ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СКОРЛУПЫ ПОВЕРХНОСТИ КОСТОЧЕК

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассмотрено геометрическое свойство скорлупы косточек как поверхность n-го порядка применительно к пищевой промышленности.

ABSTRACT

This article considers the geometric property of the shell of the stones as a surface of the nth order in relation to the food industry.

Ключевые слова: скорлупа, оболочка, нормаль, гауссова кривизна, меридиан, пологость.

Keywords: shell, shell, normal, Gaussian curvature, meridian, flatness.

Скорлупой косточки (оболочкой) называется твердое тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями. Расстояние между ними называется толщиной скорлупы. Предполагают, что толщина незначительна по сравнению с другими размерами. Поверхность, делящая в каждой точке толщину оболочку пополам, является серединной поверхностью.

Срединная поверхность может быть задана уравнением в декартовых, цилиндрических, сферических координатах либо представлена в параметрической форме. Общая форма в декартовых координатах имеет нижеследующий вид.

 или                                

Рассмотрим некоторую поверхность (рис. 1).

Рисунок 1. Получение плоской кривой, определяющей радиус гауссовой кривизны

В произвольной ее точке А проведем к поверхности нормаль. Затем рассечем поверхность плоскостью V, проходящей через нормаль, и получим плоскую кривую, для которой можно определить постоянный или переменный радиус кривизны R вблизи точки А. Величина, обратная радиусу, называется кривизной плоской кривой в точке А.

Поворачивая плоскость V вокруг нормали, найдем линии, для которых кривизны станут наибольшей и наименьшей. Такие линии называются линиями главных кривизн. Из теории поверхностей известно, что в каждой точке линии главных кривизн пересекаются под прямым углом.

Знаки главных кривизн определяются по правилам, принятым в аналитической, дифференциальной геометрии: плоские кривые, обращенные выпуклостью вниз, имеют положительную кривизну, а обращенные вынуклости вверх – отрицательную кривизну.

Важной характеристикой поверхности является гауссова кривизна, представляющая собой произведение главных кривизн:

,

а также знак гауссовой кривизны.

С кривизной поверхности связана ее пологость. Скорлупа косточки считается пологой, если угол между касательной плоскостью к любой точке поверхности и координатной плоскостью всюду мал можно пренеберечь квадратам его синуса по сравнению синуса.

Такими называют скорлупы косточек, у которых отношение наименьшего радиуса кривизны R_min к толщине δ:

 или .

По знаку гауссовой кривизны скорлупы косточек разделяют на 3 класса (рис. 2). К первому относятся скорлупы косточки положительной гауссовой кривизны K > 0 (рис. 2 а, b), у которых обе главные кривизны положительны или отрицательны. Второй класс образуют скорлупы косточки отрицательной гауссовой кривизны (рис. 2 с).

а)                                                     b)

Рисунок 2. Определение кривизны скорлупы косточек

Если одна из главных кривизн равна нулю, скорлупы косточки обладают нулевой гауссовой кривизной. Пример скорлупы этого класса приведен на рис. 2 а.

Иногда одна часть скорлупы оболочки имеет положительную, а другая отрицательную гауссову кривизну. В этом случае поверхность называется поверхностью знакопеременной гауссовой кривизны. Классификация поверхности по их гауссовой кривизне является общепринятой.

Часто встречаются скорлупы косточек положительной гауссовой кривизны, и они чаще всего являются оболочками вращения или эллипсоидом вращения. Их серединная поверхность образуется вращением произвольной плоской кривой, называемой меридианом, вокруг некоторой оси. Если меридиан принят в форме параболы γ-степени, уравнение серединной поверхности имеет вид:

 или

Здесь или z и r – координаты, f и R – геометрические параметры.

1) При  выражение (1) представляет скорлупу косточки с меридианом в форме кубической параболы.

2) Если , соответствует квадратной параболе (рис. 1 е).

3) Если получается коническая поверхность. Такая скорлупа косточки отсутствует.

4) Рассмотрим   = 0 функцию.

Здесь О (0;0) является специальная точка и  ;  .

Параболы соприкасаются в точке (0;0).

Рисунок 3. Выбор образующейся для определения поверхности скорлупы абрикосовых косточек

5) Пусть (1) задано в следующем виде:

Исследуем эту функцию

1)   решая систему, получаем точку (0;0)

2)  

Итак, и  

отсюда таким образом, 0x является касательной

отсюда                     (I)

                       (II)

Исследуем интервал (0;1) и получаем график:

Рисунок 4. Выбор направляющей кривой

Если построить график функции то получаем:

Рисунок 5. Определении специальных точек

Это и есть осесимметрическое сечение скорлупы косточки в эталонном виде.

Таким образом, формулу сечении скорлупы косточки в эталонном виде можно записать в следующем виде;

.

Меридианом скорлупы косточки вращения могут служить не только параболы, но и другие плоские кривые, например эллипс, гипербола, циссоида, строфоида, астроида и другие.

Пологость скорлупы косточек вращения типа (рис. 1) оценивается отнощением выпухлости косточки к радиусу сечения скорлупы (рис. 3).

Рисунок 6. Скорлупа абрикосовых косточек как поверхность вращения

Таким образом, во-первых, мы имеем аналитическую запись скорлупы косточки, которая отвечает всем требованиям пищевого промышленности уравнения трансляционной поверхности (скорлупы косточки) в декартовых координатах:

                                                                 (1)

где – уравнение направляющей в плоскости , а (y) – уравнение образующей в координатой плоскости  Поскольку оба слагаемых в правой части уравнения (1) совершенно равноправны, направляющую кривую можно считать образующей, и наоборот.

Примером трансляционной поверхности может служить эллиптический параболоид (рис. 4), образованный параллелным перенесом квадратной параболы по квадратной параболе. Такая поверхность описывается уравнением:

                                                                    (2)

Рисунок 7. Трансляционная поверхность для образования оболочек абрикосовых косточек

Здесь 2а и 2b – размеры скорлупы косточек,  и  – ширина и длина скорлупы косточек обеих парабол.

Пологость скорлупы косточек (2) характеризуется отношением полной ширины подъема к меньшему подъему. Так как полная ширина подъема  слагается из суммы  и , то:

                                                    (3)

Здесь скорлупы косточек считаются пологими при .

Все перечисленные поверхности являются строго выпуклыми, то есть в любой их точке гауссова кривизна .

Иногда встречаются поверхности знакопеременной кривизны (рис. 1.1). примером может служить скорлупа косточки, уравнение срединной поверхности имеет следующий вид:

                                  (4)

Это же поверхность четвертого порядка (рис. 4).

Поверхность (4) не является строго выпуклой потому, что именно вблизи углов участки с отрицательной гауссовой кривизной.

Во-вторых, методы расчета упругой скорлупы косточек весьма чувствительны к нарушению регулярности, которые чрезвычайно осложняют задачу. Методы предельного анализа на основе теории линии текучести не делают различия между гладкими и негладкими скорлупами косточек. В рамках теории предельного равновесия удается поэтому получать решения для скорлупы косточек, срединная поверхность который образована гладким и негладким сопряжением участков различных поверхностей, имеющих переломы и разрывы (переломы и разрывы эталонных скорлуп косточек).

Список литературы:

1. Ахмедов Ю.Х., Бадиев М.М. Конструирование гиперсети с использованием метода конечных разностей // Международная научная онлайн-конференция «Актуальные проблемы инновационного сотрудничества в повышении качества высшего образования» (г. Навои, 27 мая 2020 г.). – С. 123–128.
2. Ахмедов Ю.Х., Бадиев М.М. Построение теней многогранников // Актуальные вызовы современной науки. XLIX Международная научная конференция (24–26 мая 2020 г.): сборник научных трудов. Вып. 5 (49), ч. 1. – Переяслав, 2020. – С. 196–205.
3. Ахмедов Ю.Х., Тошев И.И., Атауллаев Ш.Н. Геометрическое моделирование шарошек буровых долот с использованием сапр.
4. Рассказов А.О., Дехтярь А.С. Предельное равновесие оболочек. – Киев : Выша школа, 1978. – 152 с.
5. Urinov Sh.Kh. Constructing the Shadows of Polyhedronshttp / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: ijeais.org/wp-content/uploads/2021/1/IJEAIS210128.pdf.
6. Urinov Sh.Kh. Graphical Actions.