ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КИНЕТИКИ СУШКИ СВЕКЛЫ

АННОТАЦИЯ

В данном исследовании анализируются кинетические модели сушки столовой свеклы (Beta vulgaris) для количественной оценки ее физических свойств. Путем экспериментов и множественной регрессии были определены репрезентативные уравнения процесса. Было оценено влияние температуры (образцы обработаны методом ультразвуковой обработки), скорости воздуха и толщины образца на кинетику сушки. Результаты позволяют оптимизировать условия эксплуатации и повысить эффективность процесса, обеспечивая научную основу для разработки более эффективных и энергоэффективных технологий сушки. Для математического моделирования были выбраны три кинетические модели сушки, соответствующие моделям Ньютона, Хендерсона, Пабиса и Пейджа, которые основаны на эмпирических зависимостях для тонкой пленки.

ABSTRACT

This study analyzes kinetic models of beetroot (Beta vulgaris) drying to quantify its physical properties. Representative equations of the process were determined through experiments and multiple regression. The effects of temperature (samples treated with ultrasound), air velocity, and sample thickness on the drying kinetics were evaluated. The results allow optimization of operating conditions and improvement of process efficiency, providing a scientific basis for the development of more efficient and energy-efficient drying technologies. For mathematical modeling, three kinetic drying models were selected, corresponding to the Newton, Henderson, Pabis and Page models, which are based on empirical dependencies for a thin film.

Ключевые слова: комбинированная сушка, ультразвук, кинетика, свекла, математическая модель, энергоэффективность.

Keywords: combined drying, ultrasound, kinetics, beets, mathematical model, energy efficiency.

Введение. Существует две группы математических моделей, описывающих процесс термической сушки сельскохозяйственных продуктов, наиболее широко используемые при формулировке явления сушки - это модели кинетики сушки, основанные на полуэмпирических зависимостях для тонких пленок. Они упрощают уравнения, описывающие процесс. Также применяются модели кинетики сушки, использующие аналогию с теплопередачей. Анализ процесса с помощью этой аналогии подразумевает глубокое изучение сложных явлений переноса, поэтому большинство исследований в основном посвящено кинетике сушки с использованием тонкопленочных моделей. В случае модели кинетики сушки наиболее важным аспектом является использование тонкопленочных моделей [1].

В литературе можно найти несколько теоретических, полутеоретических и эмпирических моделей. Наиболее часто используемые модели для анализа кинетики сушки в процессе сушки пищевых продуктов приведены в табл. 1 [2].

Таблица 1.

Математические модели, используемые для проверки кинетики сушки фруктов и овощей

В данном исследовании в качестве отправной точки были взяты модели, представленные в табл. 2, однако, поскольку данные не совпадали, были рассмотрены другие модели.

Таблица 2.

Кинетические модели, оцененные в данном исследовании

Модели такого типа были разработаны для комбинированной сушки, т.е. конвективной и ультразвуковой сушки. В этих моделях вводятся различные константы, такие как  в модели Ньютона или  и  в модели Пейджа. Эти константы называются «константами сушки» и определяются из экспериментальных данных путем ввода данных кривой сушки в программное обеспечение для подгонки кривых. Затем получают константы сушки для каждого рабочего состояния. Затем константы сушки определяются как функции условий эксплуатации. Модель с наибольшим коэффициентом детерминации  является наиболее точной [3]. 

Данное исследование было применено к ломтикам свеклы с использованием методологии множественного регрессионного анализа для описания зависимости между содержанием влаги и временем. Три модели сушки тонкой пленки, включая модели Ньютона, Пейджа, Хендерсона и Пабиса, были оценены и подогнаны к экспериментальным данным с помощью нелинейной регрессии и подгонки по методу наименьших квадратов [4].

Таким образом, ниже приведены параметры и их формулы, которые рассматриваются как основные факторы при математическом моделировании.

Уравнение для расчета коэффициента влажности.

                                                   (1)

где  - содержание влаги в сухом веществе в момент времени t;  - равновесное содержание влаги в сухой основе;  - начальное содержание влаги в сухой основе [5].

Уравнение для расчета Хи-квадрат .

                                                 (2)

где  - наблюдаемая частота;  - ожидаемая частота.  

Уравнение для расчета коэффициента детерминации.

                                     (3)

                                             (4)

                             (5)

где  - экспериментально рассчитанное значение влажности;  - значение влажности, полученное в результате расчета по каждой из моделей;
 - количество наблюдений, полученных в каждой кинетической модели.

Материалы и методы

Исследования по сушке проводились в лаборатории кафедры «Техника оказания услуг» Ташкентского государственного технического университета, в ходе которых была разработана экспериментальная часть и проанализированы физические свойства свеклы.  

Свежую свеклу привозили с рынка, расположенного в г. Ташкенте. Корнеклубни классифицировали путем визуального осмотра в соответствии с техническим стандартом, отбирая крупные (80-100) мм, соответствующие первому сорту. Они должны быть целыми и хорошо сформированными, упругими, чистыми, без признаков вредителей и болезней, без пятен, трещин и кровоподтеков.

Была разработана следующая экспериментальная схема:

• фиксированные переменные: свекла.

• независимые переменные: температура, скорость воздуха, толщина. 

• зависимые переменные: влажность конечного продукта. 

Будет использована экспериментальная схема 3-1-1, в результате чего будет проведено 9 обработок с 3 репликами, как показано в табл. 3.

Таблица 3.

Схема эксперимента 3-2-1 для изучения процесса сушки свеклы

Результаты и обсуждения.

Как высшеприведенной, было выбрано три кинетические модели сушки, соответствующие моделям Ньютона, Хендерсона, Пабиса и Пейджа, которые основаны на эмпирических зависимостях для тонкой пленки. Эти модели представляют собой упрощение уравнений, описывающих процесс сушки ломтиков свеклы. Для получения каждой из констант выбранных моделей с использованием уравнений наименьших квадратов и линейной регрессии, для чего была использована программа MathCAD [6].

На рис. 1, 2 и 3 представлены результаты экспериментальных и теоретических кривых сушки, полученных при исследовании процесса сушки свеклы.

Рисунок 1. Изменение коэффициента влажности в зависимости от условий сушки, скорректированных с помощью модели Ньютона

Рисунок 2. Изменение коэффициента влажности в зависимости от условий сушки, скорректированных с помощью модели Пейджа

Рисунок 3. Изменение коэффициента влажности в зависимости от условий сушки, скорректированных с помощью модели Хендерсона и Пабиса

Для определения наилучшей кинетической модели сушки коэффициент детерминации () рассматривался как один из важных критериев для определения наилучших кривых сушки, кроме того, для определения качества подгонки использовались такие статистические параметры, как хи-квадрат () и среднеквадратичная ошибка (). Эти параметры рассчитывались с использованием уравнений 2, 3, 5, соответственно, приведенных выше.

Таблица 4.

Модели, наиболее подходящие для сушки свеклы

В табл. 4 представлены математические модели, которые лучше всего соответствуют экспериментальным данным, что модель с самым высоким значением (R²)=0,9998 соответствует модели Хендерсона и Пабиса. За ней следует (R²)=0,9994 для модели Пейджа. Изходя из этих, можно сделать вывод, что оценка этих моделей связана с теми же условиями эксплуатации процесса, такими как температура, скорость воздуха и толщина (частота ультразвука при предваритеьной обработки). Модель Пейджа является одним из наиболее часто встречающихся эмпирических уравнений, используемых для описания миграции воды в процессах сушки пищевых продуктов. Однако подробный анализ математического вывода выявляет ряд несоответствий.

Выводы

В настоящее время были изучены эмпирические и полуэмпирические модели сушки тонкой пленки (включая уравнение Пейджа), и был сделан вывод, что модели Хендерсона и Пабиса является лучшим с точки зрения критерия (R²). Во-первых, выбор между моделями, основанный исключительно на критерии (R²), χ² и RMSE.  На основе множественного регрессионного анализа определены наиболее адекватные уравнения кинетической модели процесса сушки свеклы. В связи с этим математическая модель была реализована исключительно при рабочих параметрах процесса: температура 50 °С, скорость воздуха 2 м/сек и толщина образца 5 мм. Экспериментальное исследование кинетических моделей сушки свеклы позволило количественно оценить ее физические свойства и оценить поведение процесса дегидратации в контролируемых условиях. В результате анализа экспериментальных данных и подбора математических моделей были выявлены наиболее подходящие кинетические уравнения для описания динамики сушки. Полученные результаты предоставляют важную информацию для оптимизации условий эксплуатации процесса, способствуя повышению энергоэффективности и качества конечного продукта.

Список литературы:

1. Darıcı S., Sen S. Experimental investigation of convective drying kinetics of kiwi under different conditions. Heat Mass Transfer, 51, 2015. P.1167-1176.
2. Лыков А.В. Теория сушки. – Москва, 1968. – С. 34–37.
3. Lee P., Wang Y., Chen H. Simultaneous heat and mass transfer during precooling of vegetables. Food and Bioprocess Technology, 2022, 9. pp. 112-125.
4. Сафаров Ж.Э., Султанова Ш.А., Миркомилов А.М. Теоретическое исследование тепло- и массопереноса внутри твердого тела // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2024. 12(129). С.5-8.
5. Понасенко А.С., Самандаров Д.И., Султанова Ш.А., Сафаров Ж.Э. Разработка технологии сушки растительного сырья. // Universum: технические науки. –Москва, 2022. №12(105), часть 2. С.33-37.
6. Электронный ресурс https://www.mr-cfd.com/ansys-fluent-vs-other-cfd-softwares/