РАСЧЁТ ПАРАМЕТРОВ РАСКАЛЫВАНИЯ СКОРЛУПЫ КОСТОЧЕК АБРИКОСА

АННОТАЦИЯ

Данная статья посвящается разработке математической модели процесса образования трещины на скорлупе косточек абрикоса под механическим воздействием.  Условие текучести играет важную роль в определении верхних и нижних оценок предельного разрушения, разрыва косточек на основе которой предложен аналитический метод определения разрыва косточек.

ABSTRACT

This article is devoted to the development of a mathematical model of the process of crack formation on the shell of apricot kernels under mechanical action. The yield condition plays an important role in determining the upper and lower estimates of the ultimate fracture, pitting, on the basis of which an analytical method for determining pitting rupture is proposed.

Ключевые слова: скорлупа косточек, условие текучести, толщина скорлупы косточки, эллиптический параболоид, абрикосовая косточка, стрела выпуклости, пластическое состояние, гауссова кривизна, номер узла, моментная постановка.

Keywords: pit shell, yield condition, pit shell thickness, elliptical paraboloid, apricot pit, convexity arrow, plastic state, Gaussian curvature, node number, moment setting.

Статическая и кинематическая формулировка задач предельного равновесия косточек показывает, что условие текучести играет важную роль в определении верхних и нижних оценок предельного разрушения, разрыва косточек [1,2].

В общем случае в каждой точке скорлупы косточки при ударной силе действует внутренние усилия: нормальные силы  и , сдвигающие силы , поперечные силы  и , изгибающие моменты  и , также крутящие моменты , обычно влияние поперечных сил на переход сил на переход материала в пластическое состояние невелико, поэтому часто условия пластичности можно связывать лишь шесть из восьми внутренних [2].

Обозначим следующие кривизны

и переходя к без моментных усилий

                 (1)

 - толщина скорлупы косточки, далее получим система линейных уравнений для узла сетки с номером

                           (2)

Уравнение вида (2) могут быть записаны для каждого узла сеточной области. Как видно из описания математических моделей задач предельного равновесия (1) и (2) важную роль в них играют условия равновесия. Они обычно записываются в дифференциальной форме.

               (3)

Это и есть дифференциальное уравнение в частных производных.

В боле общем случае, то есть в моментной теории скорлупы косточек для представления вторых производных моментов в уравнении воспользуемся вторыми разностями. Для точки  получим:

    (4)

здесь  – шаг сетки в каждом из направлений, величины - изгибающие моменты, введены по формулам

Подстановка соотношений (4) в (3) позволяет третье уравнение заменить соответствующим алгебраическим выражением. Здесь важно заметить, что ее алгебраические уравнения, полученные путем сеточной дискретизации, линейны относительно [3].

Рассмотрим 1/4 часть скорлупы абрикосовой косточки в квадратном плане.

На рисунке 1 показана конечно-разностная сетка и приведена нумерация узлов [4,5]. Составляя уравнения равновесия (3) в алгебраической форме, примем во внимание, что (2) – уравнения равновесия необходимо составлять только незакрепленных узлов скорлупы косточек.

Рисунок 1. Конечно – разностная сетка и нумерация узлов

Если предположим, что скорлупы абрикосовой косточки оперта по двум и по специальным точкам сторонам, то уравнения равновесия будем составлять лишь для внутренних узлов 1, 2 и 4. Так как для каждого узла составляем три уравнения равновесия, всего получим девять алгебраических уравнений:

– условия симметрии задачи позволяют при составлении уравнений равновесия отождествлять узлы (рис. 1б) 2 и 7, 3 и 8, 9 и 5 а также 7 и 10, 4 и 11, 2 и 13, 4 и 14 и за счет этого заметно упростить уравнения;

– условия закрепления краев позволяют сразу указать значения внутренних усилии в точках сетки, совпадающих с контуром, для свободного оперения краев при

 и т.п.

 и т.п.

Пусть для определенности срединная поверхность скорлупы абрикосовой косточки есть эллиптический параболоид [3].

                                                (5)

где 2а – размер стороны скорлупы косточки в плане;  – стрела выпуклости.

Вычисляя срединную кривизну скорлупы абрикосовой косточки, найдем

                                              (6)

Дополнительно обозначим  пологость скорлупы косточки,  относительную толщину,  безразмерную интенсивность равномерной силы примем для конкретного примера , .

1. С целю контроля погрешности при аппроксимации гиперповерхностей полиэдрами необходимо каждый раз строить как вписанные и отесанные полиэдры.

2. Размер задачи, объем вычислений расход времени заметно зависят от числа граней полиэдра и резко возрастают с увеличением их числа. При небольшом количества гиперплоскостей полиэдра объем задачи невелик, но и точность результатов также невелика. Поэтому возникает вопрос о выборе оптимального числа граней при наименьших затратах времени. Уравнения равновесия при действии равномерной поперечной ударной силы составлены для узлов 1, 2 и 4 сети и приведены в таблице 1. 

Таблица 1.

Уравнения равновесия при действии равномерной поперечной ударной силы составлены для узлов 1, 2 и 4 сети

В линейные алгебраические уравнения, полученные описанным способом, входит величина Р-интенсивность распределенной ударной силы, а также внутренние усилия  

В соответствии с теоремой нижней границы предельной ударной силы получаем статическую формулировку задачи: необходимо, варьируя поля внутренних усилий  найти min P приведенные в таблице 2. 

Таблица 2.

Таблица 2. (продолжение)

Так как вес названных величин входит в уравнения равновесия в первой степени, для отыскания можно было бы применить эффективный метод линейного программирования, гарантирующий получение решения за конечное число шагов. Препятствием к применению этого метода является нелинейная форма условий текучести, поэтому формулировка рассматриваемой задачи в терминах линейного программирования требует линеаризации условий текучести.

Список литературы:

1. Уринов Ш.Х. Геометрические свойства скорлупы поверхности косточек // Universum: Технические науки: электрон. научн. журн. Выпуск: 3(96) Март. 2022. Часть 4. – С.48-51.
2. Джураев Х.Ф., Ахмедов Ю.Х., Уринов Ш.Х. Математическое описание процесса раскалывания косточек абрикоса // Международная конференция «Классический и квантовый релятивистский идеальный газ». Бухара-2023. – C.77-79.
3. Махмудов М.Ш. Автоматическая линеаризация выпуклых гиперповерхностей и несущая способность оболочек // Universum: Технические науки: электрон. научн. журн. 2022. 2(95). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/13145.
4. Badriddinov S.N. Automatic Construction with Center Projection with Autocad // International Journal of Engineering and Information Systems (IJEAIS) ISSN: 2643-640X. Vol. 5. Issue 2. February – 2021. – P.76-81.
5. Бадриддинов С.Н., Буронов И.Ф. Центральное проецирование в науке и технике // Интернаука: Научный журнал. – Москва: 2020. №10 (139). Часть 1. – С.76-78.