Исследование влияния кинетической энергии при движении вагона по тормозным позициям

АННОТАЦИЯ

В статье на основе теоремы об изменении кинетической энергии для несвободной материальной точки в конечной форме теоретической механики выведены формулы для определения пути торможения вагона в зоне торможения сортировочной горки. При известной величине ускорения при затормаживании вагона путь прохождения вагона участка торможения также можно определить по формуле пути элементарной физики. При этом относительная ошибка расчёта при одном и том же значении начальной скорости составляет ≈ 1,4 %, что ничтожно мало, что подтверждала корректность вывода аналитической формулы. Это подтверждает бесспорность, корректность и применимость построенных математических моделей применительно к зоне затормаживания вагона на всех участках тормозных позиций.

ABSTRACT

In the article, on the basis of theorems on the change of kinetic energy for a non-free material point in the final form of theoretical mechanics, formulas for determining the braking path of the car in the braking zone of the sorting hill are derived. With a known value of the acceleration during the braking of the car the path of the car braking section can also be determined by the formula of the path of elementary physics. In this case the relative error of the calculation with the same values of the initial velocity is ≈ 1.4 percent, which is negligible, which confirmed the correctness of the derivation of analytic formulas. That confirms indisputability, correctness and applicability of the constructed mathematical models in relation to a zone of braking of the car on all sites of brake positions.

Ключевые слова: Железная дорога, станция, сортировочная горка, вагон, скорость входа вагона в зону торможения, ускорение при торможении, путь и время торможения.

Keywords: Railway, station, marshalling hump, car, the input speed of the car in the area of braking, braking acceleration, the stopping and time.

Актуальность проблемы

Настоящая статья является продолжением серий научных дискуссии по проблеме корректности [1, 2] и/или ошибочности (некорректности) [3 – 19] существующей методики горочных расчетов сортировочных горок [19 – 26]. Так, например, в [1, 2] упорно отстаиваются корректность теоретических основ [20 – 27] таких крупных транспортных объектов, какими являются сортировочные горки (см. стр. 21 в [1]), где широко использованы формулы скорости свободного падения тела с учетом массы вращающихся частей (колёсных пар) вагона для определения скорости движения вагона на всех участках горки, включая участки тормозных позиций. В [3 – 19] на основе применения классических положений теоретической механики [28, 29] расчетными данными [5, 6, 10 – 12, 17, 19, 30] доказаны некорректность методик горочных расчетов [20 – 27], поскольку теоретические основы сортировочных горок опираются на использовании идеальных связей [5, 28, 29, 31], т.е. не учитывается действия сил сопротивления скатывания вагона (см. стр. 22 в [1]). Помимо того, также заметим, что в [1] отмечено, что, «по мнению авторов статьи [3], формула для определения удельного сопротивления от воздушной среды w_св является «ошибочной», но в чем ошибка – ответа в статье [3] нет. Следовательно, это безосновательное заявление» (см. стр. 24 в [1]). Отсюда вытекает, что авторы статьи [1, 2], как это не удивительно, упорно отстаивают свои же ошибки.

В [21] и/или что одно и то же в [22], по определению результирующей скорости ветра v_р (как абсолютной скорости), равной сумме скорости ветра v_в и вектора v_вг, равного по модулю скорости вагона v_вагона, но противоположного по направлению (рис. 1 или рис. V.7 в [22]) [без пояснения причин направления вектора v_вг, «противоположного по направлению скорости вагона v_вагона»]. Пример применение теоремы о сложении скоростей при сложном движении в векторной форме [29, 31], когда задана абсолютная скорость частиц  (например, дождевой капли) и требуется определить относительную скорость частиц воздуха , согласно правилу вычитания векторов, общеизвестно, как задача нахождения скорости дождевой капли относительно вагона (см. пример 2 на стр. 65 в [31]). Отсюда ясно, что основной ошибкой работ [21, 22], а в последующем нормативно-технического документа [23], а также из-за того, что результаты этих работ критически не анализированы, и работы [24], является то, что относительная скорость частиц воздуха  принята за абсолютную скорость частиц (т.е. за скорость ветра по отношению к земле, как к неподвижной системе отсчета)  (см. рис. 1 в [21]).

В [1] также отмечено, что «прежде чем решаться критиковать сделанное ранее, необходимо изучить теоретические подходы и практические инженерные методы хотя бы ведущих школ в области проектирования сортировочных горок [24, 25]» (см. первый абзац средней колонки на стр. 24 в [1]). К сожалению, в [24] без критического анализа результатов работ [21 – 23] вслепую использованы формулы (1) – (6) из последних работ. Все это является одним из основных причин того, что формула для определения удельного сопротивления от воздушной среды w_св (4) и/или (5) в [26] отмечена в [3], как «ошибочная». Заметим, что в [23] при использовании формул (1), (3), (4) – (6), ссылка на них сделаны не на [21, 22], а на [23] (см. стр. 10 в [24]). Отсюда ясно, что результаты исследований в [21] легли в основу не только работы [22], но и в [23], а из последней работы без критического анализа результатов работы [21, 22] формулы (1) – (6) используются до настоящего времени не только в нормативно-техническом документе [26], но и в учебниках для вузов железнодорожного транспорта [27].

Особо оговоримся, что, хотя прикладная задача математического моделирования движения отцепа от участка надвига, вершины горки и по профилю горки с различными уклонами до расчетной точки математически не разрешимая задача, вместе с тем содержание существующей методики горочных расчетов сортировочных горок [20 – 27] посвящены расчету высоты горки с учетом скорости движения не одиночного вагона, а, как ни странно, отцепа, состоящая до 18 вагонов (например, нечетная сортировочная горка ст. Инская Западно-Сибирской ж.-д.), а иногда и до 25 вагонов (например, нечетная сортировочная горка ст. Екатеринбург Сортировочная Свердловской ж.-д.) [32]. Так, например, в [25] сделана попытка определить «фактическую погашаемую энергетическую высоту h_т, якобы реализованной на каждой тормозной позиций, определяли по формуле (3.17), не имеющей теоретической базы, поскольку вторая её слагаемая справедлива лишь для идеальной связи и не имеет никакого отношения для исследуемого участка горки, что противоречит принципам теоретической механики [28, 29, 31]. Отсюда становится очевидным, что «теоретические подходы и практические инженерные методы … ведущих школ в области проектирования сортировочных горок [24, 25]» (см. первый абзац средней колонки на стр. 24 в [1]) никак не могут быть отнесены к ведущим школам. «Ошибки не есть ещё лженаука. Лженаука – это не признание ошибок»^[1].

В [17] отмечено, что существующая методика горочных расчетов сортировочных горок [20 – 21] в основном направлена на определение высоты сортировочной горки от ее вершины до расчетной точки, и в ней такие кинематические параметры движения вагона, как ускорение и время движения вагона в зоне затормаживания вовсе не принимаются во внимание, не упоминая о том, что в [20 – 27] вовсе нет понятия о расчете пути затормаживания вагона.

Критический анализ работ [20 – 27], выполненный в [3 – 19], позволяет отметить актуальность проблемы методики горочных расчетов сортировочных горок и, в частности, исследования движение вагона в зонах затормаживания на участках тормозных позиции.

Цель настоящей статьи

На основе классических положении теоретической механики необходимо построить математические модели движения вагона и вывести формулу для определения пути его затормаживания в l_затi (и/или l_тi).

Формулировка задачи

Результатами расчётных данных подтвердить корректность и применимость построенных математических моделей применительно к зоне затормаживания (ЗТ) вагона на второй тормозной позиции.

Методы решения задачи

Прикладная задача решена на основе теоремы об изменении кинетической энергии для несвободной материальной точки в конечной форме (см. формулу (62.3) в [28]).

Математическое описание решения задачи

Запишем теорему об изменении кинетической энергии для несвободной материальной точки на перемещении AB (см. рис. 1 в [15]), между которыми возможно движение вагона, с учётом начальной скорости v_н.т, в конечной форме (см. формулу (62.3) в [28]) применительно к решению рассматриваемой задачи в виде:

                                                                   (1)

с учётом того, что в ней

.                                                                          (2)

Как видно, приращение кинетической энергии системы ∆E равно сумме соответствующих работ активных сил A^(F) = A_Gx и реакций связей A^(Fтр) = A_Fтр: 

                                                                    (3)

В формуле (2) принято обозначение:

A_Gx – работа проекции силы тяжести G_x по оси Ox на перемещении x_Cв между точками A и B (см. рис. 1 в [15]), произведённой силой G_x:

;                                                              (4)

A_Fтр – работа силы трения F_тр (в общем случае, может быть и силы сопротивлений всякого рода F_с) на перемещении x_Cв между точками A и B (см. рис. 1 в [15]):

                                                     (5)

где f_т = 0,25 – коэффициент трения колес железнодорожного вагона о рельсовые нити [33].

Подставляя последние две формулы в (2) с учётом (1), после упрощений, можно получить формулу для определения скорости движения вагона в зоне затормаживания на участках тормозных позиций:

или при x_Cвi = l_тi

                                          (6)

где i – номера участков профиля пути (i = 1, … 9).

Отсюда, при v_k.тi = 0 и x_Cвi = l_тi:

. 

Из последнего равенства окончательно получим путь затормаживания вагона x_Cвi = l_тi (см. стр. 309–318 в [31]):

                                                         (7)

Если иметь в виду, что для малых углов (менее 5º), соответствующих профилю на всей протяженности пути сортировочной горки: sinψ_i ≈ ψ_i = i_i, cosψ_i ≈ 1, то формулы (6) и (7) примут вид:

                                                             (8)

                                                                        (9)

Как видно, величина тормозного пути l_затi (и/или l_тi) прямо пропорциональна квадрату начальной скорости v_нтi, уклона пути i_i и обратно пропорционально коэффициенту трения скольжения f_т.

Оговоримся, что ускорение вагона при равнозамедленном движении в зоне затормаживания |a_kтi|, имеющее отрицательный знак (здесь |a_kтi| – модуль a_kтi), находят по формуле (см. формулу (1) в [17]), м/с²:

                                                                      (10)

где |∆F_тi| – результирующая сила, под воздействием которой колёсные пары вагона принуждены и/или вынуждены скользить по поверхностям катания рельсовых нитей и тормозным шинам вагонного замедлителя в зонах затормаживания на участках тормозных позиций (ТП) (см. формулу (2) в [17]), кН:

                                                                     (11)

|a_kтi| = a_kтi∙sgn∆F_1тi – функция модуль, причём |a_kтi| = – a_kтi, если |∆F_1тi| < 0;

M_пр0 – приведённая и/или воображаемая масса вагона с грузом совместно с невращающимися частями (т.е. кузов вагона и тележки) и/или при чистом скольжении колёсных пар, принуждённо «зажатых» тормозными шинами вагонного замедлителя в зонах затормаживания на участках ТП, как пара сухого трения «сталь по стали», рассчитываемая по формуле (19) в [16], кг.

Интересно заметить, что, если, согласно формуле (10), известно значение ускорение движения при равнозамедленном движении вагона |a_тi|, определенное по силовым соотношениям (11), то можно определить скорость движения до момента остановки вагона по редко используемой формуле скорости элементарной физики (см. формулу (21) в [34]):

.                                                                        (12)

Используя классическую формулу скорости элементарной физики (см. формулу (16) в [34]):

                                                                         (13)

можно найти время затормаживания t_затi = t_lтi до момента остановки вагона t_затi = t_lтi < t, где t – текущее время в секундах:

                                                                          (14)

Таким образом, применение теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки в конечном виде [31] в зонах затормаживания вагона на участках ТП по формуле (7) и/или (9) позволили определить путь прохождения вагона участка торможения l_затi (и/или l_тi). Формулы скорости элементарной физики при заданном значений ускорения при равнозамедленном движении вагона |a_тi|, полученным по силовым соотношениям, дали возможность найти время затормаживания вагона t_затi = t_lтi до момента остановки вагона, т.е. при t_затi = t_lтi < t, где t – текущее время в секундах.

При этом, для вычисления l_тi рассматриваются следующие варианты:

а) непосредственный вход на участок тормозной позиции первой колёсной пары l_вхi и/или колёсных пар передней тележки l_пт;

б) вход вагона на участок на длину базы вагона l_кб, которые необходимы для задания v_нi.т = 3,57 – начальной скорости v_нi.т и/или скорости входа вагона v_вхi (имея в виду, что v_нi.т = v_вхi.т) в зону затормаживания.

Заметим, что путь торможения вагона можно определить по следующей формуле [31], м:

                                                  (15)

Ускорение вагона при равнозамедленном движении в зоне затормаживания |a_kтi|, в отличие от формулы (10), также можно определить по другой формуле (см. формулу (5) в [17]), м/с²:

                                                                     (16)

где a_т = const – условное обозначение линейного ускорения вагона при равнозамедленном движении в зонах затормаживания на участках ТП (см. формулу (6) в [17]), м/с²:

                                                                             (17)

Например, при G₁ = 794 кН и M_пр0 = 8,269∙10⁴ кг: a_т = 8,953 м/с²;

i_т0xi – безразмерная величина, условно характеризующая обозначение уклона профиля горки на участках ТП при учете воздействия проекции силы попутного ветра F_вx (см. формулу (7) в [17]):

                                                                             (18)

с учетом того, что в ней k_вx – безразмерная величина, учитывающая воздействие проекции попутного ветра F_вx малой величины на ось Ox, как способствующей ускоренному движению вагона в долях от G₁, причем при неучёте силы F_вx: k_вx = 0; |w_тi| – отвлечённое число и/или безразмерная величина, условно характеризующая обозначение удельного сопротивления движению всякого рода в зонах затормаживания на участках ТП (см. формулу (8) в [17]). Известно, что в [стр. 180 в 20; 22, 23, 26, 27] |w_тi| имеет размерность внесистемной единицы измерения в кгс/т).

Теперь формуле (15) в соответствии с формулой (16) можно придать и такой вид (см. формулу (8) в [18]), м:

                                                           (19)

а с учетом формулы (16) последнюю формулу можно представить, как известную из курса физики формулу, м:

                                                                      (20)

Оговоримся, что момент остановки заторможенного вагона t_тi можно найти по формуле (см. формулу (5) в [18]):

                                                                   (21)

Отметим, что время затормаживания t_зат2 = t_т2, по истечении которое практически происходит полная остановка вагона v_т2 ≈ 0 м/с, можно рассчитать по формуле (см. формулу (6) в [18]):

                                                                                (22)

Как видно, время затормаживания вагона t_тi в момент остановки вагона, когда v_тi = 0, увеличивается пропорциональна начальной скорости v_нтi.

Сравнивая формулу (15), полученную согласно теореме о движении центра инерции системы материальных точек, и формулу (7), выведенной на основе теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки в конечном виде, с формулой пути, известной из курса элементарной физики (20), выявили, что они по форме разные.

Относительная ошибка расчёта пути торможения вагона, вычисленная по формулам (20) и (15), составили 1,52 %, а подсчитанная по формулам (20) и (19) равна 9,2 %, что находится в пределах точности инженерных расчетов.

Путь торможения вагона l_т1, вычисленный также по формуле элементарной физики (20): l_т1 = 13,35 ≈ 13,4 м, а по формуле (7): l_т31 = 12,86 ≈ 12,9 м.

Относительная ошибка вычислений равна 3,7 %, что подтверждает корректность вывода формулы (7).

Пример расчёта 1. Исследуем зону затормаживания (ЗТ) на участке второй тормозной позиций (2ТП) сортировочной горки в случае входа вагона на участок на длину базы вагона l_в (для платформы – l_в = 9,72 м) с учётом входа вагона на участок 2ТП l_вх2 =1,0 ,..., 2,0 м. Исходные данные примера таковы: G = 650 сила тяжести груза на вагоне, кН; G₁ = 794 – сила тяжести вагона совместно с невращающимися частями, кН; v_нт2 = v_вхт2 = 3,569 – начальная скорость и/или скорость входа вагона в зону затормаживания, м/с; t_т2 = 1,625 с – время затормаживания вагона, вычисленная по формуле (22); sinψ_2т ≈ ψ_2т = 0,010 рад., или i_т2 = 10 ‰, cosψ_2т ≈ 1 – уклон участка 2ТП профиля пути; f_т = 0,25 – коэффициент сухого трения скольжения при схватывании металла об металл [33]; F_вx = 3,2 – учёт силы продольного ветра малой величины, кН; F_торм = 23,75 – сила трения скольжения обода колёсных пар о сжатые тормозные шины, кН [35]; F_о2т = 198,5 – трения скольжения колёсных пар о сжатые тормозные шины, как основное сопротивление, кН; F_св = 0,0005G₁ ≈ 0,4 – сила сопротивления от воздушной среды и ветра, кН; F_сн = 0,00025G₁ ≈ 0,2 – сила сопротивления от снега и инея, кН; M_пр0 = 8,869∙10⁴ – приведённая масса вагона с грузом совместно с невращающимися частями, вычисленная по формуле (19) в [16], кг.

Здесь будем иметь в виду, что для установки тормозных замедлителей на спускной части горки выделены прямые участки, длина которых для второй тормозной позиции (2ТП), согласно паспорта устройств, применяемых на горке, подбирается при необходимости установки двух замедлителей (например, согласно [32], типа КЗ-5, НК-14 или ВЗКН). Для укладки 2ТП может быть предусмотрен прямой участок длиной 25,52 м и резервирован участок длиной 10 м для возможного повышения мощности тормозных заедлителей по итогам уточненных расчетов.

При этом энергия (см. правую часть формулы (1)), погашаемая двумя замедлителями типа КЗ-5, должна быть достаточной, чтобы поглотить энергию (см. левую часть формулы (1)), приобретаемую отцепом в процессе скатывания с горки (см. п.1 в [32]). Например, на второй тормозной позиций (2ТП) нечётной сортировочной горки станций Екатеринбург-Сортировочная установлены по два замедлителя КЗ-5 мощностью 1,2 м.э.в. (метр энергетической высоты) каждый.

Результаты вычислений (с использованием [36]). 1) Сила, под воздействием которой вагон стремиться двигаться в зоне затормаживания при воздействии составляющей силы тяжести и попутного ветра малой величины (см. формулу (3) в [17]), кН:

F_2тx = G₁ i_т2 + F_вx = 794∙0,010 + 3,2 ≈ 11,13.

2) Модуль силы сопротивлений всякого рода, оказывающий сопротивление движению вагона в зоне затормаживания, вычисленный по формуле (см. формулу (4) в [17]), кН:

|F_с2т| = = |(F_торм + F_о2т + F_св + F_сн)| = |(23,75 + 198,5 + 0,4 + 0,2)| ≈ – 222,84.

Здесь особо оговоримся, что сравнительно со значениями силы, оказывающая сопротивление движению вагона в зоне затормаживания (F_торм = 23,75 кН) и силы основного сопротивления (F_о2т = 198,5 кН), влиянием сил сопротивлений от воздушной среды и ветра (F_св = 0,4 кН), а также от снега и инея (F_сн = 0,2 кН) на движения вагона на участках затормаживания вагона можно пренебречь с относительной ошибкой 0,27 %, что ничтожна мала при выполнении инженерных расчётов.

3) Результирующая сила, под воздействием которой происходит затормаживания вагона на тормозной позиции (см. формулу (9) в [17]), кН:

∆F_т2x = F_т2 + |F_ст2| = – 211,71.

Как видно, |F_ст2| >> F_т2x, что соответствует соблюдению условия f >> i в формуле (14) в [14].

4) Согласно формуле (10), ускорение движения при равнозамедленном движении вагона в зоне затормаживания (ЗТ) на участке 2ТП, м/с²:

|a_т2| = – a_т2 = |∆F_т2x|∙10³/M_пр0 = |211,71|∙10³/(8,869∙10⁴) = – 2,387.

5) Ускорение движения вагона, подсчитанная по формуле (16) без учета проекции силы попутного ветра малой величины F_вx (т.е. F_вx = 0) с использованием формулы (18), м/с²:

|a_т21| = a_т(i_т2x – |w_т2|) = 8,953(0,010 – |0,281|) = – 2,424,

а при учете силы F_вx через коэффициент k_в.x ≈ 0,004, учитывающий долю проекции этой силы с использованием формулы (18), м/с²:

|a_т22| = a_т(i_т02x – |w_т2|) = 8,953(0,014 – |0,281|) = – 2,388,

где a_т вычисляется согласно формуле (17), м/с²:

a_т = G₁∙10³/M_пр0 = 794∙10³/(8,869∙10⁴) = 8,953.

Относительная ошибка расчёта ускорение |a_т21| и |a_т22|, вычисленная по формулам (10) и (16), соответственно, составляет δa_т21 ≈ 1,53 % и δa_т22 ≈ 0,04 %, что ничтожно мало.

6) Время затормаживания t_зат2 = t_т2, рассчитанное по формуле (22) с учетом формулы (16), с: |t_т2| = 1,625, по истечении которое практически происходит полная остановка вагона v_т2 ≈ 0 м/с (см. формулу (6) в [18]).

7) Время затормаживания вагона t_зат21 = t_т21, вычисленное по формуле (22) при |a_т21| = – 2,424 м/с²: t_т21 = – 1,6 с, а при |a_т22| = – 2,388 м/с²: t_т22 = – 1,624 с.

Здесь отрицательный знак при t_т21 и t_т22 означает, что вагон при затормаживании на участке тормозной позиций движется равнозамедленно.

Относительная ошибка расчёта времени затормаживания t_зат2, выполненная на основе (22) при |a_т21| и |a_т22|, соответственно, составляет ≈ 1,54 и 0,06 %, что ничтожно мало.

8) Время затормаживания t_зат2 = t_т2, вычисленное по формуле (21), с: t_т23 = 1,648, а по формуле (22), с: t_т24 = 1,682.

Относительная ошибка расчёта времени затормаживания вагона, вычисленная на основе формул (21) и (22), равна ≈ 1,37 %.

Оговоримся, что момент затормаживания вагона t секунд, меньше, чем t_зат2 (т.е. t < t_зат2, где t – текущее время), при котором v_к.зат2 ≠ 0 (т.е. до момента остановки вагона), скорость движения может быть подсчитана по формуле (см. формулу (4) в [18]):

,                                                         (23)

Например, при t = 1,0 с: скорость вагона при чистом скольжении колёс до момента остановки равна v_к.зат2 = 1,525 м/с; при t = 1,2 с: v_к.зат2 = 1,054 м/с, а при t = 1,4 с: v_к.зат2 = 0,583 м/с и, наконец, при t = t_т2 = 1,625 с: v_к.зат2 = 0 м/с.

9) Путь торможения l_т2, рассчитанный по формуле (20): l_т2 = 3,152 ≈ 3,15 м, вычисленный по той же формуле при |a_т21| = – 2,424 м/с²: l_т21 ≈ 3,1 м, а по той же формуле (20) при |a_т22| = – 2,388 м/с²: l_т22 = 3,15 м.

Относительная ошибка расчёта l_т2, вычисленная по формулам (20) при |a_т21| = – 2,424 м/с² и |a_т22| = – 2,388 м/с², соответственно, составляет 1,6 и 0 %, что подтверждает корректность вывода аналитической формулы (20).

10) Путь торможения l_т2, рассчитанный по формуле (20): l_т2 = 3,152 ≈ 3,15 м; по формуле (15): l_т25 = 3,195 м; по формуле (140): l_т26 = 3,467 м; по формуле (7): l_т23 = 3,195 м.

Относительная ошибка расчёта l_т2, вычисленная по формулам (20) и (15) и (19) соответственно составляет 2,75 и 7,82 %, что мало и подтверждает корректность вывода аналитических формул (15) и (19).

Относительная ошибка расчёта l_т2, вычисленная по формулам (20) и (7) составляет ≈ 1,4 %, что ничтожно мало, а это, в свою очередь, подтверждает корректность вывода аналитической формулы (7).

11) Итак, по формуле (7) путь торможения вагона l_затi (и/или l_тi) на участке торможения, м: l_т23 = 3,195 м. Расчётное значение ускорения при равнозамедленном движении вагона |a_тi|, полученным по формуле (10) согласно силовым соотношениям (11), оказалось равным |a_тi| = 2,387 м/с². Скорость движения вагона v_т2, подсчитанная по формуле элементарной физики (10) при l_т23 = 3,195 м и начальной скорости v_н2 = 3,879 м/с получился равной v_т2 = 0,459 м/с.

Время затормаживания вагона t_зат2 = t_т2 по формуле скорости элементарной физики (12): t_т2 = 1,433 с до момента остановки вагона, когда v_т2 = 0, т.е. при t_зат2 = t_т2 < t, где t – текущее время в секундах.

Как видно, при одном и том же значений начальной скорости, путь торможения вагона, найденный по разным по виду формулам, дают одинаковые результаты, что подтверждают корректность полученной аналитической формулы (7).

12) Графические зависимости x_2т = f(t_т2), l_т25 = f(t_т2), и l_т26 = f(t_т2), построенные на основе, соответственно, формулы элементарной физики (20), формулы (15) и (19) при вариации t_т2 от 1,0 до 2,0 с шагом ∆t_т2 = 0,1 с представлены на рис. 1.

Рисунок 1. Графические зависимости x_2т = f(t_т2), l_т25 = f(t_т2) и l_т26 = f(t_т2)

Из рис. 1 ясно, что в соответствии с видом формул (20), (15) и (19) графические зависимости имеют характер возрастающей квадратичной зависимости до момента остановки вагона. Максимальные значения пути торможения x_т2 = 3,152, l_т25 = 3,195 и l_т26 = 3,262 м соответствуют времени затормаживанию t_т2 = 1,625, t_т25 = 1,648 и t_т26 = 1,682 с.

13) Графическая зависимость l_т2 = f(v_нт2) = f(v_02т), построенные, согласно формуле (7) и на основе формулы скорости элементарной физики (10), при вариации v_02т от 0 до 5 с шагом ∆v_02т = 0,25 м/с, представлены на рис. 2.

Рисунок 2. Графическая зависимость l_т2 = f(v_02т )

Из рис. 2 ясно, что характер зависимости пути торможения от начальной скорости вагона имеют вид возрастающей квадратичной зависимости.

Как видно, при v_н2 = v_вх.2т = 0 путь торможения l_зат2= l_т2 = 0. Это подтверждает рассуждение о важности входа вагона в зону затормаживания тормозных позиций с начальной скоростью v_н2 = v_вх.2т > 0, в противном случае происходит полная остановка вагона до включения вагонного замедлителя.

При выполнении условия v_н2 = v_вх.2т > 0 кинетическая энергия E_k = E₀ вагона с массой M и начальной скоростью v_н2 будет полностью израсходована на преодоления работы A_r силы сопротивления F_с, появляющейся при включении вагонного замедлителя.

В свою очередь, работа силы сопротивления всякого рода A_с, накопленная на ободе колеса колесных пар вагона, рельсовых нитей и на тормозных шинах вагонного замедлителя, будет рассеиваться в окружающую среду в виде тела. При полной остановке вагона, т.е. v_к.2т = 0, будет соблюдено условие: E₀ + (–A_с) = 0.

Таким образом, результаты расчётов пути торможения l_зат вагона с использованием формулы (7) и на основе формулы скорости элементарной физики (10), позволили отметить, что при одном и том же значений начальной скорости v_н2 = v_вх.2т, они дают одинаковые результаты.

Обобщая результаты расчётов времени затормаживания t_зат и пути торможения l_зат вагона, выполненных на основе формул (7), (10) и (15), (19), (20) – (22), можно отметить, что при одном и том же значений начальной скорости, они дают результаты приемлемые для выполнения инженерных расчётов. Это подтверждает бесспорность, корректность и применимость построенных математических моделей применительно к зоне затормаживания (ЗТ) вагона на всех участках тормозных позиций (1ТП и 3ТП).

Выводы

1. Используя теорему об изменении кинетической энергии для несвободной материальной точки в конечной форме теоретической механики, выведены формулы для определения пути торможения вагона в зоне торможения сортировочной горки.

2. Приведенный пример расчета позволил отметить, что при одном и том же значений начальной скорости, полученные нами формулы, дают результаты, приемлемые для выполнения инженерных расчётов. Это подтверждает бесспорность, корректность и применимость построенных математических моделей применительно к зоне затормаживания вагона на всех участках тормозных позиций.

Список литературы:
1. Рудановский В.М. О попытке критики теоретических положений динамики скатывания вагона по уклону сортировочной горки / В.М. Рудановский, И.П. Старшов, В.А. Кобзев // Бюллетень транспортной информации. 2016. № 6 (252). - С. 19-28. ISSN 2072-8115.
2. Позойский Ю.О. К вопросу движения вагона по уклону железнодорожного пути / Ю.О. Позойский, В.А. Кобзев, И.П. Старшов, В.М. Рудановский // Бюллетень транспортной информации. 2018. № 2 (272). - С. 35-38. ISSN 2072-8115.
3. Туранов Х.Т. Некоторые проблемы теоретических предпосылок динамики скатывания вагона по уклону сортировочной горки / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко // Бюллетень транспортной информации, 2015, № 3 (237). - С. 29 - 36. ISSN 2072-8115.
4. Туранов Х.Т. О попытке доказательства нового подхода к исследованию движения вагона по спускной части сортировочной горки / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко // Бюллетень транспортной информации, 2016, № 10 (256). - С. 19 - 24. ISSN 2072-8115.
5. Туранов Х. Т. Математическое описание движения вагона на участках тормозных позиций сортировочной горки / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко // Транспорт Урала. 2018. № 2 (57). С. 3–8. DOI: 10.20291/1815-9400-2018-2-3-8. ISSN 1815-9400.
6. Туранов Х.Т. Выбор рационального режима роспуска «очень плохого бегуна» с сортировочной горки / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко, О.В. Молчанова // Транспорт: наука, техника, управление. 2018, № 7. Научно-информационный сборник. С. 9 - 13. ISSN 0236-1914.
7. Туранов Х.Т. Критический анализ теоретических положений движения вагона с сортировочной горки (Часть I) / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко // Бюллетень транспортной информации, 2018, №9 (279). С. 23-28. ISSN 2072-8115.
8. Туранов Х.Т. К критическому анализу теоретических положений движения вагона с сортировочной горки / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко, Ш.Б. Джабборов // Транспорт: наука, техника, управление. 2018, № 11. Научно-информационный сборник. С. 26 - 31. ISSN 0236-1914.
9. Туранов Х.Т. Критический анализ теоретических положений движения вагона с сортировочной горки (часть II) / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко // Бюллетень транспортной информации. 2018. №12 (282). С. 12-18. ISSN 2072-8115.
10. Turanov Kh.T., Gordienko A.A. Movement of a railway car rolling down a classification hump with a tailwind. В сборнике: MATEC Web of Conferences сonference proceedings. 2018. C. 02027.
11. Туранов Х.Т. О подходе к определению некоторых кинематических параметров движения вагона на тормозных позициях сортировочных горок / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко, Ш.У. Саидивалиев // International Journal of Advanced Studies. 2018, Vol 8, №4. С. 122 - 136. DOI: 10.12731/2227-930X-2018-4-122-136. ISSN 0236-1914.
12. Туранов Х.Т. О движении вагона на скоростных участках сортировочной горки / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко, Х.Х. Джалилов // Транспорт Урала. 2019. № 1 (60). С. 18–23. DOI: 10.20291/1815-9400-2019-1-18-23. ISSN 1815-9400.
13. Туранов Х.Т. Критический анализ теоретических положений движения вагона с сортировочной горки (Часть IV) / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко, Ш.Б. Джабборов // Транспорт: наука, техника, управление. 2019, № 1. Научно-информационный сборник. С. 16 - 20. ISSN 0236-1914.
14. Туранов Х.Т. Критический анализ теоретических положений движения вагона с сортировочной горки (Часть V) / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко, Ш.Б. Джабборов // Бюллетень транспортной информации. 2019. №3 (285). С. 22-27. ISSN 2072-8115.
15. Туранов Х.Т. Аналитическая статика качения колес на скоростных участках сортировочной горки / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко, Ш.Б. Джабборов // Бюллетень транспортной информации. 2019. №6 (288). С. 8-16. ISSN 2072-8115.
16. Туранов Х.Т. О скольжении колёсных пар вагона на тормозных позициях сортировочных горок / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко, Ш.Б. Джабборов, Ш.У. Саидивалиев // Транспорт: наука, техника, управление. 2019, № 5. Научно-информационный сборник. С. 16 - 21. ISSN 0236-1914.
17. Туранов Х.Т. О равнозамедленном движении вагона в зонах затормаживания сортировочной горки / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко, Ш.Б. Джабборов, Ш.У. Саидивалиев // Транспорт: наука, техника, управление. 2019, № 7. Научно-информационный сборник. С. 27 - 30. ISSN 0236-1914.
18. Туранов Х.Т. Об одном методе решения задачи движения вагона на участках тормозных позиций сортировочной горки / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко, О.В. Молчанова, Ш.У. Саидивалиев // Транспорт: наука, техника, управление. 2019, № 11. Научно-информационный сборник. С. 34 - 38. ISSN 0236-1914.
19. Туранов Х.Т. О некорректности формулы для определения скорости движения вагона в зонах торможения на участках тормозных позиций сортировочной горки / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко, Ш.У. Саидивалиев // Бюллетень транспортной информации. 2019. №9 (291). С. 34-40. ISSN 2072-8115.
20. Образцов В.Н. Станции и узлы. ч. II / В.Н. Образцов. – М.: Трансжелдориздат, 1938. 492 с.
21. Старшов И.П. Определение воздушного сопротивления движению вагонов на сортировочных горках / И.П. Старшов // Вестник Всесоюзн. научно-исслед. ин-та ж.-д. транспорта. 1970. №6. С. 16-20.
22. Сопротивление движению грузовых вагонов при скатывании с горок / Под ред. Е.А. Сотникова // Труды ЦНИИ МПС, вып. 545. – М: Транспорт, 1975. – 104 с. (С. 88–97).
23. Инструкция по проектированию станций и узлов на железных дорогах СССР. ВСН 56-78. – М.: Минтрансстрой СССР, МПС СССР, 1978. – 171 с. – С. 151 – 168.
24. Родимов Б.А. Проектирование механизированных и автоматизированных сортировочных горок / Б.А. Родимов, В.Е. Павлов, В.Д. Прокинова. – М: Транспорт, 1980. – 96 с.
25. Автоматизация и механизация переработки вагонов на станциях / Ю.А. Муха, И.В. Харланович, В.П. Шейкин и др. – М: Транспорт, 1985. – 248 с.
26. Правила и нормы проектирования сортировочных устройств на железных дорогах колеи 1 520 мм. – М.: ТЕХИНФОРМ, 2003. – 168 с.
27. Железнодорожные станции и узлы: учебник / В.И. Апатцев и др.; под ред. В.И. Апатцева и Ю.И. Ефименко. – М.: ФГБОУ «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте», 2014. 855 с.
28. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Учебн. для тех. вузов / А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. – СПБ.: Изд-во «Лань», 1998. 768 с.
29. Комаров К.Л. Теоретическая механика в задачах железнодорожного транспорта / К.Л. Комаров, А.Ф. Яшин. – Новосибирск: Наука, 2004. 296 с.
30. Туранов Х.Т., Гордиенко А.А. Расчет кинематических характеристик движения вагонах на участках продольных профилей сортировочных горок при воздействии встречного ветра малой величины. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RUS 2017614017 09.02.2017.
31. Бухгольц Н.Н. Курс теоретической механики. Ч.I. / Н.Н. Бухгольц. – М.: Наука, 1967. – 467 с.
32. Инструкция по расчёту максимально допустимой длины отцепа при роспуске на сортировочных горках (Утверждён 24.12.2012). – М.: ОАО «РЖД», 2012. 10 с.
33. Расчёты и проектирование железнодорожного пути: Учебник для студентов вузов ж.д. трансп. / В.В. Виноградов, А.М. Никонов, Т.Г. Яковлева и др.; Под ред. В.В. Виноградова и А.М. Никонова. – М.: Маршрут, 2003 486 с.
34. Туранов Х.Т. Движения вагона на сортировочной горке при попутном ветре / Х.Т. Туранов, А.А. Гордиенко // Мир транспорта. 2015. Т. 13. № 6 (61). – С. 44-48. ISSN 1992-3252.
35. Кобзев В.А. Технические средства сортировочных горок, обеспечивающие безопасность движения. Часть 1. Учебное пособие / В.А. Кобзев. – М.: МИИТ, 2009. 92 с.
36. Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс (+CD).  СПб.: Питер, 2009. 384 с.