К ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СТРУКТУРЕ. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

АННОТАЦИЯ

Теоретически исследованы электронные состояния в многослойных полупроводниковых структурах в квазиклассическом приближении, где рассчитаны одноэлектронных волновые функции стационарного уравнения Шрёдингера при наличии различного вида потенциала, который является медленно меняющейся функцией координаты.

Анализированы волновые функции и энергетические спектры электронов при линейном, квадратичном и в других приближениях. Показано, что для выполнения условия конечности волновых функций в бесконечности имеется два вида энергетического спектра, и оба нелинейно зависят от номера размерного квантования, т.е. размерно - квантованный энергетический спектр является неэквидистантным.

Определено, что энергетический спектр электронов в потенциале в квадратичном, кубическом и биквадратичном приближении принимает дискретные значения и крутизна энергетического спектра зависит от параметров разложения потенциала по координату.

ABSTRACT

Electronic states in multilayer semiconductor structures are theoretically investigated in the semiclassical approximation, where one-electron wave functions of the stationary Schrödinger equation are calculated in the presence of various types of potential, which is a slowly varying function of the coordinate.

Wave functions and energy spectra of electrons are analyzed in linear, quadratic and other approximations. It is shown that to fulfill the condition of finiteness of wave functions at infinity, there are two types of energy spectrum, and both depend nonlinearly on the size quantization number, i.e. the dimensionally quantized energy spectrum is non-equidistant.

It is determined that the energy spectrum of electrons in the potential in the quadratic, cubic and biquadratic approximation takes discrete values ​​and the steepness of the energy spectrum depends on the parameters of the expansion of the potential with respect to the coordinate.

Ключевые слова: энергетический спектр, многослойная структур, уравнение Шреденгера, размерное квантование, квазиклассическое приближение.

Keywords: energy spectrum, multilayer structure, Schrödinger equation, size quantization, semiclassical approximation.

Введение

Прогресс современной микроэлектроники в значительной степени определяется изучением свойств систем с неоднородно распределёнными параметрами, развитием методов эффективного теоретического анализа таких систем, разработкой и обеспечением объективными методами контроля технологических процессов, позволяющих создавать полупроводниковые слои с заданными свойствами [1-4]. В связи с этим ниже рассмотрим общие вопросы распространения электронных волн в среде, свойства которой меняются только вдоль определенного направления. Подход основан на использовании одноэлектронного стационарного уравнения Шрёдингера для описания процессов упругого рассеяния и туннелирования невзаимодействующих бесспиновых частиц при условии сохранения их полной энергии.

Исследование электронных свойств как симметричных, так и асимметричных по отношению геометрических размеров слоев полупроводниковой структуры является актуальным в связи с применением этих структур в микро- или наноэлектронике и в других областях физики твердого тела [1-6]. В работах [7–17] вычислены динамической проводимости σ (ω) или же тока j(ω), т.е. отклика системы на внешнее воздействие в полупроводниковой многослойной структуре. Теория создавалась в разных моделях с использованием различных математических способов решения уравнения Шредингера для системы электронов, взаимодействующих с электромагнитным полем в структуре с  образным потенциальным барьером. В этих работах задача решена без учета условия Бастарда [5], т.е. не учтены разность эффективных масс носителей тока в соседних слоях структуры.

В настоящее время молекулярно-лучевая эпитаксия и другие методы современной технологии дает возможость получения полупроводни­ковых слоев с произволь­ным профилем изменения состава (структуры с кван­товой ямой) для улучшения характеристик приборов, полученных на их основе [2, 4]. В этом случае задача об элек­тронных состояниях сво­дится к задаче о поведении частицы в потенциальных ямах произвольной формой. В частности, для созда­ния нового поколения резонансно-тун­нельных диодов, гетеролазеров с раз­деленными электронным и опти­чес­ким ограничением приме­няются струк­туры с прямоу­гольными размер­но-кванто­ван­ными ямами, в центре ко­торых име­ется дополнительный энер­­гетический провал.

Исследование электронных состояний в вышеупомянутых структурах приводит к расчету одноэлектронных волновых функций стационарного уравнения Шрёдингера в квазиклассическом приближении при наличии потенциала U (х), который будем считать медленно меняющейся функцией координаты х.

Тогда одномерное уравнение Шрёдингера запишется как

,                                                (1)

где, проводя замену  и получим уравнение для функции  [19]

.                                      (2)

Считая, что рассматриваемая система по своим свойствам близка к классической, будем искать решение в виде ряда по степеням постоянной Планка, т.е. 

                                        (3)

Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид

,                         (4)

где  ,  и -эффективная масса и энергия носителей тока.

В классически недоступных областях энергии, т.е. при , импульс носителей тока становится мнимым. Тогда в этих областях (4) принимает вид

                       (5)

Отметим, что точность квазиклассического приближения не позволяет учитывать оба слагаемых одновременно, и поэтому в некоторых случаях не учтем экспоненциально малого слагаемого в (4) и (5).

Линейное и квадратичное приближение

Рассмотрим изолированную классическую точку поворота при , вдали от которой квазиклассическое приближение применимо для расчета коэффициента прозрачности потенциального барьера [20]. Поэтому решения уравнения Шреденгера в разрешенных и запрещенных областях могут быть найдены по формулам (4) – (5).

Волновая функция вблизи точки поворота может быть найдена в результате решения уравнения Шрёдингера, где вблизи точки поворота  потенциальную энергию  представим в виде

                               (6 a)

или

.                                        (6 b)

Тогда уравнение Шрёдингера запишется как

или

                                              (7)

общее решение которого является произвольная линейная комбинация гипергеометрических функций, т.е.

,        (1.68)

где  ,,  ,.

В общем случае, что соответствует экспоненциально растущей волновой функции. Поэтому для выбора волновой функции, удовлетворяющей условия конечности волновых функций в бесконечности, т.е. удовлетворяющие данного квантово-механического подхода, имеются две альтернативные случаи:

1. ,  и . В этом случае волновая функция принимает вид

,                            (9)

а энергетический спектр носителей тока квантован и определяется как

.                                              (10)

Из (10) получим выражение для размерно-квантованного энергетического спектра в виде

или

.                              (11)

2. ,  и . В этом случае волновая функция принимает вид

,                     (12)

а энергетический спектр носителей тока квантован и определяется соотношением:

.                              (13)

Для количественного анализа размерно-квантованного энергетического спектра считаем, что . Тогда имеем выражение для размерно-квантованного энергетического спектра в виде, удобного для количественного расчета

 ,                                           (14)

где    , .

Аналогичным образом нетрудно получить следующее выражение

.                                       (15)

Из (11) и (13) формул видно, что для выполнения условия конечности волновых функций в бесконечности имеется два вида энергетического спектра, и оба нелинейно зависят от номера размерного квантования, т.е. размерно - квантованный энергетический спектр неэквидистантен.

Из рис.1 a и b представлены зависимости размерно – квантованных энергетических спектров, характеризуемых величинами  и   от параметра . Из этих рисунков видно, что с ростом  величины  и   с уменьшается. Эти энергетические величины с  с ростом  сначала уменьшается и достигается до минимума, а затем увеличивается.

Отметим здесь, что при количественных расчетах удобно использовать связь вышеприведенных гипергеометрических функций с полиномами Эрмита:

,.

Рисунок 1. Зависимости энергетических величин  и  от  для различных значений номера размерного квантования, где

Кубическое и биквадратичное приближение

Далее рассмотрим следующие кубический и биквадратичный члены в (6), т.е.

                                    (16)

где  .  и  -коэффициенты разложения в ряд по . Решение уравнения Шреденгера можно произвести аналогичным образом. При этом оно переходит в уравнение Шреденгера для гармонического осциллятора при   и . Тогда его можно решить с помощью теории возмущения [19]. При этом энергия частиц в потенциале (16) в нулевом приближении равняется энергию гармонического осциллятора:

                                                  (17)

а волновая функция в нулевом приближении имеет вид [19]

.                              (18)

Тогда расчет энергетического спектра электронов по теории возмущения дает следующий результат

 ,                                    (19)

где  - эффективная масса электронов, ocь  выбрана в качестве оси размерного квантования, , в сферическом приближении в энергетическом спектре . .

На рис.2 представлена зависимость  от параметра   для различных . Из рис.2 видно, что энергетический спектр электронов в потенциале (16) принимает дискретные значения и крутизна энергетического спектра тем заметна, чем больше, а также она уменьшается с ростом  для произвольных значений .

Линейное приближение

Если считаем, что  тогда уравнение Шреденгера принимает вид

                                                     (20)

решение которого можно представить в виде линейной комбинации функций Эйри первого и второго рода

                                            (21)

где  .

Рисунок 2. Зависимость  от параметра   для различных . Сверху первая линия соответствует величине , вторая-  а третья-  для различного значения

Неизвестные величины  и , определяемые из граничных условий рассматриваемой задачи, , - функции Эйри, которые при отрицательных значениях  как , так иосциллируются, а при положительных значениях   функция  экспоненциально затухает, а экспоненциально растет. Поэтому в дальнейшем, например, для расчета связанных состояний электронов, считаем, что коэффициент , поскольку волновая функция должна затухать на бесконечности (см.рис.3).

Для определенности рассмотрим случай, когда разрешенная область находится слева от точки поворота , а запрещенная область - справа. Тогда нас будет интересовать решение, которое экспоненциально затухает при  и осциллирует при . Такое решение уравнения Шреденгера описывается функцией Эйри первого рода, которая имеет следующие асимптотики, т.е. пр

,

                 (22)

Отметим, что связь затухающих и осциллирующих решений (4) – (5) в разрешенных и запрещенных областях энергий может быть получена и без сшивки волновых функций в определенной координате. Проиллюстрируем это следующим образом. Если предположить, что частица налетает на треугольный потенциальный барьер) слева, то справа от барьера (в области ) будет существовать лишь следующая экспоненциально падающая функция:

,                                       (23)

которое совпадает с асимптотическим разложением для функции Эйри при , где C – постоянная, определяемая из граничного условия задачи.

Рисунок 3. График функции Эйри: Ai(y) (ромбы) и Bi(y) (сплошная линия)

В классически разрешенной области I () волновая функция может быть представлена в виде двух бегущих волн

                       (25)

Для того, чтобы это выражение имело вид стоячей волны и, тем самым, совпадало с асимптотическим выражением для функции Эйри при , необходимо потребовать, например,  и . В этом случае формула (10) принимает следующий вид

                                          (26)

Таким образом, мы установили, что экспоненциально затухающее решение переходит в осциллирующее решение.

В заключение заметим, что полное и строгое решение задачи в квазиклассическом приближении, которое позволит описать волновую функцию для произвольных значений х, теперь сводится к задаче о сшивании точного решения уравнения (6) вблизи точки  с приближенными решениями (4) – (5) в области применимости соотношений. Этот случай требует отдельного рассмотрения.

Список литературы:

1. А. А.Щука. Наноэлектроника. -М., Физматкнига. 2007. -465 с.
2. Г.М.Младенов, В.М.Спивак, Е.Г.Колева, А.В.Богдан. Наноэлектроника. Введение в наноэлекронные технологии. -Киев-София. 1 книга. Техносфера. 2009. -327 с.
3. Д.А.Усанов, А.В.Скрипаль. Физические основы наноэлектроники. –Саратов. 2013. -128 с.
4. В. П.Драгунов. Основы наноэлектроники. -М.: Физматкнига. 2006. -494 с.
5. G. Bastard, Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructure, Edi­tions de Physique. -Les Ulis, France. 1988. -317 р.
6. E.L. Ivchenko, G.E. Pikus. Superlattices and Other Heterostructures: Symmetry and Optical Phenomena, Springer Series in Solid-State Sciences. -Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. 1995; second edition 1997. -657 р.
7. И.В. Беляев, Е.И. Голант, А.Б. Пашковский. Особенности резонансного взаимодействия электронов с высокочастотным электрическим полем в двухбарьерных структурах // -ФТП. 1997. –Т.31. -№2. -С.137-144.
8. Е.И. Голант, А.Б. Пашковский. Резонансное взаимодействие электронов с высокочастотным электрическим полем в несимметричных двухбарьерных структурах //-ФТП.-1997. -Т. 31. -№9. –С.1077-1082.
9. Е.И. Голант, А.Б. Пашковски Двухуровневые волновые функции электронов в двухбарьерных квантово-размерных структурах в электрическом поле конечной амплитуды//- ФТП. -2000. -Т.34.-№3. –С. 334-339.
10. Е.И. Голант, А.Б. Пашковский. Резонансные переходы между расщепленными уровнями трехбарьерных наноструктур и перспективы их применения в приборах субмиллиметрового диапазона//-ФТП. -2002. –Т.36. -№3. –С.330-337.
11. А.Б. Пашковский. Четность и резкое расширение резонансных уровней в трехбарьерных структурах //-Письма ЖЭТФ. -2005. -Т. 82. -№ 3-4. -С.228-233.
12. В.Ф. Елесин. Высокочастотный Отклик Двухбарьерных Наноструктур // -ЖЭТФ. -2002. -Т.121. -№4. -С.925-932.
13. В.Ф. Елесин. Резонансное туннелирование электронов, взаимодейтсвующих с фононами // -ЖЭТФ. -2003. -Т.123. -№5. -С.1096-1105.
14. В.Ф. Елесин. Резонансное Туннелирование И Нелинейный Отклик В Высокочастотном Поле// -ЖЭТФ. -2003. -Т.124. -№2. -С.379-393.
15. В.Ф. Елесин, И.Ю. Катеев. Высокочастотные свойства двухъямных наноструктур// -ФТП. -2008.–Т. 42. -№5. –С. 586-590.
16. В.Ф. Елесин. Переходные Процессы В Двухбарьерных Наноструктурах // -ЖЭТФ. -2014. -Т.145. -№6. -С.1078-1086.
17. В.И. Галиев, А.Н. Круглов, А.Ф. Полупанов, Е.М. Голдис, Т.Л. Тансли Многоканальное рассеяние носителей заряда на гетероструктурах с квантовыми ямами// -ФТП. -2002. -Т. 36. -№5. -С. 576-581.
18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория) Т.III. – М.: Физматлит, 2004. – 800 с.
19. Расулов Р.Я., Расулов, Н.З.Мамадалиева В.Р., Султанов Р.Р. Подбарьерный и надбарьерный перенос электронов через много­слойные полупроводниквые структуры // Изв. ВУЗов. Физика. -2020. Т. 63. -№4. -С. 8-15.
20. Гаврилов В.С., Денисова Н.А., Калинин А.В. Функции Бесселя в задачах математической физики: Учебно–методическое пособие. – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2014. – 40с.