 2nd International Conference on Soft Computing and Data Mining. – Bandung, Indonesia, 18–20 August 2016. – Vol. 549. – P. 41–50.
4. Zhu R.N., Li Y.A., Cheng R.L., Kang B.Y. An improved model in fusing multi-source information based on Z-numbers and POWA operator // Computational and Applied Mathematics. – 2021. – Vol. 41. – P. 16.
5. Ghahtarani A. A new portfolio selection problem in bubble condition under uncertainty: Application of Z-number theory and fuzzy neural network // Expert Systems with Applications. – 2021. – Vol. 177. – P. 114944.
6. Kang B., Wei D., LI Y., Deng Y. A method of converting Z-number to classical fuzzy number // Journal of Information and Computational Science. – 2012. – Vol. 9. – P. 703–709.
7. Aliev R.A., Alizadeh A.V., Huseynov O.H. The arithmetic of discrete Z-numbers // Information Sciences. – 2015. – Vol. 290. – P. 134–155.
8. Aliev R.A., Huseynov O.H., Zeinalova L.M. The arithmetic of continuous Z-numbers // Information Sciences. – 2016. – Vol. 373. – P. 441–460.
9. Aliev R.A., PEdrycz W., Huseynov O.H. Functions defined on a set of Z-numbers // Information Sciences. – 2018. – Vol. 423. – P. 353–375.
10. Cheng R.L., Kang B.Y., Zhang J.F. An improved method of converting Z-number into classical fuzzy number // Proceedings of the 33rd Chinese Control and Decision Conference. – Kunming, China, 22–24 May 2021. – P. 3823–3828.
11. Jia Q.L., Hu J.L. A novel method to research linguistic uncertain Z-numbers // Information Sciences. – 2022. – Vol. 586. – P. 41–58.
12. Wu H., Yue Q., Guo P., Pan Q., Guo S.S. Sustainable regional water allocation under water-energy nexus: A chance-constrained possibilistic mean-variance multi-objective programming // Journal of Cleaner Production. – 2021. – Vol. 313. – P. 127934.
13. Zhao M., Han Y., Zhou J. An extensive operational law for monotone functions of LR fuzzy intervals with applications to fuzzy optimization // Soft Computing. – 2022. – Vol. 26. – P. 11381–11401.
14. Yaakob A.M., Gegov A. Interactive TOPSIS based group decision-making methodology using Z-numbers // International Journal of Computational Intelligence Systems. – 2016. – Vol. 9. – P. 311–324.
15. Gu Y., Hao Q., Shen J., Zhang X., YU L. Calculation formulas and correlation inequalities for variance bounds and semivariances of fuzzy intervals // Journal of Intelligent and Fuzzy Systems. – 2019. – Vol. 36. – P. 353–369.
16. Dubois D., Prade H. Possibility theory, probability theory and multiple-valued logics: A clarification // Annals of Mathematics and Artificial Intelligence. – 2001. – Vol. 32. – P. 35–66.
17. Gentili P.L. Establishing a new link between fuzzy logic, neuroscience, and quantum mechanics through Bayesian probability: Perspectives in artificial intelligence and unconventional computing // Molecules. – 2021. – Vol. 26. – P. 5987.