Напряженно-деформированное состояние устройства для гашения динамических нагрузок в трансмиссии транспортных машин

АННОТАЦИЯ

Разработаны модель и алгоритм статического расчета пространственной модели, основанные на конечно-элементной дискретизации и численных методах решения задачи. Проведен анализ напряженно-деформированного состояния устройства для гашения динамических нагрузок в трансмиссии транспортных машин в зависимости от угла наклона прорезей, приложенной нагрузки и условий закрепления. Установлены области с наибольшими напряжениями и осевые перемещения в конструкции устройства. 

ABSTRACT

A model and an algorithm for static calculation of the spatial model based on finite element discretization and numerical methods for solving the problem are developed. The analysis of the stress-strain state of the device for damping dynamic loads in the transmission of transport vehicles, depending on the slots inclination angle, the applied load and fastening conditions. The areas with the highest stresses and axial displacements in the design of the device are established.

Ключевые слова: трансмиссия, гаситель, деформация, напряжения, нагрузка, оболочка, МКЭ

Keywords: transmission, damper, deformation, stress, load, casing, MFE

Способность амортизировать и демпфировать колебания нагрузки, толчки и удары в трансмиссии транспортных машин является важной задачей, решение которой приводит к увеличению ресурса её узлов и деталей.

Обычно для уменьшения динамических нагрузок в трансмиссии применяется резино-металлические упругие муфты, а также демпферы крутильных колебаний малой жесткости с возможностью регулирования момента трения [2].

Недостатком указанных демпферов является большой угол холостого хода (до 200⁰) торсиона, передающего крутящий момент двигателя, вследствие чего увеличивается время начала движения транспортного средства, в режимах пуска и реверса, а также возникновения явления ударного импульса в конце угла закрутки.

Для устранения указанных недостатков предлагается [3] устройство для гашения динамических нагрузок в трансмиссии транспортных средств (рис.1).

Рисунок 1. Общий вид демпфера в трансмиссии транспортных машин

1, 2 – цилиндры с фланцами; 3 – вязко-упругий элемент; 4 – втулки; 5 – болты; 6 – гайки

Рассматривается напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкции, состоящей из двух одинаковых цилиндров длиной 145 мм, соединенных жестким кольцом. Внешний радиус цилиндров 38 мм, толщина стенок 3 мм [1].  Внешний диаметр кольца 100 мм, а внутренний совпадает с внутренним диаметром цилиндров и равен 70 мм. Каждый из цилиндров имеет по 4 наклонных прорези, симметрично расположенные относительно центрального сечения. Ширина прорезей 3,5 мм, их расстояние от верхнего и нижнего края цилиндров одинаково и равно 24 мм. Наклон прорезей в расчетах варьировался от 30⁰ до 60⁰, поскольку одной из задач исследования являлось выявление влияния на напряженно-деформированное состояние конструкции различных углов наклона прорезей. На рис. 2, а угол наклона прорезей составляет 30⁰, на рис. 2, б – 45⁰, на рис. 2, в – 60⁰, а на рис. 2, г прорези отсутствуют. Верх конструкции жестко защемлен, а внизу приложен крутящий момент величиной 1Hм, показанный на чертежах, вектор которого параллелен оси. Материал – сталь, со следующими физико-механическими характеристиками: модуль Юнга Е=2,6∙10⁶МПа, коэффициент Пуассона v=0,3, удельный вес γ=7,8∙10^-4 Н/м³.

Рисунок 2. Модели упругого звена с наклонами прорезей:

а – 30⁰; б – 45⁰; в – 60⁰ ; г – без прорезей

Для математической постановки задачи используется принцип возможных перемещений, согласно которому сумма работ всех активных сил на возможных перемещениях равна нулю:

  ,                                                    (1)

где σ_ij, ε_ij – компоненты тензоров напряжений и деформаций; М – крутящий момент, приложенный к основанию конструкции (вала) и распределенный по границе l_i; V – объем вала; d – обозначает изохронную вариацию деформаций и поворота нагруженного торца φ. Первое слагаемое в (1) – представляет вариацию потенциальной энергии, а второе – работу крутящего момента на повороте dj.

Физические свойства материала конструкции описываются упругими соотношениями между напряжениями σ_ij и деформациями вида

 ,                                                                   (2)

где величины  и  являются упругими константами Ламе.

Для решения поставленной задачи определения напряженно-деформированного состояния конструкции под действием приложенной нагрузки и в зависимости от наклона прорезей воспользуемся методом конечных элементов (МКЭ).

Рассмотрим процедуру МКЭ применительно к поставленной задаче расчета оболочек. Пусть срединная поверхность оболочки S ограничена линией i₁, где задана краевая нагрузка. Для получения разрешающей системы уравнений поставленной задачи и получения матрицы жесткости всей системы, разобьем рассматриваемую область на элементы, тогда (1) представится в виде:

                                        (3)

Рассмотрим конечно-элементную дискретизацию развертки серединной поверхности оболочки с прорезями треугольными элементами (рис. 3). Координаты узлов элементов в представленной прямоугольной системе координат будут определяться количеством вертикальных разбиений и уравнениями наклонных прямых с углом наклона прорезей (

 y_i=х tga+b_i ,                                                                              (4)

где величина b_i представляет собой ординату наклонной прямой на левой границе развертки.

Рисунок 3. Конечно-элементная дискретизация боковой  поверхности конструкции

После определения координат узлов в локальной системе  координат (х, у), нетрудно перейти к цилиндрической системе (r, j, z), фактически склеить развертку. В этой системе первая координата r для всех узловых точек оболочек будет равна радиусу цилиндра R, вторая координата  будет определяться отношением , а координата 

Предполагается, что напряженное состояние определяется в рамках линейной теории оболочек. Тогда напряженное состояние в срединной плоскости элемента описывается соотношениями плоской задачи теории упругости, а в качестве величин, определяющих решение сформулированной задачи, принимаются линейные перемещения u, v, w (рис. 4) в каждом из узлов конечно-элементной дискретизации, общее число которых равно N.

Рисунок 4. Узловые перемещения треугольного элемента в общей системе координат

Аппроксимирующие функции поля перемещения в пределах r–го элемента принимаются по линейному закону:

                                                  (5)

Вектор узловых перемещений конечного элемента имеет вид

                           (6)

Зависимости (5), являясь наиболее простыми, удовлетворяют условию непрерывности перемещений в пределах всего тела, т.к. вдоль каждой стороны треугольника перемещения, изменяясь по линейному закону полностью определяются значениями в узловых точках, примыкающих к данной стороне. Следовательно, для соседних элементов, с одинаковыми перемещениями в узлах, совпадают перемещения и в любой точке их общей границы- стороны. Таким образом, при переходе от элемента к элементу непрерывность перемещений не нарушается.

Соответствующий вектору узловых перемещений (6) вектор узловых усилий:

                (7)

Между векторами (6) и (7) можно установить зависимость вида

                                                                     (8)

где  – матрица жесткости конечного элемента в локальной системе координат. При этом предполагается, что перемещения оболочки малы по сравнению с ее толщиной. Поэтому для матрицы жесткости элемента оболочки используется матрица жесткости треугольного элемента, используемая в плоской задаче теории упругости и приведенная во всех известных классических монографиях. Эта матрица имеет порядок (6х6) и следующий вид

 (9)  

Здесь: s=0.5(x₂₃y₃₁-x₃₁y₂₃);  x_ij=x_i-x_j;  a=G(1-n²)/E;   h – толщина элемента.   

Для кольца жесткости, находящегося в центральной части оболочки, используются кольцевые элементы треугольного сечения (рис.5). При выводе матрицы жесткости для такого элемента предполагается, что поле перемещений внутри объема конечного элемента зависит только от координат r и z. И тогда задача становится аналогичной плоской задаче теории упругости.

Рисунок 5. Кольцевые элементы треугольного профиля

В процессе формирования матрицы жесткости всего вала, объединяющего оболочку и кольцо жесткости, учитываются кинематические условия на стыке оболочки и кольца, т.е. равенство линейных перемещений узловых точек.

Элементы сформированной матрицы жесткости представляют собой коэффициенты в разрешающей системе линейных алгебраических уравнений, а столбец свободных членов – узловой нагрузкой, приложенной к валу

                                                                       (10)

Полученная система (10) решается методом Холецкого.

С помощью описанного подхода, заключающегося в применении метода конечных элементов к статическому и динамическому расчету исследуемой конструкции, решен ряд задач и проведены исследования, касающиеся напряженно-деформированного состояния упругого вала с прорезями в зависимости от наклона прорезей, приложенной нагрузки и условий закрепления вала.

Ниже приведены результаты статического расчета и приведены исследования влияния наклона прорезей конструкции на ее напряженно-деформированное состояние. Результаты получены с помощью разработанной программы, реализующей метод конечных элементов, с использованием треугольных конечных элементов для оболочек, составляющих конструкцию и кольцевых треугольных элементов для кольца жесткости.

На рис. 6-7 показано деформированное состояние конструкции с прорезями, направленными под различными углами (30⁰ - на рис. 6; 45⁰ – рис.7 и 60⁰ – рис.8) под действием нагрузки в виде единичного крутящего момента (Мкр=1Нм), место приложения которого находится в нижней части конструкции и показано на чертежах. Производимый им поворот конструкции противоположен направлению прорезей. Другой торец конструкции жестко защемлен. Масштаб на всех чертежах одинаков, однако деформированное состояние звена с наклоном 30⁰ более выражено, чем во всех остальных случаях.

Рисунок 6. Компоненты напряженно-деформированного состояния упругого звена с наклоном прорезей 30⁰ при единичном крутящем моменте в основании и жесткой заделкой вверху

Из чертежа на рис. 6, где прорези направлены под углом 30⁰, видно, что верхняя часть боковой поверхности раскручивается, а нижняя часть, к границе которой приложен крутящий момент, скручивается, что приводит в первом случае к выпиранию, а в другом – к сужению боковой поверхности с прорезями. Результаты расчетов показывают, что чем круче наклон прорезей (= 45⁰, 60⁰), тем меньше выпор боковой поверхности. В отсутствии прорезей деформация конструкции показана на рис. 8, где продольные перемещения практически отсутствуют, и конструкция совершает чистое кручение под действием приложенного момента.

Рисунок 7. Компоненты напряженно-деформированного состояния упругого звена с наклоном прорезей 45⁰ при единичном крутящем моменте в основании и жесткой заделкой вверху

Перемещения по оси конструкции на уровне кольца жесткости при различных углах наклона прорезей показаны на соответствующих рисунках с индексом «а» и составляют, соответственно, 7,05∙10^-2мм при = 30⁰ (рис. 6, а); 1,56∙10^-2мм при   = 45⁰ (рис. 7, а); 3.42∙10^{-3 мм при  = 600}. В других сечениях значения перемещений представлены в таблицах с соответствующими индексами изолиний. Размерность перемещений, представленных в таблицах, дается в миллиметрах.

Таким образом, из полученных результатов видно, что наклон прорези влияет не только на радиальные перемещения (это ясно из анализа приведенных чертежей деформированного состояния), но и на осевые перемещения точек конструкции. При этом наибольшие радиальные перемещения наблюдаются в области, ослабленной прорезями, а осевые – в центральной части - на кольце жесткости. С увеличением угла наклона прорезей и те, и другие перемещения уменьшаются.

Следующая серия расчетов касается определения напряжений, возникающих при действии момента в основании для различных углов наклона прорезей. Значения напряжений (в Па) на изолиниях приводятся в таблицах на соответствующих рисунках.

Распределение касательных напряжений на боковой поверхности конструкций показано на рис. 6, б; 7, б. Здесь также при малом угле наклона прорезей ( = 30⁰) наибольшие значения напряжений (=4,95 МПа достигаются в областях между прорезями, причем как в нижней, так и в верхней частях конструкции. С увеличением угла  до величины 45⁰ касательные напряжения в нижней части между прорезями уменьшаются до значения 3,3 Па, а в верхней – до 0,78 Па. При  = 60⁰ внизу между прорезями напряжения еще меньше –  = 1,5 Па, а вверху – всего 0,25 Па.

Таким образом, увеличение наклона прорезей приводит к уменьшению касательных напряжений по всей боковой поверхности конструкции, особенно в верхней, незагруженной части. При отсутствии прорезей напряжения (рис. 8) концентрируются у основания и практически отсутствуют на боковой поверхности конструкции.

Наибольшие значения растягивающих напряжений (6, в – 7, в) достигаются на границах прорезей. При этом с увеличением наклона (= 30⁰, 45⁰, 60⁰) абсолютные значения растягивающих напряжений последовательно уменьшаются с 12 Па (при  = 30⁰) до 3 Па (при= 45⁰) и 0,2 Па (при  = 60⁰). Для цилиндров без прорезей напряжения на боковой поверхности незначительны, и проявляются в виде краевых эффектов в местах приложения нагрузки.

Рисунок 8. Компоненты напряженно-деформированного состояния упругого звена без прорезей при единичном крутящем моменте в основании и жесткой

Во всех приведенных расчетах приложенный к торцу вала крутящий момент противоположен направлению прорезей. Для сравнения на рис. 9 показано деформированное состояние конструкции с прорезями, расположенными под углом =30⁰ в масштабе 1:100 при действии крутящего момента в основании, направленном в противоположную сторону.

Рисунок 9. Деформированное состояние модели с прорезями под углом 30⁰ при воздействии крутящего момента в направлении, совпадающем с направлением прорезей

В этом случае, в отличие от предыдущего, боковая поверхность нижнего цилиндра – раскручивается, а верхнего – скручивается. Осевые перемещения совпадают по абсолютному значению, но противоположны по направлению тем, которые были получены ранее при положительном направлении крутящего момента.

Таким образом, можно заключить, что наличие прорезей приводит к увеличению всех видов напряжений, а также осевых и радиальных перемещений точек конструкции. При этом для малого наклона прорезей (=30⁰) одинаково ослабленными являются центральные зоны верхней и нижней оболочек вдоль границ прорезей. С увеличением угла (=45⁰, 60⁰) и при отсутствии прорезей наибольшие значения всех напряжений концентрируются в нижней части конструкции. Часть конструкции, находящаяся выше кольца жесткости, с увеличением угла наклона прорезей постепенно освобождается от напряжений, и в отсутствии прорезей становится практически незагруженной.

Список литературы:

1.  Алимухамедов Ш.П., Хикматов Ш.И. и др. Динамика    трансмиссии колесных мобильных машин. Ташкент: Adabiyot uchqunlari, 2017. – 188 c.

2.  Демпфер крутильных колебаний малой жесткости с возможностью регулирования момента трения // Патент России № 2399812. 2000. Бюл. № 26 / Тверсков Б.

3.  Устройство для гашения динамических нагрузок в трансмиссии транспортных машин // Патент Республики Узбекистан UZ IAP 05524. 2018. Бюл. № 12 / Нарзиев С.О., Алимухамедов Ш.П. [и др.].