Обобщенные параметры преобразования пространственных геодезических координат

АННОТАЦИЯ

В данной статье приводится анализ  преобразования пространственных прямоугольных  и геодезических координат  для топографических карт Республики Узбекистан. Описаны причины, влияющие на изменение координат при использовании методов Гельмерта и Молоденского. Изложена упрощенная методика вычисления поправки к сферическим координатам. Вычислены радиусы кривизны эллипсоидов для  южной и северной точки Узбекистана. Произведено сравнение   значений поправок между системами координат СК42 и WGS84. Отмечается роль значащих цифр при оценке точности вычисляемых координат. Для повышения точности трансформации  координат между двумя системами предлагается  использовать классические и современные методы измерений.

ABSTRACT

Analysis of the transformation of spatial rectangular and spherical coordinates  are given in this paper for topographic maps of Uzbekistan. The reasons that influence the change in the coordinates of points on topographic maps are described for Helmert and Molodensky methods. A simplified procedure for calculating the correction to spherical coordinates is described. The radius of curvature of the ellipsoids of the first vertical are calculated for the southernmost and northernmost points of Uzbekistan. The values of corrections between coordinate systems SK42 and WGS84 are calculated. The role of significant digits in the estimation of coordinate accuracy is noted. To improve the accuracy of coordinate transformation between the two systems, it is necessary to use classical and modern measurement methods.

Ключевые слова: картографическая проекция, преобразование, система координат, проекция Гаусса – Крюгера, СК42, WGS84.

Keywords: cartographic projection, transformation, coordinate systems, Gauss- Kruger projection, SK42, WGS84.

Введение

Вычисление прямоугольных координат точки на топографической карте в проекции Гаусса–Крюгера стало стандартной процедурой во всех топогеодезических организациях и учебных заведениях Узбекистана. Если же перейти к определению пространственных координат, то нужно учитывать  проекцию геоцентрических координат (Х,Y,Z)  или же пространственных  сферических координат (B,L,H) на  координатные оси (рис.1). Известно, что планово-высотные и географические  координаты, масштаб и картографическая проекция топографической карты приведены к системе координат СК42. С принятием новой системы координат WGS84 возникает проблема нахождения параметров связи между этими системами. В связи с этим, автором данной статьи была предпринята попытка найти предварительные поправки к системе координат СК42. Поэтому здесь изложены основные пути перехода к современной системе координат, хотя общая методика трансформации координат описана во многих классических и современных учебниках, изданных за рубежом и в странах СНГ [1], но численные значения поправок к координатам требуют подробного анализа.

Рисунок 1. Сферическая геодезическая система координат

В настоящее время реализовано несколько геодезических систем, которые связаны между собой  уравнениями связи. Система координат традиционных карт отличается от современных систем координат не только параметрами референц-эллипсоидов (рис.2),  но  и  картографической  проекцией. 

Рисунок 2. Эллипсоиды, используемые в Узбекистане

Эти параметры определялись в результате вычислительной обработки  массива измерений, выполненных различными инструментами. Точные параметры  связи имеются не для всех комбинаций эллипсоидов [2], в  то  же время, известно несколько вариантов связи, которые внесены в пакеты прикладных программ. Недостатком этих пакетов прикладных программ является не учет тектоники плит. Принятие той или иной системы координат зависит от цели и задачи, желаемой точности. Приобретая данные из разных источников, желательно получать вместе с ними также и параметры связи. Переход из одной системы координат в другую может осуществляться разными способами и средствами вычислений. Применение различных геодезических дат приводит к тому, что одна и та же точка земной поверхности имеет различные  координаты. Различие может составлять несколько десятков метров, что может быть достаточно большой погрешностью. Существуют  формулы связи систем координат [3] и разработаны специальные программы, которые реализованы в топогеодезических организациях. Для того чтобы понять разницу в системах координат необходимо рассмотреть теорию  преобразования  координат, разработанную Гельмертом и модифицированную Молоденским.

Теория преобразования геоцентрических координат

Общее уравнение связи пространственных прямоугольных координат по географическим координатам (φ, λ, Η) можно записать следующим образом [4]:

                                                                          (1)

Геоцентрические прямоугольные координаты точки  вычисляются по формуле:

                                                                 (2)

где r,φ,λ– это геоцентрическое расстояние,  широта и долгота (рис.3).

Рисунок 3. Сферические координаты

В первом приближении r можно считать равной большой полуоси эллипсоида а. Координаты точки в классической (x,y,z) и  новой (X,Y,Z) системе связаны между собой вектором  (рис.4). При параллельном переносе вектор    представляется следующей формулой:

       ,                                                                (3)

где  D_x, D_y, D_z  –  проекции вектора     на координатные оси x,y,z.

Рисунок  4. Параллельное смещение осей  координат

Скалярное значение вектора    или же расстояние между центрами начал двух систем выразится следующим образом:

                .                                 (4)

При вычислении этих параметров следует обратить внимание на единицы измерений, которые даются в метрах, а координаты иногда в километрах. Координаты  пункта  можно вычислить по стандартной формуле:

  ,                                                      (5)

где а, е – большая полуось и эксцентриситет (a = 6378137.000 м, e² = 0.00669438), N – радиус кривизны эллипсоида WGS84 в первом  вертикале, который имеет выражение:

     .                                                           (6)

Радиус кривизны эллипсоида в первом вертикале N является основным промежуточным параметром при вычислении координат, хотя значение отличается от реального геоцентрического расстояния. Геометрически – это отрезок нормали между точкой на поверхности эллипсоида и точкой пересечения с осью вращения эллипсоида (рис.5). Если B = 0⁰, то  N = a ,  а для B = 90⁰  N= a(1 - e²).

Рисунок  5.  Радиусы кривизны эллипсоида точки с широтой В

На основании формулы (6) были вычислены значения радиусов кривизны двух эллипсоидов  для южной и северной точки  Узбекистана (Табл.1).

Таблица 1.

Основные параметры  эллипсоидов  СК42 и WGS84

Из таблицы 1 видно, что в процессе промежуточных расчетов численные значения радиуса кривизны  первого вертикала не должны превосходить указанных пределов. Приведенные величины радиусов кривизны эллипсоидов служат контрольным примером в процессе вычисления геоцентрических расстояний. Иногда допускается, что оси систем координат  параллельны, но начало этих систем смещены по направлению вектора , тогда разности ΔB, ΔL, ΔH могут быть представлены без учета наклона осей [5]:

                        ,                                         (7)

  (8)

,     ,                   (9)

где М – радиус кривизны на меридиане пункта измерения, ρ^// – радиан в секундах дуги, Δa_Е – разность больших полуосей двух систем, Δα_Е – разность значений сжатий между системами, e – эксцентриситета.

Разности ΔB, ΔL, ΔH или Δφ, Δλ, Δh зависят не только от изменения размеров референц-эллипсоидов, но и от углов наклона между осями координат (рис.6).

Рисунок 6. Наклон осей координат

В общем случае такая связь может быть выражена семью параметрами связи – сдвигами начала координат (D_x, D_y, D_z), поворотами вокруг каждой оси (ω_x,ω_y,ω_z) и масштабным коэффициентом (μ). В результате создается матрица с направляющими косинусами (метод Гельмерта):

   .                     (10)

Системы координат в (10)  близки и  углы между ними не превышают 1-3^//. В таких случаях косинусы заменяются единицами, а синусы  можно представить в радианной мере:

        .                         (11)

Поскольку повороты и масштабирование нужны не всегда, то более простой путь вычисления является приближенный метод Молоденского. Этот метод не является точным, особенно если системы координат развернуты друг относительно друга.

 В некоторых случаях прибегают к более сложным уравнениям многомерной регрессии. В обычных спутниковых навигаторах реализованы более простые формулы Молоденского:

                                                                   (12)

      ,

здесь ΔX, ΔY, ΔZ - сдвиг по осям в метрах; a и f - большая полуось и сжатие; Δa и Δf – разности больших полуосей и сжатий эллипсоидов.

Анализ результатов вычислений

Определить разности координат между двумя системами пытались многие организации, но из-за отсутствия измерительных данных вынуждены производить  вычисления по  встроенным программам. Точное определение поправок к системе координат можно на основе классических и современных методов измерений в цифровых центрах, имеющие богатый опыт работы в области обработки позиционных измерений. Такие специализированные вычислительные центры имеются в России, США и других странах, но лидерами в этой области являются центральный научно-исследовательский институт геодезии и картографии (ЦНИИГАиК) и агентство по геоизображению и разведке (NGA, США). В этих организациях произведено точное вычисление параметров связи координат на основе классических  измерений, фотографических, лазерных наблюдений ИСЗ и навигационных измерений GPS  [6]. Однако для небольших территорий конформный или ортогональный метод является самым оптимальным, т.к. происходит согласование более точных спутниковых определений с менее точными значениями приращений координат  геодезической сети, а это обстоятельство оказывает существенное влияние на точность вычислений. 

В Узбекистане тоже была попытка произвести вычисление разности координат между  СК42 и WGS84 с известными углами Эйлера (w_x = 0.0", w_y = 0.35", w_z = 0.66"). Такое вынужденное допущение можно сделать в случае однородности классических геодезических измерений, т.е. масштабный коэффициент и углы разворота между двумя системами координат должны быть близки (Табл.2). Естественно, вычисленные результаты и точность являются приближенными из-за определенных допущений.

Таблица 2.

Значения разности координат центров между двумя системами

Как видно из таблицы 2, разница между системами координат почти одинаковая, меняется в зависимости от метода вычислений. Что касается результатов поправок, то их можно считать приближенными и предварительными из-за того, что были использованы данные только одной IGS станции, которая расположена в г. Китаб, Кашкадарьинской области, Узбекистан. Конечно, приведенные результаты не являются окончательными и стабильными, которые требуют детального исследования и уточнения. До сих пор эта проблема остается актуальной и важной, учитывая постоянный рост точности высокотехнологичных геодезических инструментов, основанных на архитектуре высокого уровня. Помимо этого, дополнительные  изменения  координат ГГС и GNSS пунктов возникают из-за  глобальных и локальных смещений микроплит [7]. При этом следует придерживаться  точности значащих цифр вычисляемых величин, описанных в теории математической обработки, разработанными великими основоположниками практической астрономии и геодезии Гауссом,  Бесселем, Крюгером и Дулитлем [8]. Поэтому, перед выполнением окончательных расчетов целесообразно произвести предварительный расчет точности координат.

Получение поправки к  координатам зависит от  точности результатов геодезических измерений, а разработанная схема [9] является обобщенной. Такая схема позволяет разработать специальное программное обеспечение на любом алгоритмическом языке с совместимым форматом ввода и вывода результатов измерений. Для быстрой реализации наиболее эффективной и простой программой вычислений  является процедура вычислений, составленной на языке офисного приложения    EXCEL.

Заключение

Таким образом, можно сделать вывод о том, что для повышения точности параметров преобразования координат необходимо использовать все наземные и спутниковые измерения, выполненные равномерно по всей территории исследуемого участка.

Приведенные значения радиусов кривизны могут быть контрольным примером при выполнении практических работ по дисциплине “Космическая геодезия”.

Полученные разности  между системами координат зависят не только от  размеров  референц-эллипсоидов и  углов наклона между осями координат, но и от смещений микроплит.

Список литературы:

1. Антонович К.М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии. М: Картгеоцентр, 2005.Т.1. – 334с.
2. Оньков И.В. Определение параметров преобразования плоских прямоугольных координат в проекции Гаусса–Крюгера по  одноименным точкам // Геопрофи, 2010. №6. С.56-59.
3. Машимов М.М. Уравнивание геодезических сетей. М.: Недра.1979. – 367с.
4. Яковлев Н.В. Высшая геодезия. Учебник для вузов. М.: Недра, 1989. –445с.
5. Mirmakhmudov E. Determination of transformed parameters between CS42 and WGS84 /UN Workshop on the Applications of GNSS. Baška. Croatia, 2013.
6. Базлов Ю.А. и др. Параметры связи систем координат // Геодезия и картография. 1996. № 8. С. 6–7.
7. Мирмахмудов Э.Р. Определение геоцентрического смещения координат пунктов Центрально-Азиатской геодинамической сети Узбекистана // Научный журнал: 7 Universum. Москва, 2020. №73. С.26-29.
8. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. М.: Недра,1977.  – 368с.
9. Mirmakhmudov E. et al. GNSS based geodetic infrastructure in Uzbekistan. The 3rd EUPOS® Council and Technical Meeting. Prague, Czech Republic. 2016.