Усредняющие фильтры с нелинейными преобразованиями входных данных

АННОТАЦИЯ

Предлагаются алгоритмы цифровых сглаживающих фильтров, использующих нелинейную обработку отсчетов входного сигнала. Алгоритмы получены согласно соотношению, которое было предложено автором в предыдущих публикациях . Здесь  – входной сигнал,  – выходной сигнал,   – размер апертуры фильтра,  – непрерывная, нелинейная функция.

 В статье приведены пять алгоритмов, когда , , , , . Данные алгоритмы фильтрации исследованы численно при удалении аддитивных гауссовских и импульсных помех. Результаты фильтрации сравнивались с погрешностью традиционного медианного фильтра.

В статье приведены таблицы погрешностей фильтрации рассматриваемых фильтров. Приведены, также, рисунки зашумленных и отфильтрованных изображений. Показано, что с ростом амплитуды импульсного шума погрешности новых алгоритмов практически не изменяются. При удалении импульсного шума, если вероятность его появления , то погрешности новых алгоритмов близки к погрешностям медианного фильтра. Если  , то эти погрешности в 2-3 раза меньше погрешностей медианного фильтра. Гауссовский шум удаляется предлагаемым фильтрами с той же          точностью, что и медианным фильтром.

В статье сделано предложение о возможности использовать исследованные алгоритмы для решения практических задач.

ABSTRACT

Algorithms of the digital smoothing filters using nonlinear processing of         counting of an entrance signal are offered. Algorithms are received according to a ratio which was offered the author in the previous publications    here   – entrance signal,  – entrance signal,  – filter aperture size,  – continuous, nonlinear function.

 Five algorithms are given in article when , , , , . These algorithms of a filtration are investigated in number during removal of additive Gaussian      and pulse hindrances. Results of a filtration were compared with a margin                   error the traditional median filter.

Tables of errors of a filtration of the considered filters are provided in article. Also, drawings of the noisy and filtered images are provided.

It is shown that with growth of amplitude of pulse noise of an error of new algorithms practically don't change. During removal of pulse noise, if probability of his emergence , that errors of new algorithms are close to errors of the median filter. If  , that these errors in 2-3 time there are less errors of the median filter. Gaussian noise is removed offered by filters with the same accuracy, as the median filter.

In article the proposal on an opportunity to use the studied algorithms for the solution of practical tasks is made.

На практике для восстановления информационных сигналов широкое использование нашли сглаживающие фильтры [1, с. 131, 228]. При этом алгоритмы пространственных фильтров используют, как правило, различные операции усреднения отсчетов входного сигнала. Однако, как показали исследования [2, с. 46], можно получить хорошие результаты восстановления сигналов путем усреднения функционально - преобразованных отсчетов входного сигнала.

Пусть имеем фильтр со скользящим окном, размером апертуры , на вход которого поступает  сигнал с отсчетами  , , где  – отсчеты полезного детерминированного сигнала, – отсчеты мешающего шума. Полагаем, что в пределах апертуры фильтра значения полезного сигнала практически одинаковы. Тогда .  В качестве выхода фильтра возьмем соотношение [2, с. 46]

        ,                    (1)

где  некоторая монотонная, непрерывная функция. Если в качестве   выбирать функции, значения которых обратно пропорциональны значениям аргумента  x , то, как показано далее, фильтр (1) позволяет достаточно хорошо убирать интенсивный импульсный шум.

 Рассмотрим некоторые из таких функций [3,4,5,6]

1. Пусть   , ,   тогда из (1) будем иметь

               .       (2)

2. Если   , , то

           .    (3)

3. Если  ,  , то

               .           (4) 

4.  Если   ,  , то

              .             (5)

5.  Пусть   . Для определения в (1)    обратной функции используем при  представление                                          и учтем, что  . Тогда в нашем случае можно получить

                 .           (6)

Алгоритмы (2), (3), (4), (5), (6) были промоделированы     численно в случае, когда шум  является аддитивной смесью независимых  гауссовских   и импульсных  помех. При этом предполагалось, что  имеет нулевое среднее значение и дисперсию , а  принимает три значения: , 0, . Пусть ,  , . Моделирование показало, что при удалении импульсного шума хорошие результаты достигаются при следующих параметрах   ,  ,  ,  , .  При удалении гауссовского шума следует брать  ,  ,  , ,  .

Результаты зашумления полезного сигнала и фильтрации изображения размера M×N будем характеризовать соответственно величинами

,

       .

Пусть  , , , ,  – погрешности удаления шума фильтрами соответственно с экспоненциальным преобразованием (2), с гауссовским преобразованием (3), с показательным преобразованием (4), с показательным преобразованием гиперболического вида (5), с показательно – степенным преобразованием (6) и, для сравнения,   – погрешность традиционного медианного фильтра.

В таблице 1 приведены результаты наложения импульсного шума при  и результаты удаления этого шума в зависимости от величины его амплитуды  A  при .

Таблица 1

Погрешности фильтрации при изменении амплитуды импульсного шума