МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЫПАРИВАНИЯ СОКА ПЛОДОВ ТОМАТА

АННОТАЦИЯ

В работе исследуется процесс выпаривания сока в многокорпусных вакуум-выпарных установках для оптимизации концентрирования. Выпаривание моделируется через материальные и тепловые балансы, включая уравнения изменения уровня жидкости, концентрации сухих веществ и температуры сока. Основное внимание уделено моделированию динамики процесса в однокорпусной установке с возможностью перехода к многокорпусным системам. На основе эмпирических зависимостей и математического моделирования определяется оптимальная динамика процесса, что позволяет рассчитать параметры выпаривания для минимизации энергозатрат. Результаты исследования могут быть использованы для экономической оптимизации технологии, повышая производительность и эффективность производственных процессов.

ABSTRACT

The paper investigates the process of juice evaporation in multi-effect vacuum evaporation systems for optimizing concentration. The evaporation process is modeled through material and thermal balances, including equations for changes in liquid level, concentration of solids, and juice temperature. The focus is on modeling the process dynamics in a single-effect system with the potential to transition to multi-effect configurations. Based on empirical dependencies and mathematical modeling, the optimal process dynamics are determined, allowing the calculation of evaporation parameters to minimize energy consumption. The research results can be used for the economic optimization of the technology, improving productivity and process efficiency.

Ключевые слова: выпаривание, вакуум-выпарная установка, математическое моделирование, томатный сок, концентрация сухих веществ, тепловой баланс, гидродинамика, эмпирические уравнения, многокорпусные системы, оптимизация технологического процесса

Keywords: evaporation, vacuum evaporator, mathematical modeling, tomato juice, solid concentration, thermal balance, hydrodynamics, empirical equations, multi-effect systems, process optimization

Введение. Выявлена целесообразность выпарки пищевых экстрактов в многокорпусных вакуум-выпарных установках. Например, выпарка томатного сока очень сложный процесс, поэтому исследование расчётов установок при варьируемых параметрах выпаривания рационально вести путём математического моделирования и определения оптимальных параметров технологии концентрирования томатного сока.  С этой целью  моделируем процесс выпаривания воды из состава сока в однокорпусной вакуум-выпарной установке. Далее можно осуществить постепентый переход к двух-, трех-, четырех-, пятбъкорпусным установкам. Обозначим входные и выходные параметры процесса следующим образом.

Известно, что при моделировании одной ступени любого процесса гидродинамическая структура потока принимается в виде идеального смешения или идеального перемещения. При составлении нашей модели объект моделирования принят за одну ячейку идеального перемешивания. На следующей стадии при переходе от одного корпуса ко всей установке каждый корпус аппарата принимается за отдельную ячейки идеального перемешивания. Они объединяются соответственно и принимается ячеечная модель противоточных потоков [1,5].

Методология. Изменение количества экстракта по времени выражается уравнением материального баланса, т.е. она зависит от разности расходов приходящего и уходящего экстрактов и испаряемой влаги [2,3,4].  

                                                      (1)

где m – количество жидкой смеси в корпусе аппарата, [кг]; G_н – расход поступающего в аппарат томатного сока, G_к – расход жидкой смеси, уходящей через дно аппарата, [кг/с]; G₂ – расход вторичного пара,  [кг/с].

Массу жидкости можно вқразить через объем и плотность следующим уравнением:

                                                     (2)

где  V – объем жидкости в аппарате, [м³]; ρ – плотность жидкости, [кг/м³]; S – площадь поперечного сечения аппарата, [м²];. H – уровень жидкости в аппарате,  [м];

Воспользовавшись формулой (2), для вместимости корпуса аппарата, изменения уровня жидкости в аппарате выражаем следующим ниже дифференциальным уравнением:

                                      (3)

где  H_к – текущий уровень жидкости в сепараторе выпарного аппарата,  [м]; ρ – плотность жидкой смеси, [кг/м³].

Значение плотности жидкой смеси находится в пределах плотности чистой воды и растворенных в воде сухих веществ. Плотность можно рассчитать по формуле, приведенной ниже

                                 (4)

ρ_ч - плотность чистого продукта, [кг/м³]; a_к – текущая концентрация сухих веществ в томатном соке, [кг/кг];  1000 - плотность чистой воды,  [кг/м³].

Расход жидкости, стекающей из аппарата имеет функциональную зависимость от высоты жидкости в аппарате, т.е. чем больше гидростатическое давление столба сока, тем больше расход сока. Если считать эту зависимость в простейшем случае пропорциональной, то уравнение для расхода принимает следующий вид:

                                                          (5)

На самом деле эта зависимость не пропорциональная, а имеет более сложное математическое вқражение. Помимо того, уравнение (3-4) не учитывает вязкость выпариваемой жидкости.  

Расход водяных паров, выделяемых из смеси в одном корпусе аппарата определяется из основного уравнения теплообменного процесса. Движущей силой процесса является разность температур.

                                                             (6)

где t^*– температура кипения жидкости, находящейся в корпусе аппарата под вакуумом (равновесная температура), [⁰С].

Определив расход поступающего в аппарат сока, количество сухих веществ, поступающих с соком, расход стекающего из аппарата сока, расход греющего для испарения влаги глухого пара, расход испаряемой влаги можно получить уравнение для определения концентрации сухих веществ в стекающем соке. 

                                            (7)

Воспользовавшись тепловым балансом можно получить дифференциальное выражение изменения температуры жидкости по времени

                 (8)

где  с - теплоёмкость жидкой смеси,  [кДж/(кг ⁰С)];  i_p,  i_k – энтальпия пара, подаваемого в межтрубное пространство аппарата и конденсата, [кДж/(кг ⁰С)]; D_p, D_k – расход глухого пара, подаваемого в межтрубное пространство и конденсата [кг/с].

Поскольку расчет процесса выпаривания паров воды связан с термодинамическими параметрами состояния воды необходимо получить уравнения зависимости температуры кипения воды, теплоты парообразования воды, энтальпии пара, энтальпии воды от давления. Экспериментальные данные получены давно, успешно используются, однако единых эмпирических уравнений, используемых всеми исследователями не существуют [].

Воспользуясь возможностями программы MATLAB, путем статистической обработки табличных данных, приведенных в работах, получим эмпирические уравнения в виде полиномов для состояния воды и водяного пара, описывающие реальную картину с точностью 98% и более [6,7,8].

Эмпирическая зависимость температуры кипения жидкости от давления в аппарате, полученная путем обработки табличных данных имеет вид:

                                     (9)

Эмпирическая зависимость теплоты парообразования воды от давления в аппарате, полученная путем обработки табличных данных имеет вид:

                                  (10)

Эмпирическая зависимость энтальпии жидкости от давления в аппарате, полученная путем обработки табличных данных имеет вид:

                               (11)

Эмпирическая зависимость энтальпии сухого насыщенного пара от дав-ления в аппарате, полученная путем обработки табличных данных имеет вид:

                                     (12)

Нами воспользовавшись возможностями программы MATLAB, путем статистической обработки табличных данных, получены эмпирические уравнения в виде полиномов для состояния воды и водяного пара. Такие полиномы описывают реальную картину с точностью 99,9% и более. Эти эмпирические уравнения включены также в состав математической модели процесса выпаривания тутовника сока [9,10].

Система уравнений (1-12) является математической моделью динамики процесса выпаривания жидкости в однокорпусном вакуумном аппарате. Используя часть SIMULINK программы MATLAB можно составить компьютерную модель решения уравнений.

Исследовав процесс отгонки влаги в одно-, двух-, трех-, четыре-,  и пятькорпусных выпарных комплексах можно составить математическую модель экономических показателей процесса.

Приведенные выше уравнения объединяются в общую систему уравнений (1-12), представляет собой математическое описание действующей однокорпусной непрерывной вакуум-выпарной установки. Математическая модель включает уравнения материального и теплового балансов в МВУ, а также эмпирические уравнения зависимостей температуры кипения, теплоты парообразования и энтальпии воды, а также энтальпии пара от давления в аппарате. Задача сводится к исследованию динамических характеристик изменений концентраций, температуры сока и высоты слоя жидкости в сепараторе вакуум-выпарной установки на математической модели [11, 12].

Исследование математической модели процесса выпарки летучего компонента в диапазоне вариаций входных параметров процесса и анализ полученных результатов позволяет судить о динамике процесса выпаривания в однокорпусном аппарате. Приняв выходные параметры процесса за входные последующего корпуса можно рассчитать установку с любым количеством корпусов.

Результат. Для решения системы уравнений необходимо интегрировать ее дифференциальные уравнения по времени. Например для того, чтобы определить высоту столба жидкости Н  из уравнения необходимо выполнить следующий расчет [13-16]: 

                                                             (13) 

Этот метод применяется и при решении уравнений (7) и (8),  тем самым определить концентрацию сухих веществ в истекающей жидкости  a_к  и  температуру t_k жидкой смеси.   

Начальная температура томатного сока на входе в аппарат не должна превышать t_н=90^оС. Остаточное давление в первом корпусе многокорпусной вакуум-выпарной установки  Р = 61 кПа,  во втором – 31 кПа, в третьем и четвертом – 8 кПа и пятый - по 5 кПа. Расходы глухого пара, подаваемого в паровую рубашку каждого из выпарных аппаратов определены предварительно и составляют соответственно D(1)=0.93 кг/с, D(2)=0.15 кг/с, D(3)=0.04 кг/с, D(1)=0.02 кг/с, D(1)=0.01 кг/с,;

изменение концентрации сухих веществ на выходе аппарата по времени – динамика процесса (рис.1).  Концентрация входящего сока а_r =22%. В течение 4000 с она достигает максимального значения и равняется 48%. Дальнейший рост концентрации в первом корпусе вакуум-выпарной установки не наблюдается. Вывод таков, что в первом корпусе вакуум-выпарной установки время пребывания сока должно быть не более 4000 с;

изменение температуры сока на выходе - динамика процесса (рис. 2). Температура сока, вошедшего в аппарат убывает за счет испарения влаги. В течение 70 с она достигает 87,8⁰С, т.е. охлаждается на 2,2⁰С; В первый корпус многокорпусной вакуум-выпарной установки сок подается с максимально достигаемой температурой (около 90⁰С) для того, чтобы не произошло чрезмерное охлаждение сока, т.к. существуют последующие ступени выпаривания. Потери температуры связаны с испарением влаги, они восполняются за счет обогрева корпуса аппарата глухим паром;

изменение расхода сока на выходе выпарного аппарата по времени - динамика процесса (рис.3). Расход концентрированного сока на выходе из аппарата должен изменяться в зависимости от расхода на входе выпарной установки и концентрации на входе и выходе, или же расхода вторичного пара, испаряемого из выпарного аппарата. В анализируемом случае расход жидкости по истечении отрезка времени в 3000 с уменьшается с 1,39 кг/с до 0,6 кг/с, далее устанавливается постоянный (установившийся) режим выпаривания сока. В исследуемом случае переходный период составляет 4000 с.  Кривая носит квадратичный характер, период изменения расхода от  1,39 [кг/с] до 0,6 [кг/с] составляет всего 2000 с, однако уменьшение расхода длится до 4000 с;

Изменение высоты жидкости в аппарате Н [м] по времени , [c]  (рис.4). Высота столба жидкости в аппарате необходима для поддержания расхода обработанного сока через нижний патрубок аппарата. В случае увеличения высоты увеличивается расход через патрубок и наоборот, при уменьшении  высоты уменьшается высота столба жидкости.

Выводы. Математическое моделирование процесса выпаривания сока позволяет определить количество корпусов, позволяющих обеспечить минимальные энергетические затраты на концентрирование сока. Результаты моделирования может быть использованным для составления математического описания экономических показателей и дальнейшей оптимизации процесса выпаривания.

Список литературы:

1. Панфилов В.А. Научные основы разработки технологических линий пищевых производств. – М.: Агропромиздат, 1986. – 288 с.
2. Таубман Е.И. Испарение. – М.: Химия, 1982. – 327 с.
3. Фруктовые и овощные соки: перевод с немецкого / Шобингер У. / Под ред. канд. техн. наук А.Н. Самсонова. – М.: Легкая и пищевая промышленность, 1982. – 472 с.
4. Додаев К.О. Разработка научных основ интенсификации процессов тепло- и массопереноса при переработке томатов. Диссертация канд. техн. наук. Ташкент. 2006. – 260 с.
5. Маматкулов А.Х. Оптимальная организация гидродинамической структуры потоков в тепло-массообменных аппаратах // Дис....докт. техн. наук. – Ташкент. – 275 с.
6. Павлов К.Ф., Романьков П.Г., Носков А.А. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химических технологий. – Л.: Химия, Ленинградское отделение, 1981. – 600 с.
7. Максумова Д.К. Совершенствование процессов и аппаратов комплексной переработки бахчевых культур и их приборное оформление / Дисс. канд. техн. наук. Ташкент. 2010. – 145 с.
8. Абдурахманов О.Р. Моделирование и оптимизация процесса получения томатной пасты в системе центрифугирования-испарения / Дисс. канд. техн. наук. – Ташкент: ТХТИ, 2000. – 161 с.
9. Жураев Х.Ф., Чориев А.Ж., Артиков А.А., Додаев К.О., Хикматов Д.Н., Сафаров О.Ф., Мехмонов И.И. Интенсификация процессов тепло- и массопереноса при комплексной переработке сельскохозяйственной продукции // Хранение и переработка сельскохозяйственного сырья. №11. 2003. – С. 47-48.
10. Ф.Эшматов, К.Додаев, Х.Хасанов. Переработка плодов граната в соки и концентраты. Ж. «Пиво и напитки». ООО «Пищепромиздат», № 2, М.: 2005 г. – С. 46-47.
11. К.Додаев. Научные основы интенсификации и приборное оформление процессов переработки томатов. Монография. Ташкент. Издательство «Фан», 2005. – 123 с.
12. Д.Максумова, К.Додаев, Ф.Эшматов, А.Чориев. Математическое моделирование и исследование процесса переработки фруктов и овощей в соки и пюре // Журнал «Химическая технология. Контроль и управление». Ташкент. №3. 2014. – С. 23-28.
13. К.О. Додаев, И.Т. Абдукадиров, Х.Ф. Джураев, Р.А. Бабаяров, А.Ж. Чориев, Д.К. Додаева, Д.А. Рахимов, И.А. Иванова. Особенности переработки бахчевых культур // Журнал «Пищевая промышленность». – Москва, 2002. – № 11. – С. 40.
14. Электроный ресурс https://royal-forest.ru/blog/poleznye_svoystva_shelkovitsy.
15. Электроный ресурс https://floristics.info/ru/stati/sad/2754-shelkovitsa-vyrashchivanie-i-ukhod-posadka-i-obrezka.html.
16. Электроный ресурс https://kfh-fruktovyjsad.ru/stati/shelkovitsa-vyrashhivanie-i-uhod.