Исследование напряженно-деформированного состояния двухслойных комбинированных пологих оболочек с учётом поперечных сдвигов и податливости клеевого шва

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается двухслойная комбинированная оболочка, выполненная из композитных слоев, отличающихся по толщине и физико-механическим свойствам, а также исследовано влияние напряженно-деформированного состояния таких оболочек на их прочность и деформативность.

ABSTRACT

In this work, we consider a combined three-layer combined shallow shell made of composite layers differing in thickness and physic mechanical properties, and also studied the effect of the stress-strain state (SSS) of such shells on their strength and stability.

Ключевые слова: двухслойная комбинированная пологая оболочка, равномерно распределенная нагрузка, система дифференциальных уравнений, деформирование оболочки, перемещение срединной поверхности, функция сдвига, касательные напряжения, прогиб.

Keywords: three-layer combined shallow shell, uniformly distributed load, system of differential equations, shell deformation, displacement of the middle surface, shear function, tangential stresses, deflection.

Одним из недостаточно исследованных направлений, имеющих большое прикладное значение, является исследование прочности и деформативности оболочек, выполненных из композитных и комбинированных материалов. Комбинированные двухслойные оболочки можно разделить на две основные группы:

1) конструкции, состоящие из изотропного и анизотропного слоев;

2) конструкции второго слоя, кроме несущих, которые являются анизотропными.

Отдельные задачи статики двухслойных пластин и оболочек, которые основаны на применении гипотез Кирхгофа-Лява, рассмотрены в работах [2-4]. В этих работах исследована устойчивость и прочность двухслойных оболочек под действием внутреннего давления, а также некоторые задачи об изгибе пластин.

В работе [1] С.А. Амбарцумяна предложено два варианта уточнения теории многослойных оболочек. Первый вариант соответствует прогибу по классической теории, а второй представляет поправку, связанную с учетом сдвигов в каждом слое. Известно, что точность построенных теорий зависит как от геометрических параметров рассматриваемых конструкций, так и от других физико-механических характеристик слоев.

Таким образом, в научной литературе, посвященной напряженно-деформированному состоянию, прочности и устойчивости двухслойных комбинированных оболочек, накоплено значительное количество исследований по определению напряженно-деформированного состояния отдельных видов оболочек: сферических, пологих, конических, цилиндрических и других. К таким конструкциям относятся различные емкости, летательные и глубоководные аппараты, аппараты химической промышленности, строительные конструкции и многие другие.

В связи с появлением новых конструкционных комбинированных материалов в последние годы получили широкое применение двухслойные оболочки, для которых характерно существенное различие между упругими постоянными материалами слоев. Актуальной проблемой является расчет конструкций с учетом различных отдельных факторов, таких как учет физической нелинейности материала, учет поперечного сдвига, влияние клеевого слоя на прочность и устойчивость оболочек. Пренебрежение этими факторами может привести к недопустимым погрешностям.

В данной работе рассматривается комбинированная двухслойная оболочка, выполненная из композитных слоев, отличающихся по толщине и физико-механическим свойствам. Несущий слой – металлический, а второй слой – композиционный (рис. 1).

Предполагается, что:

а) на оболочку действует равномерно распределенная нагрузка, нормальная к срединной поверхности и плавно изменяющаяся вдоль образующей;

б) рассматриваемая двухслойная комбинированная оболочка состоит из несущего (1), армирующего и склеивающего слоев (2) (рис. 1). При этом:

в) толщина несущего, армирующего и склеивающего слоев постоянная;

г) толщина несущего слоя значительно больше, чем армирующего (h>δ₁).

Расчет конструкции на прочность и устойчивость с учетом вышеприведенных факторов будем производить с помощью системы дифференциальных уравнений деформирования оболочки [3] относительно неизвестных U₀, Ф_1,2, τ_1,2, W, υ₀.

Где: (U₀ и υ₀) – перемещение срединной поверхности; Ф_1,2 – функции сдвига, τ_1,2 – касательные напряжения, W – прогиб (i=1,2).

Система координат принимается, как показано на рисунке 1.

Напряжения в слоях определяются известными соотношениями:

                                                                                  (1)

где – напряжения между слоями, G – модули сдвигов слоев.

Деформации сдвига несущего слоя:

 = 0,5 () Ф₁ ( α, β ) + ( 0,5  )                                      (2)

 = 0,5 () Ф₂ ( α, β ) + ( 0,5  ) 

Деформации сдвига армирующих слоев:

 = ()  ∙ τ₁ ( α, β )                                

 = ()  ∙ τ₂ ( α, β )                                                                (3)

Здесь h,   толщина несущего и армирующего слоев;

Ф_i = Ф_i (α, β )  произвольные искомые функции сдвига;

τ_i = τ_i (α, β )  искомые касательные напряжения;

,   модули сдвигов первого и второго слоев

( i = 1, 2; к = 2).

Выражение полной энергии можно получить на основе вариационного принципа Лагранжа. Согласно этому принципу, потенциальная энергия упругой системы в положении равновесия принимает стационарное значение. Она складывается из потенциальной энергии упругой деформации слоев, клеевого шва и работы внешней нагрузки. Учитывая выражение полной энергии, получим в виде функционала двойного интеграла:

U(ғ)= 

                                         (4)

Касательные напряжения , , (i=1,2) или соответствующие им деформации , по толщине оболочки меняются по заданному закону [1]; нормальное к срединной поверхности оболочки перемещение не зависит от координаты γ; давление между слоями отсутствует (=0).

Считается также, что между двумя несущими и армирующими слоями находится тонкий склеивающий слой, который работает только на сдвиг в вертикальной плоскости. Склеивающий слой не воспринимает ни растягивающих, ни изгибных напряжений. Касательные напряжения, действующие в этом слое, передаются на несущий и армирующий слои. Закон распределения этих напряжений в слоях может быть принят линейным, так чтобы удовлетворялись граничные условия для касательных напряжений на верхней и нижней поверхностях.

Для получения основных уравнений деформирования двухслойной оболочки с учетом поперечного сдвига и податливости клеевого шва использован вариационный принцип Лагранжа, который служит основой для различных приближенных методов, в том числе для решения комбинированных ортотропных оболочек с межслоевыми сдвигами. При определении напряженно-деформированного состояния оболочек варьировались модули сдвига и толщина склеивающего шва, и исследовано влияние изменения толщин несущих слоев.

Численные расчеты показали, что модуль сдвига и толщина шва оказывают значительное влияние на прочность и деформативность комбинированных двухслойных оболочек, если модуль сдвига склеивающего слоя значительно меньше модуля сдвига слоев. Если первый слой состоит из композиционного материала, то влияние поперечного сдвига на напряженно-деформированное состояние комбинированных оболочек будет больше.

Результаты расчета двухслойной оболочки со стеклопластиковым армирующим слоем приведены в виде графика, изменения напряжений в слоях и шве, а также функции сдвига и прогибов.

Рисунок 2. Изменение физико-механических характеристик с изменением модуля сдвига шва

Из полученных зависимостей видно, что чем меньше величина модуля сдвига шва по сравнению со слоем , тем влияние податливости шва на напряженно-деформированное состояние трехслойных пологих оболочек оказывается больше.  

Проведенные исследования и численные расчеты позволяют сделать следующие выводы:

1) при расчете двухслойных ортотропных и анизотропных комбинированных оболочек с низкими сдвиговыми жесткостями необходим учет поперечных сдвигов и податливости клеевого шва;

2) влияние клеевого слоя сказывается существенно больше при малых его сдвиговых характеристиках 

3) с увеличением толщины слоя  двухслойных оболочек влияние податливости клеевого шва на напряженно-деформированное состояние уменьшается;

4) при больших значениях модуля сдвига шва  его влияние на напряженно-деформированное состояние металлостеклопластиковых оболочек можно не учитывать.

Результаты расчета приведены в виде графиков (рис. 2) изменения напряжений в слоях () и шве (), а также функций сдвига Ф₁ и прогибов W.

Из полученных зависимостей видно, что чем меньше величина модуля сдвига шва по сравнению со слоем (G_шiк< G_i ⁽¹⁾, G_шiк< G_i ⁽²⁾), тем влияние податливости шва на напряженно-деформированное состояние двухслойных оболочек сказывается больше. Увеличение модуля сдвига шва в 10 раз (от 50 до 500 МПа) изменяет напряжение в металле на 5,2%, а в армирующем слое – на 7,5%.

При более высоком модуле сдвига шва (G_шik =5·10² МПа) увеличение модуля сдвига шва в 10 раз от G_шik =5·10² МПа до 5·10³ МПа изменяет напряжение σ_β лишь на 0,08%.

Из полученных зависимостей видно, что чем меньше величина модуля сдвига шва по сравнению со слоем (G_шiк< G_i ⁽¹⁾, G_шiк< G_i ⁽²⁾), тем влияние податливости шва на напряженно-деформированное состояние двухслойных оболочек сказывается больше. Увеличение модуля сдвига шва в 10 раз (от 50 до 500 МПа) изменяет напряжение в металле на 5,4%, а в армирующем слое – на 8,3%.

При более высоком модуле сдвига шва увеличение модуля сдвига шва в 10 раз, от G_шik =5·10² МПа до 5·10³ Мпа, изменяет напряжение σ_β лишь на 0,08%.

Таким образом, можно отметить, что модуль сдвига шва значительно меньше влияет на НДС двухслойных комбинированных оболочек с армирующим слоем при значениях модулей сдвига шва и слоев, близких по величине.

Список литературы:
1. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – М.: Наука, 1974. – С.
2. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. –М.: Машиностроение, 1980. – С.
3. Воелых В.А., Дусматов А.Д. Напряженно-деформированное состояние комбинированных плит и оболочек с учетом поперечного сдвига и податливости клеевого шва, Д: Строительство и архитектура, сер.8,вын7 – М.:, 1981. – С.
4. Дусматов А.Д., Каримов Е.Х. Исследование физико-механических свойств трехслойных комбинированных пластин с учетом сдвиговых жесткостей // Мат-лы 29-й Междунар. конф. «Композиционные материалы в промышленности» (Ялта, 6-11 июня 2011 г.). – Ялта, 2011. – С. 445-446.