Собственные крутильные колебания цилиндрической оболочки в упругой среде

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматриваются собственные осесимметричные крутильные колебания бесконечно длинной цилиндрической оболочки в упругой инерционной среде. Получены зависимости первой частоты колебаний оболочки в упругой среде от безразмерной длины волны. 

ABSTRACT

In this paper, we consider the own axisymmetric torsional vibrations of an infinitely long cylindrical shell in an elastic inertial medium.  The dependences of the first shell oscillation frequency in an elastic medium on the dimensionless wavelength are obtained.

Ключевые слова: Собственные крутильные колебания, осесимметричные колебания, цилиндрическая оболочка, частота колебаний.

Keywords:  Natural torsional vibrations, axisymmetric vibrations, cylindrical shell, vibration frequency.

Ниже исследованы собственные осесимметричные крутильные колебания бесконечно длинной цилиндрической оболочки в упругой инерционной среде. Движение оболочки и массива описываются динамическими уравнениями теории упругости.

1. Уравнение движения оболочки Кирхгофа - Лява с учетом реакции массива могут быть записаны в виде.

                                                                   (1)

Учитывая, что для скручивающей нагрузки возбуждаются только волны сдвига, получаем уравнение движения среды.

                                                          (2)

Значения отличных от нуля компонент тензора напряжений в среде определяется через тангенциальные смещения по формулам

                                                        (3)

Граничные условия задачи при r=R имеют вид

 ;                                                                             (4)

Рассматривая осесимметричные колебания оболочки, находим решения уравнений (1) и (2):

                                                   (5)

где  – длина волны вдоль образующей; ω – круговая частота собственных колебаний.

Подставив выражение (5) в (1), получим связь между амплитудами реакции массива, и перемещениями оболочки

;           

;      ;                                                                         (6)

Зависимости (6) позволяют граничное условие для среды при r=R записать в виде

                                                         (7)

Подставив выражение (5) в (2), получаем

                                                             (8)

где

Решая уравнения (8) с учетом условия затухания колебаний на бесконечности, имеем

                                                    (9a)

                                                                               (9b)

Здесь       

- функции Макдональда и Ханкеля.

Если не учитывать инерционность среды, то  и решением уравнения (8) будет равенство

                                                                                               (10)

Подставив решения (9) в (3) с учетом граничного условия (7), получим характеристическое уравнение:

                                           (11)

При в уравнении (11) вместо последнего слагаемого необходимо вставить со знаком плюс выражение     

Условие   выполняется для  .  

Этот случай не представляет практического интереса, так как для большинства материалов  .

Заметим, что частота колебаний оболочки в вакууме 

                                                                                   (12)

В безинерционной среде

                                                      (13)

Для оболочки в инерционной среде собственные частоты колебаний определяются решением трансцендентного уравнения (11) на компьютере.

2. Опишем колебания оболочки уравнениями типа Тимошенко. Тогда для осесимметричного крутильного движения имеем:

                                                                 (14)

Здесь  - угол поворота нормали в тангенциальном направлении, k² - коэффициент Тимошенко.

Граничные условия для среды при r=R имеют вид:

                                                                                (15)

Представляя решение уравнений (14) в виде (5), определим параметры  через перемещения  

                                              (16)

Учитывая выражение (16), преобразовываем граничное условие для среды.

При   r=1        

где

 ,                                                             (17)

Поскольку решение уравнения движения среды не зависит от принятой модели оболочки, дальнейший вывод уравнений аналогичен рассмотренному выше для оболочки Кирхгофа -Лява. Выбор модели оболочки влияет только на вид граничных условий (17).

Вместо характеристического уравнения (11) запишем уравнения вида:

                                                                  (18)

Для случая  получаем характеристическое уравнение для оболочки Тимошенко в безинерционной среде. При находим частоты крутильных колебаний оболочки Тимошенко в вакууме

                                                                       (19)

Первая частота, как и для оболочки Кирхгофа-Лява, соответствует повороту сечения как кольца, вторая – форме колебаний, вызванных поворотом нормали в тангенциальном направлении.

Положив в уравнениях (11), (18)  и введя безразмерную частоту  получим характеристическое уравнение для собственных осесимметричных крутильных колебаний упругого инерционного массива с цилиндрической полостью.

                                                                        (20)

Причем      

3. Получим точное решение задачи для случая, когда движение оболочки описывается уравнением (2). Тогда граничные условия будут такими:

При                

при

        ;                                                                                 (21)

Здесь индекс 1 обозначает оболочку.

Общее решение уравнений движения цилиндрического слоя запишем в виде

                                             (22)

Где                                

J₁(x), Y₁(x)  – функции Беселля первого и второго рода.

Подставляя выражение (22), (9) в (3) и удовлетворяя граничные условия (21), получаем характеристическое уравнение

                                                                          (23)

Элементы определителя:  

Для   ,    ,        имеет различный вид.  

Например, для третьего случая:

4. Для всех рассмотренных видов уравнения движения оболочки получены численные результаты. На рис 1. показаны зависимость безразмерной частоты крутильных колебаний от относительной толщины оболочки. Расчет 1 проводим для δ=3,  γ=30,  ρ=4,  k²=2/3.

Кривая 1 соответствует первой моде движения, 2-второй. 3-третьей. Сплошной линией отмечена оболочка в инерционном массиве, пунктирной – в безинерционной среде,  штрих пунктирной – в вакууме.

Расчеты показали, что для первой моды движения результаты по всем трем теориям практически совпадают, причем влияние среды на частоту колебаний особенно существенно для сравнительно тонких оболочек (x<0,03). Если инерционность среды не учитывается, значение первой частоты завышается. На третью частоту (вторую для оболочки Тимошенко) среда почти не влияет. Так, для оболочки толщиной x<0,07 полученные значения частоты практически совпадают с точными.

Если движения оболочки описываются уравнениями теории упругости, появляется вторая мода (кривая 2), связанная с неравномерным скручиванием цилиндра по толщине, вызванным наличием упругого массива.

Таким образом, для определения первой частоты колебаний оболочки в упругой среде необходимо пользоваться уравнениями (11), (формула (13) дает завышенные значения), для высших частот колебаний – уравнением (23).

Зависимость первой частоты колебаний оболочки в упругой среде от безразмерной длины волны для различной относительной жесткости массива представлена на рис. 2. (x=0,01). Для кривых

Сплошной линией показаны частоты колебаний оболочки в инерционном массиве, пунктирной – безинерционном, штрихпунктирной – в вакууме. Как видно из рис. 2. с увеличением жесткости массива растет погрешность, вносимая не учетом инерционности среды (особенно в области коротких волн). Используя асимптотические представления цилиндрических функций, получаем формулы для первой частоты собственных колебаний в случае длинных волн

где

Если не учитывать инерционность массива

то  1,5δ≤1, результаты по асимптотическим формулам практически совпадают с точным решением.

Таким образом, для определения первой частоты колебаний оболочки в упругой среде необходимо пользоваться уравнением движения оболочки Кирхгофа – Лява, для высших частот колебаний уравнением движения теории упругости.

Рисунок 1. Изменения собственных частот  в зависимости от x.

Рисунок 2. Изменение собственных частот от 1/δ.

Список литературы:
1. Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. Ташкент: Фан, 1992 - 250с.
2. Раззоков Ш.И., Одилов К.З., Салиева О.К. Распространение свободных волн в стержне, погружонном в упругую среду. Узбекский журнал. Проблемы механики. 2000, №3. Ташкент, с.8-11.
3. Сафаров И.И., Ахмедов О., Салиева О.К. Собственные колебания цилиндрических тел, находящиеся в упругой среде. Проблемы внедрения современной техники и технологий в производство. Сборник научных трудов республиканской научно-практической конференции, Джизак, 2007г., стр42-47