Численное решение методом прямых интеграла дифференцирования уравнений связанных с задачами фильтрации газа

AННОТАЦИЯ

В данной статье исследуется фильтрации газа с учетом силы релаксации и скорости. Движение газа описывается интегро-дифференциальным уравнением вырождающихся на границе области. Для решения применен метод прямых с комбинацией метода дифференциальной прогонки, получена оценка погрешности метода.

ABSTRACT

This article investigates gas filtration taking into account the relaxation force and velocity. The gas motion is described by the integro-differential equation of degenerate at the boundary of the region. For the solution, the straight line method with a combination of the differential sweep method was used, an estimate of the method error was obtained.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, вырождающиеся, метод прямых, дифференциальная прогонка, сходимость, оценка погрешности, шаг по времени, газоносный пласт.

Keywords: integro-differential equation, degenerate, direct method, differential sweep, convergence, error estimation, time step, gas-bearing formation.

Рассмотрим полосообразованый газоносный пласт с конечной протяжностью, который эксплуатируется произвольно размещенной внутренней голореей с дебитами, при этом учитывается сила релаксации, допустим  проницаемость превращается в ноль.

После некоторых преобразований получим следующую задачу:

           (1)

при

При начальных при

Граничные условия выражаются от зависимости сходимости интегралов

   и   

Если     

Если     

Условие заменяется условием

И условия сопряжения

где коэффициенты кусочно-гладкой функции в  положительны при .

Для решения этой задачи предлагается следующая схема метода прямых. Уравнения (1) будем аппроксимировать на прямых   следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений

                                  (2)

, если   

Если условия при заменяется условием    условия сопряжения где  ,    – шаг по времени. Задача (2) решается последовательно от слоя к слою. Так как задача линейно относительно – эта система имеет решение [1,2]

Можно установить в пределе при  функции   (их линейные интерполяция     совпадающие с    при     и линейно зависящие от t  внутри слоев      дадут решение . Для этого устанавливаются оценки:

Оценки базируются принцип максимума [1], [3]

Здесь норма         

По индукции после некоторых алгебраических преобразований получим оценку

константы зависят от . Принципиально также оценивается производные от   любого порядка.

Решение задачи (2) построим следующим образом

Здесь:

где

                                                (4)

                   (5)

– решение задачи.

если

Если   ,            тогда  и условия сопряжения

Решение задачи существует и неубывает [1]. Тогда и непрерывные функции, кроме того . Непрерывность функции  очевидна если x>0, а для непрерывности в точке достаточно доказать сходимость интеграла

Если сходимость очевидна. Если ,  из (4),(5) получим , так как о получим сходимость интеграла доказана.

Будем доказывать, что  является решением задачи (2). Из (3) дифференцируя имеем

Дифференцируя второй раз и будем делить на m(x), получим

Отсюда легко можно установить

Доказали, что  решение задачи, удовлетворяющее уравнению (2).

Теперь приведем способ численного решения задачи. Предлагаемая схема основана на использовании метода дифференциальной прогонки. При этом, учет факта вырождения на границе области интегрирования потребуется изменения метода, названного применительно к вырождающемся уравнением.

Целесообразно построить численное значение и по формулам (4) и (5), где достаточно малое число, такие что , где  определяется по формуле

Ясно что  абсолютно непрерывные и монотонно возрастающая функция. Для определения получим

Применяя метод последовательных приближений на отрезке определим значения функции  равномерную сходимость это вытекает из принципа сжатых отображений. Для приближенного вычисления интегралов целесообразно применять метод выделения (ослабление) особенностей, предложений Конторовичом.

На отрезкезначение  и   определяются численным решением системы

После нахождения

решим уравнение вида не имеющее особенностей на отрезке  и построим решение при начальных условиях

Метод Рунге Кутта с автоматическим выбором шага. Легко видеть, что при  (6) имеет особенность вида

 и

Здесь необходимо различить два случая

А) пусть предел существует и конечен. Тогда вышеуказанные устраняются

В) если же (7) не существует, решение задачи сначала строим в области затем с помощью построим  по формуле

Находим в отрезке

Примечание 1. В каждом интервале коэффициенты задачи аппроксимируются с точностью

Примечание 2. Приближенное решение построенный методом прямых сходится к точному решению со скоростью , где  – по времени.

Список литературы:

1. Мухиддинов И.М. Абдуразаков А. Оценка погрешность и сходимости метода прямых длячисленного решениямноготочечной кривой задачи в трехслойном пласте. в сб. «Вопросы вычислительной и прикладной математики» выпуск 38, Ташкент, изд. Институт кибернетики с 89 []УзССР, 1975
2. Абдуразаков А., Махмудова Н., Мирзамахмудова Н. РЕШЕНИЯ МНОГОТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА В МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТАХ С УЧЕТОМ РЕЛАКСАЦИИ //Universum: технические науки. – 2019. – №. 11-1 (68).
3. Бобков В.В. Лисковец О.А. Точечные оценки в методе Ротэ. Дифференциальные уравнения 2, 1966, №5 с 140-640