ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ИХ ДИВЕРГЕНТНОЙ ФОРМЕ

АННОТАЦИЯ

В работе рассматриваются основные предположения для решения одномерных гидродинамических уравнений в их дивергентной форме. В процессе исследования были определены ключевые условия, влияющие на стабильность и точность решений, а также выявлены критические аспекты, касающиеся применения численных методов для данного класса уравнений. Результаты исследования подтверждают необходимость дальнейшего изучения и уточнения предположений, используемых для решения одномерных гидродинамических уравнений, что открывает новые направления для будущих научных исследований и практических приложений в области гидродинамики.

ABSTRACT

The paper discusses the basic assumptions for solving one-dimensional hydrodynamic equations in their divergent form. During the study, key conditions affecting the stability and accuracy of solutions were identified, and critical aspects regarding the application of numerical methods for this class of equations were identified. Thus, the results of the study confirm the need for further study and refinement of the assumptions used to solve one-dimensional hydrodynamic equations, which opens new directions for future scientific research and practical applications in the field of hydrodynamics.

Ключевые слова: распределение давления, уравнения, гидродинамика и гипотезы.

Keywords: pressure distribution, equations, hydrodynamics, and hypothesis.

Введение. День за днем находящиеся страны с жарким климатом испытывают дефицит водных ресурсов из-за интенсивного развития народного хозяйства и сельского хозяйства. Повышение объема использования и потребления водных ресурсов, а также приобретение дополнительных водных ресурсов, приводит к ряду проблем с эксплуатацией существующих сооружений.  Основными направлениями исследования динамики речного потока являются численные и физические методы. Тем не менее, в обоих случаях возникают значительные проблемы, имеющие как общие, так и различные черты [1].

Метод исследования. Исследование этой работы включает в себя математическое преобразование одномерных уравнений гидродинамики и анализ возможности их численного решения.

Обсуждения результатов исследований. Как известно, в русле с произвольной формой уравнения Сен-Венана имеют форму [5] (здесь и далее корректив количества движения α=1):

                                                        (1)

,                  (2)

где t — время; x — координата вдоль русла; площадь поперечного сечения воды; расход воды; v — скорость течения; статический момент сечения относительно свободной поверхности, равный произведению площади поперечного сечения на глубину центра тяжести по вертикали; смоченный периметр; отметка свободной поверхности воды Zfs; ускорение силы тяжести; q — удельный расход приточности на единицу длины русла, когда q > 0 или «интенсивность дождя, С является коэффициентом Щези. В вычислительной гидравлике предполагается, что вектор гидравлического трения коллинеарен вектору, осредненному по глубине скорости течения, и направлен в противоположную сторону. Для определения конкретного закона трения используются стандартные формулы, используемые для широких прямоугольных русел [3]. Закон сохранения массы несжимаемой жидкости в русле представлен в уравнение (1), которое представляет собой уравнение неразрывности, умноженное на плотность жидкости ρ. Это уравнение движения, умноженное на плотность жидкости ρ, представляет собой закон сохранения импульса. Смысл некоторых членов уравнения движения:  – поток количества движения в створе, деленный на плотность воды ρ;  – гидростатическое давление в створе (в единицах водяного столба, то есть деленное на плотность воды ρ);  – изменение давления вдоль русла;  – часть изменения давления, не воспринимаемая руслом;  – давление русла на воду;  – гидравлическое трение.

В призматическом русле член сильно упрощается: , и система приобретает вид:

                                                      (3)

,                        (4)

Еще проще она выглядит в случае широкого прямоугольного русла:

                                                     (5)

,                       (6)

где: – удельный расход (то есть расход, деленный на ширину русла В). Расход при точности и импульс, вносимый в русло, тоже нужно в этом случае делить на В:, .

Далее рассмотрим уравнения (1), (2) в виде:

                                                (7)

,                               (8)

Преобразуем уравнение (8), используя формулу дифференцирования [13]:

           (9)

Переходя от статического момента S к глубине потока h (h – максимальная глубина в створе), считаем, что ω, h и S – взаимно-однозначные функции.

       (10)

Из определения статического момента:

                                                         (11)

           (12)

                                        (13)

                               (14)

Уравнение (14) широко использовалось в гидравлике, пока не стало очевидным, что лучше использовать дивергентную форму уравнения (8), именно в этой форме его и приводили (без правой части ). 

Из уравнения (14) очевидными тождественными преобразованиями можно получить следующую форму уравнения движения:

                                   (15)

Хотя эта фoрма уравнения движения дивергентная, она приводит к физически неверным результатам при разрывных (обобщенных) решениях с борами и гидравлическими прыжками. Тем не менее, в вычислительной гидравлике ее используют, если в рассматриваемых задачах отсутствуют боры и гидравлические прыжки. Численные методы, как правило, не дают точных решений, поэтому приходится прибегать к определенным свойствам, чтобы оценить, насколько они приближаются к точным решениям. В численном методе уравнения Бернулли удается добиться точного выполнения (при отсутствии шероховатости дна и приточности) с использованием вида (15) уравнения неразрывности. Известный гидролог, профессор [4] предложил это важное использование формы (15).

Выводы Заключением следует отметить, что основные гипотезы, основанные на успешном решении одномерных уравнений Сен-Венана, были определены путем изучения всех предыдущих решений системы уравнения Сен-Венана: - глубина потока должна быть меньше линейных размеров, необходимых для данной инженерной задачи, особенности потока по длине русла:

h<<L,                                                          ()

где: h – глубина потока; L – характерный горизонтальный линейный размер решаемой задачи.

Следует отметить, что гипотезы, обоснованные выше и взятые за основу одномерных уравнений Сен-Венана, в данной трактовке приводится впервые.

Список литературы:

1. Милитеев, А. Н., & Базаров, Д. Р. Математическая модель для расчета двумерных (в плане) деформаций русел. Водные ресурсы, Т.26(1), Стр.22-26. (1999).
2. Милитеев, А. Н., & Базаров, Д. Р. О пульсационных решениях двумерных уравнений мелкой воды при стационарных краевых условиях. (1997).
3. Базаров Д. Р. Лабораторное моделирование русел в условиях развитого грядового режима //Водное хозяйство. №. 3. (1997).
4. Барышников Н. Б., Попов И. В. Динамика русловых потоков и русловые процессы. – Издательство Государственного комитета СССР по гидрометеорологии и контролю природной среды" Гидрометеоиздат", (1988).
5. Шеренков И. А. Прикладные плановые задачи гидравлики открытых потоков. Изд." Энергия"//Изд. “Энергия”, M. – (1978).