МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ЩЕЛОЧНОГО РАФИНИРОВАНИЯ КАПЕЛЬ ХЛОПКОВОГО МАСЛА

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматриваются ключевые аспекты математического моделирования процессов переработки растительного масла. Особое внимание уделяется построению математических моделей, описывающих физико-химические и технологические стадии переработки, включая очистку, рафинацию, дезодорацию и нейтрализацию. Приведены примеры дифференциальных уравнений и численных методов, используемых для описания динамики процессов. Анализируются основные параметры, влияющие на эффективность переработки, а также возможности оптимизации технологических режимов с использованием методов математического моделирования. Полученные результаты могут быть использованы для повышения эффективности производства и улучшения качества конечного продукта.

ABSTRACT

This paper examines the key aspects of mathematical modeling of vegetable oil processing processes. Special attention is given to the development of mathematical models describing the physicochemical and technological stages of processing, including degumming, refining, deodorization, and neutralization. Examples of differential equations and numerical methods used to describe the dynamics of these processes are provided. The main parameters influencing the efficiency of processing are analyzed, as well as the possibilities for optimizing technological modes using mathematical modeling methods. The results obtained can be used to improve production efficiency and enhance the quality of the final product.

Ключевые слова: растительные масла, технология рафинации жирных кислот, математические уравнения, моделирование процессов

Keywords: vegetable oils, fatty acid refining technology, mathematical equations, processes modeling.

Введение. Рафинирование - это совокупность технологических процессов обработки растительных масел, которая занимает особое место в масложировом производстве [6]. Она обеспечивает удаление из масла компонентов, ухудшающих качество и технологические свойства масла [2].

Щелочному рафинированию (нейтрализации) подвергается большое количество различных видов растительных масел хлопковое, подсолнечное, рапсовое, соевое, льняное и другие [4]. Спрос на рафинированные масла непрерывно растет. В настоящее время нейтрализация свободных жирных кислот осуществляется следующим образом:

• непрерывно с разделением фаз на сепараторах;
• непрерывно с разделением фаз в мыльно-щелочной среде;
• периодическим способом с разделением фаз отстаиванием; периодическим способом с водно-солевой подкладкой и т.д.

При проведении щелочного рафинирования масла условно делят на высококислотные (труднорафинируемые) и низкокислотные. Обработка этих видов масел проводится с использованием различных схем и процессов (непрерывная и периодическая, в мыльно-щелочной среде и сепарационная).

Интенсификация процесса рафинирования не может быть осуществлена без углубленного изучения механизма процесса с применением системного анализа на основе использования современных методов математического моделирования и разработки основ массопереноса вещества в гетерогенной системе в присутствии ПАВ (поверностно активных веществ).

работы этого направления имели существенное значение в деле совершенствования технологического оборудования. Однако они не разьяснили характер происходящих явлений в процессе рафинации масла в мыльно-щелочной среде, так как основывались на пленочной теории процесса массо-переноса жирных кислот, которая исходит из предположения, что изменение концентрации переносимого компонента происходит в тонких слоях (пленках) соприкасающихся фаз, а в объеме фаз концентрация везде одинакова. Такое предположение не позволяет учесть гидродинамику процесса при экстракции из отдельных достаточно крупных капель в условиях нестационарного массопереноса, когда концентрация вещества изменяется во времени. Этот недостаток пленочной теории особенно ярко проявляется при описании интенсивных процессов переноса взаимодействующих между собой веществ. Например, образование ассоциатов и мицелл жирных кислот, фосфолипидов и других сопутствующих веществ.

Обзор свидетельствует о том, что существующее положение в технике и технологии рафинирования нельзя считать удовлетворительным. Наиболее экономичный способ рафинирования (нейтрализация в мыльно-щелочной среде) неустойчив и имеет ряд существенных недостатков. Решение этих проблем возможно при системном подходе с использованием математического моделирования.

Цель работы направлена на изучение вопросов математического моделирования процессов нейтрализации свободных жирных кислот в технологии переработки растительных масел. Объектом исследований являлось математическое описание процесса щелочной рафинации капель масла.

Методология

Основным математическим аппаратом, для описания процессов при рафинировании масел являются уравнения массопереноса и диффузии. В настоящем исследовании применен аппарат дифференциальных уравнений в криволинейных координатах.

Решение задачи нестационарного конвективного тепло или массообмена даже для задач с известной гидродинамикой представляет определенные трудности, связанные с необходимостью формулировки дифференциального уравнения переноса в криволинейных координатах. Определение компонентов метрического тензора, входящего в это уравнение, представляет достаточно сложную задачу, связанную с определением частных производных, неявных функций и вычислением коэффициентов Ламе [3].

Для систем с числом Пекле [5] много больше числа Рейнольдса (Pe>> Re) можно выделить систему поверхностей с равной концентрацией, перенос компонента между которыми осуществляется за счет молекулярной диффузии. Примером такого подхода является модель Кронига - Бринка [7], в которой рассмотрен случай массообмена в капле, когда Re→0, Ре ∞.

Диффузная компонента, согласно закону Фика [1], ортогональна изоконцентрационным поверхностям. Учитывая это обстоятельство и зная геометрию такой поверхности, можно, как показано, значительно облегчить вывод соответствующего уравнения переноса. В работе этот подход использован для вывода уравнения конвективного массопереноса внутри капель при щелочной рафинации. Здесь проведен вывод уравнений массопереноса как внутри, так и во внешнем объеме при рафинации капель. Например, имеем семейство изоконцентрационных поверхностей, зависящих от одной переменной (ξ), т.е.:

S=S (ξ)                                                                    (1)

и соответствующие этому семейству объемы, также зависящие от ξ

V=V (ξ)                                                                  (2)

Уравнение материального баланса в этом случае имеет вид

q_ξ S (ξ)- q_ξ +d_ξ·S (ξ+d_ξ) = (∂C/∂τ) dV                                            (3)

Разлагая q_ξ+d_ξ и S (ξ+ d_ξ) в ряд Тейлора [8], ограничиваясь двумя членами ряда и отбросив бесконечно малые порядки (dξ)², имеем

-q_ξ· d_ξ – S(ξ) (∂q/∂_ξ) dξ=·dξ (∂C/∂τ)                                      (4)

Сокращая выражение (4) на множитель dξ, и учитывая, что q_ξ =D (∂C /dξ) (если направление оси ξ совпадает с направлением градиента), имеем

,                                 (5)

Вынося оператор дифференцирования в выражении (5) за скобки, имеем

,                                  (6)

Анализируя выражение (6), видим, что решение этого уравнения всегда допускает разделение переменных и использует только геометрию изопотенциальных поверхностей. Справедливость его легко проверить на телах простой формы (шар, бесконечный цилиндр и т.д.).

Особенно удобно использование такого подхода при решении задач конвективного нестационарного переноса с известной гидродинамикой при Re>>1.

Представленный вывод уравнения диффузии через обобщенную координату показывает, что любая задача конвективного нестационарного переноса может быть сведена к одномерному уравнению второго порядка в частных производных.

Используя понятие об изопотенциальных поверхностях, удается получить возможность решения задач диффузии из частиц различной формы, сводя задачу к одномерной.

Выражение (6) допускает разделение переменных и использует только геометрию изопотенциальных поверхностей. В этом случае этo краевая задача преобразуется в уравнение в частных производных следующего вида:

=             (7)

Граничные условия для случая, когда фронтальная плоскость реакции располагается на поверхности капли, имеют вид:

С (ξ, 0) = С₀                                                              (8)

С (1, τ) = 0                                                     (9)

Использование различных изоконцентрационных поверхностей, характерных для конвективной диффузии внутри капли и вокруг нее (так называемый диффузионный слой) возможно за счет использования геометрии линий тока, которые в цилиндрической системе координат в случае ламинарного осесимметричного обтекания сферы имеют следующий вид безвихревой циркуляции, описанной Адамаром и Рыбчинским.

                      (10)

)                       (11)

Где  - функция тока; R_K - радиус капли; (10) (11) r - текущий радиус (0);  - полярный угол (0>  >2 );

Формула (10) - внутренняя функция тока. Формула (11) - внешняя функция тока. Геометрическое изображение функций тока представлено на графике (рисунок 1). Знание гидродинамического поля скоростей течения внутри капли позволяет перейти к решению задачи экстракции из капли, т.е.к определению поля концентраций в дисперсной фазе (капле), что и было сделано в дальнейшем.

Рисунок 1. Геометрия линий тока 0,2

Пунктир - внутренняя линия тока, штрих пунктир — внешняя линия тока.

Результаты

Используя (13) рассчитываем V(ξ) и S(ξ) вычисляя зависимость объема и площади изоконцентрационной поверхности от безразмерной координаты ξ. Поверхность и объем получаем вращением линии ξ вокруг оси Z, используя свойство симметрии относительно этой оси. Для пересчета объема и поверхности изоконцентрационных поверхностей на реальную масляную каплю, имеющую вид двухосного эллипсоида вращения с осями 1,00 мм и 2,07 мм проводим масштабирование полученного сечения, умножая полученные координаты на соответствующие масштабные множители. Соответствующие сечения представлены на графике (рисунок 2).

Рисунок 2. Сечение поверхности капли в декартовых координатах R=1.625 мм; (радиус сферы) А=1,00 мм, В=2,07 мм (оси эллипсоида);

Используя приведенные данные, определяем метрические коэффициенты, входящие в уравнения. Эти зависимости получены аппроксимацией объемов изоконцентрационных поверхностей кубическими сплайнами и последующим дифференцированием их по ξ на интервале (0> ξ >1). Используемые изоконцентрационные поверхности конвективной диффузии (Рисунок 2) позволяют в этом случае свести задачу к одномерной и получить решение задачи для одномерной обобщенной координаты ξ. Исходя из уравнения, определим объем и поверхность циркуляционного тора жидкости внутри капли по известным уравнениям для тел вращения (ввиду симметрии относительно оси абсцисс интегрируем (таблица 1), (рисунок 3)

Рисунок 3. Зависимость метрических коэффициентов от обобщенной пространственной координаты (ξ).

Таблица 1.

Метрические коэффициенты изоконцентрационных поверхностей двухосного эллипсоида (масляной капли) с соотношением осей 1.00 мм и 2.07 мм для конвективной модели массопереноса

Заключение. Математическое описание массопереноса в каплях формой, в виде двухосного элипсойда, может быть представлено в виде одномерных уравнений в криволинейных координатах, как для внутреннего, так и внешнего объема на основе анализа метрических коэффициентов, что соответствует соотношениям осей сфероида полученным микрофотографией. Модель процесса щелочной рафинации капель масла описывает сопряженный массоперенос с химической реакцией в виде системы трех дифференциальных уравнений.

Список литературы:

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1976. – 279 с.
2. Арутюнян Н.С., Корнена Е.П., Янова Л.И. Технология переработки жиров. – М.: Пищепромиздат, 1994. – 452 с.
3. Дехканова Н.А., Мажидов К.Х Cовершенствование технологии щелочной нейтрализации растительных масел с новыми видами растворов // сб. ст. XIII Междунар. науч. конф. «Tехника и технология пищевых производств» 18–19 апреля 2024 года. – Могилев.
4. Стопский В.С., Ключкин В.В., Андреев Н.В. Химия жиров и продуктов переработки жирового сырья. – М.: Колос, 1992. – 286 с.
5. Hassoun A. et al. Food quality 4.0: From traditional approaches to digitalized automated analysis // Journal of Food Engineering. – 2023. – Т. 337. – С. 111216.
6. Kaldybekova Z. B. et al. Some Aspects of Mathematical Modeling of the Geometric Structure of Porous Vermiculite Adsorbents used in the Refining of Vegetable Oils // Chemical Engineering Transactions. – 2023. – Т. 102. – С. 349–354.
7. Perov V. I. et al. Application of electrophysical heating methods in food production processes //IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. – IOP Publishing, 2021. – Т. 640. – № 7. – С. 072001.