Нелинейная динамическая модель магнитомодуляционного преобразователя тока

АННОТАЦИЯ

В этом статье произведем уточненный расчет переходный процессом в магнитомодуляционного преобразователя тока, не производя при этом замену широтно-импульсный модулятор на амплитудно-импульсной модуляция. Показано, что при больших постоянных времени фильтра низких частот целесообразном является представление магнитомодуляционного преобразователя тока в структурной схеме системы автоматического управления в виде линейного импульсного звена с амплитудно-импульсной модуляция.

ABSTRACT

In this article, we will make a more precise calculation of the transient process in the magnetomodulating current transducer without changing the pulse-width modulator to pulse-amplitude modulation. It is shown that for large time constants of the low-pass filter, it is advisable to present the magnetomodulating current transducer in the block diagram of the automatic control system in the form of a linear pulse link with amplitude-pulse modulation.

Ключевые слова: Широтно-импульсный модулятор, магнитомодуляционного преобразователя тока, фильтра низких частот, амплитудно-импульсной модуляция.

Keywords: Pulse-width modulator, magnetomodulating current converter, low-pass filter, pulse-amplitude modulation.

В настоящее время имеется ряд методов исследования нелинейных дискретных систем [1-2]. Системы с модуляцией ширины импульса наиболее точно описываются методом пространства состояний [3]. Он является наиболее общим и довольно простым. Точное решение при анализе системы с получается в виде рекуррентного состояния, позволяющего найти искомое величины с помощью пошаговых вычислений. Другие методы, позволяющие найти решение в аналитическом виде, либо приближены, либо слишком сложны.

Управление состояние дискретное системы записываются в матричный форме [1]:

 ,                                                                (1)

где ;  – период импульса;  – вектор – столбец, представляющий одновременно выходные переменные и переменные состояния; А  - квадратная матрица коэффициентов.

Решение уравнения (1) имеет следующий вид [4]:

где  - расширенная матрица перехода системы для интервала ; -длительность импульса;  - начальные условия в момент  , т.е. справа.

Для интервала  решение уравнения (1) имеет вид :

где  - расширенная матрица перехода для данного интервала;  - начальные условия в момент     

Для составления уравнений состояния магнитомодуляционного преобразователя тока (ММПТ) с широтно-импульсный модулятор (ШИМ) следует предварительно составить структурную схему датчика для метода пространства состояний постоянную из интеграторов и сумматоров.

В качестве примера расчета переходного процесса возьмем ММПТ с усилителем-ограничителем при воздействие на него единственного скачка измеряемого тока . Для составления структурной схемы ММПТ преобразуем передаточную функцию выходной цепи следующим образом:

,

где  - постоянная времени выходной цепи. Отсюда ток, подмагничивающий сердечника, будет равен:

                                                       (2)

Обозначим  и после несложных преобразований получаем:

                                                        (3)

Аналогичным образом преобразуем передаточную функцию фильтра низких частот (ФНЧ)  

где

 – напряжение на выходе широтно-импульсного модулятора являющееся выходным для ФНЧ;  и  – сигналы на входах соответствующих интеграторов в структурной схеме ММПТ. 

Используя соотношения (2) – (5) строим структурную схему ММДПТ для анализа его методом пространственного состояний (рис.1.). Переменными здесь является токи ,  и напряжения   и .

Широтно-импульсный модулятор на структурной схеме показан в виде ключа К, формирующего  - импульсы с методом  и амплитудой   и нелинейного формирователя Ф, формирующего положительные прямоугольные импульсы амплитудой   на отрезке  и отрицательные импульсы с той же амплитудой на отрезке .

Рисунок 1. Структурная схема ММПТ для анализа методом пространства состояний

Уравнения состояния ММПТ составим из анализа его структурной схемы. Имя являются дифференциальные уравнения первого порядка для переменных  , , , :  

                                                           (6)

Записывая систему уравнений (6) в матричной форме, получим матриц переменных и коэффициентов:

Уравнения, характеризующие состояние системы в момент переключений записываются следующим образом:

                                               (7)

Как видно из (7), в моменты переключений изменяет знак только выходной сигнал широтно-импульсного модулятора. Для систему уравнений (7) запишем матрицу переключений:

Основной задачей при анализе систем методом пространства состояний является нахождение переходной матрицы. Известно [3], что переходная матрица равна:

,

где  - единичная матрица.

В нашем случае матрица  равна:

Запишем изображение по Лапласу матрицы перехода:

где определитель матрицы

Произведя обратное преобразование Лапласа каждого элемента матрицы , и подставляя в него вместо  значения  и , получаем оригиналы матрицы перехода для соответствующих интервалов времени. Для интервала времени

Для интервала

Решение уравнения состояния (1) согласно [4] имеет следующий вид:

Здесь начальные условия не нужно определять при каждом шаге вычислений, так как матрица В учитывает изменение состояний переменных в моменты переключения.

Обозначим .

Вектор начальных условий в нулевой момент времени имеет вид:

где  - амплитуда пульсацией выходного напряжения.

Для ММПТ с усилителем-ограничителем сигналом  является напряжение на выходе усилителя-ограничителя. При использовании в качестве усилителя-ограничителя интегрального ОУ, имеющего напряжение питания , амплитуда выходного напряжения будет около. Амплитуда пульсаций находится с помощью одного из классического метода анализа линейных цепей. Задав начальные условия, получаем решение матричного уравнения (1) в виде:

Значения  и , в зависимости от тока  в соответствующие моменты времени находятся по выражениям, полученным в [6], если подставить в них вместо  величину .

В качестве примера были рассчитаны переходные характеристики выходное напряжения ММППТ и среднее значение этого напряжения за период по полученной нелинейной модели ММППТ с усилителем-ограничителем для следующих параметров:

  Постоянная времени ФНЧ менялась с шагом  от  до .

На рис.2. приведены расчетные графики переходных процессов ММПТ для среднего за период напряжения на выходе при . Там же для сравнения приведены огибающие осциллограммы, а также кривые, построенных по линейной модели, полученные в [5-10].

Рисунок 2. Графики переходные процесса при разных значения  и зависимости ошибки при расчете длительности переходного процесса в ММПТ при помощи линейной модели от величины : сплошные – по линейной модели; штрихпунктирные – по нелинейной модели; пунктирные – эксперимент

Сравнительный анализ кривых переходных процессов показывает, что нелинейная модель описывает переходные процессы в ММПТ точнее, однако, при увеличении  ошибка, получающаяся при замене ШИМ на АИМ, уменьшается. За ошибку линейной модели целесообразно принять разность длительностей переходного процесса в линейной и нелинейной моделях, измеряемых при   

,

где  - расчетные длительности переходного процесса соответственно в нелинейной и линейной моделях.

На рис.2 приведена зависимость . Из графика видно, что уже при   , что вполне достаточна для анализа динамики ММПТ с помощью линейной модели, тем более, что для эффективного подавлений пульсаций выходного напряжения приходится выбирать значительно большие величины .

Таким образом, в данной статье разработана нелинейная динамическая модель ММПТ. Показано, что при больших постоянных времени ФНЧ  целесообразном является представление ММПТ в структурной схеме системы автоматического управления в виде линейного импульсного звена с АИМ. 

Список литературы:

1. Амиров С.Ф., Атауллаев Н.О., Рустамов Д.Ш. Статические характеристики магнитомодуляционных датчиков тока Химические процессы. Контроль и управления. Ташкент, 2011г, №5 –
2. Святочевский А.А. Устройства контроля постоянного тока на магнитно – транзисторных мультивибраторах с широтно – импульсный модуляцией. Томск, 1987 г.
3. Беседин В.М., Ягодкина Т.В. Анализ линейных импульсных систем автоматического управления. Москва, 2000 г – 50с.
4. Бородавкин В.А., Петрова М.А. Дискретные системы. Балтийский ГТУ, 2005 г.
5. Бобцов А.А., Болтунов Г.И. Управление непрерывными и дискретными процессами. Санкт – Петербург, 2011 г – 176 с.
6. Болтаев О.Т. Структурные методы расчета магнитных цепей с подвижными электромагнитными экранами// X Международный молодежный конференция по научных работ «Молодежь в науке: новые аргументы». 1 март 2019. – Липецк, Россия, 2019. – С. 21-24.
7. Amirov S.F., Boltayev O.T. The study of dynamic modes of converters with movable electromagnetic screens and distributed parameters // Chemical Technology. Control and Management. - 2019. - № 6. - pp. 19-25.
8. Амиров С.Ф., Болтаев О.Т., Жураева К.К. Исследование магнитных цепей новых преобразователей усилий // Автоматизация. Современные технологии. Москва, 2020. – №1. С. 24-26
9. Amirov S.F., Boltaev O.T., Axmedova F.A. New created mathematical models of movable screens and a scatter parameters converters // Jour of Adv Research in Dynamical & Control Systems, Vol. 12, Special Issue-02, 2020. pp. 122-126
10. Merganov A. M. Model of search for the placement of warehouses of tarnet-and-string cargo depending on the cargo //Journal of TIRE. – 2018. – Т. 14. – №. 2. – С. 129-133. https://uzjournals.edu.uz/tashiit/vol14/iss2/10/