Математическая модель распространения сферических электромагнитных волн в слое льда

АННОТАЦИЯ

Разработана математическая модель распространения сферических электромагнитных волн внутри слоя льда. В основе модели лежат направленные функции Грина с неоднородными по углу граничными условиями. Такая модель позволяет представить неоднородную поверхность как совокупность однородных поверхностей, что позволяет использовать простые и широко распространенные методы анализа волновых полей. 

С помощью предложенной модели проведен анализ поля точечного направленного источника сферических электромагнитных волн, расположенных внутри слоя льда. Также приведены результаты расчетов при разных частотах и разной толщине слоя льда. Максимальная погрешность алгоритма составляет от 20 до 25%.

ABSTRACT

A mathematical model for the propagation of spherical electromagnetic waves inside an ice layer is developed. The model is based on directional Green functions with inhomogeneous boundary conditions. The proposed model makes possible to represent an inhomogeneous surface as a set of homogeneous surfaces, which allows the use simple and widespread methods of wave field analysis.

Using the proposed model, the field of a point directed source of spherical electromagnetic waves located inside the ice layer is analyzed. The results of calculations at different frequencies and different thicknesses of the ice layer are also presented. The maximum error of the algorithm is 20 to 25%.

Ключевые слова: анализ волновых полей; граница раздела сред; направленная функция Грина.

Keywords: wave field analysis; boundary environments; directional Green function.

Введение

Электромагнитные волны являются одними из наиболее быстрых переносчиков энергии и информации, поэтому анализ электромагнитных полей антенн является важной задачей в проектировании приемо-передающих систем. Большинство традиционных методов рассматривают распространение плоских волн через плоские границы раздела однородных сред [2, 4, 5]. Такое приближение ограничивает применимость и снижает точность расчетов, так как однородные среды и плоские поверхности в природе встречаются крайне редко.

Функции Грина с граничными условиями неоднородными по углу позволяют рассмотреть сложную поверхность как совокупность плоских, что увеличивает возможности применения традиционных методов[1].

В данной работе представлен расчет поля точечного направленного источника электромагнитных волн, расположенного вблизи морской поверхности с плавучими льдами.

Математическая модель

Рассмотрим следующую задачу: нужно рассчитать поле точечного направленного источника электромагнитных волн, расположенного вблизи морской поверхности с плавучими льдами. (Рис. 1). Известны следующие характеристики: магнитная и диэлектрическая проницаемости воздуха, моря, льда. 

Рисунок1. Геометрия рассматриваемой задачи

0 – источник излучения, U1 – граница раздела «лед - воздух», U2 – граница раздела «лед - вода», U0 – граница, показывающая предел расчета.

Две сопряженные функции Грина являются решением уравнения Гельмгольца. Одна из функций Грина описывает расходящиеся от поверхности излучателя волны G_l (M,M₀), а сопряженная с ней функция G_l^-1 (M,M₀) – отраженные [1, 3]. Сумма этих двух функций и будет решением уравнения Гельмгольца:

                                  (1)

M - точка приема сигнала с координатами x и y;

M0 – точка излучения сигнала с координатами x0 и y0;

Направленная функция Грина имеет вид:

                     (2)

где F_l(θ) =1, если θ_lmin ≤ θ ≤ θ_lmaxпри l=1,2,3,…,l. F_l =0 при остальных значениях θ.

В данной работе сферические волны представлены в виде суперпозиции плоских волн, поэтому справедливо использование коэффициента отражения для плоских волн[6]:

               (3)

d – толщина слоя льда;

k_2Z – компонента волнового вектора;

Z_l – волновое сопротивление l - й среды, равное:

                                                                    (4)

Направленна функция Грина для падающей и отраженной волн запишутся как:

                           (5)

Выражение (5) описывает поведение падающих и отраженных волн вблизи слоя льда.

Результаты численных расчетов

На рисунках 2-5 приведены результаты расчетов по предложенной теории при расположении источника в слое льда.

Исходные данные: частота  излучателя f=1 МГц; толщина слоя льда d = 3 м, расчетное расстояние 10 000 м, мощность излучателя P = 4000 Вт.

Рисунок 2. График распределения напряженности электрического поля в свободном ледовом пространстве

Рисунок 3. График распределения напряженности электрического поля на границе раздела «лед – атмосфера»

Рисунок 4. График распределения напряженности электрического поля на границе раздела «лед – вода»

Рисунок 5. График распределения напряженности электрического поля в слое льда

Погрешность расчетов

Рисунок 6. Диаграмма направленности сферического излучателя по формулам (1) и (3)

Наибольшие отклонения вблизи углов 0º и 90º обуславливаются ошибками разработанного алгоритма. В интервале от  5º до 85º  погрешность не превышает 5%.

Главным преимуществом метода является скорость вычисления (2-3 минуты при расчете значений функции Грина в 1000 ноутбуке средней мощности).

Представленный алгоритм позволяет рассчитывать поля точечных электромагнитных излучателей в слоистых средах с учетом отражения волн от границ раздела. Погрешность вычислений не превышает  20 ÷ 25 %.

Выводы

Данные  теоретических исследований распространения  поверхностных электромагнитных волн можно использовать для:

а) обнаружения электродинамических аномалий воды, источником которых могут являться, например, физические поля подводных лодок.

б) для навигации судов в стеснённых условиях, обнаружения кромок ледовых полей, мониторинга океанской поверхности и т.д;

д) исследовании физических свойств Арктических льдов;

е) дальности распространения электромагнитных волн в слоях льда.

Используя в качестве трассы распространения волн слой льда: можно увеличить дальность  систем связи приблизительно в 1,5-2 раза, так как электромагнитное поле Р(х) убывает по цилиндрическому закону (рис. 2-5).

Список литературы:
1. Короченцев В.И. Волновые задачи теории направленных и фокусирующих антенн. Владивосток: Дальнаука, 1998. 192 c.
2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 340 с.
3. Шевкун С.А. Разработка методов анализа волновых полей в замкнутых объемах: дис., канд. физ.-мат. наук. Владивосток, 2006. 186 с.
4. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Ленинград: Судостроение, 1972. 348 с.
5. Лобова Т.М. Модель антенной решетки в замкнутом объеме. Владивосток: Вестник инженерной школы ДВФУ, 2018. 5c.
6. Корчака А.В., Эм А.А., Короченцев В.И. Математическая модель излучателя сферических волн в слоистой среде. Владивосток: Вестник инженерной школы ДВФУ, 2019. 5с.