Сингулярные сопряжения распределения для отображений окружности

АННОТАЦИЯ

В этом работе изучается сопряжения между критическим отображением окружности с одной точкой излома. Мы также можем видеть, что мы идентифицируем аспекты отображения через отдельные совместные пары распределения.

ABSTRACT

In this paper, we study the conjugation between the critical mapping and the mapping of a circle with one breakpoint. We can also see that we are identifying aspects of the display through separate joint distribution pairs.

Ключевые cлова: гомеоморфизмов окружности, времени попадания,   число вращения.

Keywords: circle homeomorphisms, hit time, rotation number.

Классификация гомеоморфизмов окружности является важной проблемой в теории одномерных отображений. Первый фундаментаьный результат в этом напралении принадлежит А. Данжуа (см. [Де]). Классическая теорема Данжуа утверждает, что  диффеоморфизм окружности  с иррационалным числом вращения  топологически эквивалентен линейному повороту  т.е. существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм  такой, что  Хорошо известно, что всякий гомеоморфизм окружности  с иррациональным числом вращения строго эргодичен т.е. обладает единственной вероятностной мерой  Замечательном фактом является то, что сопряжение  между  и  можно определить при помощи инвариантной меры   где точка  фиксирована. Последнее соотнощение показывает, что сопряжение  единственно, с точностью до аддитивной константы. Таким образом,  является функцией распределения для инвариантной меры  Вопрос о гладкости сопряжения  и проблема об абсолютной непрерывности инвариантной меры  тесно связаны [1, 2].

Проблема гладкости для класса диффеоморфизмов окружности сопряжения хорошо изучена (см. [Ap], [], [Эр.], [], [Sin.Kh], [KO]). Для  гладких диффеоморфизмов окружности  с типичным иррациональным числом вращения  вероятностная инвариантная мера  является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега на окружности ([CX], [KO]).

Естественным обобщением диффеоморфизмов является гладкие гомеоморфизмы с критической точкой или с изломами [3, 4].

Определение 1. Точка  называется неплоской критической точкой гомеморфизма  порядка  если в некоторой  окрестности  точки , функция  и    

 называется критическим отображением, если оно обладает единственной неплоской критической точкой нечетного порядка. Типичным примером критического отображение Арнольда [3]

Йоккоз показал, что критическое отображение  с иррациональным числом вращения  топологически эквивалентен линейному повороту  Грачек и Свентек доказали, что сопряжение  между  критическим отображением  и  является сингулярной функцией т.е.  п.в. (по мере Лебега ) на  Следовательно инвариантная мера  критического отображения сингулярная относительно меры Лебега  на

Множество всех критических отображений с неплоской критической точкой  порядка  и с иррациональным числом вращения  обозначим через   

Проблема гладкости сопряжения  между двумя отображениями  называется проблемой жёскости (ПЖ).

ПЖ для критических отображений окружности изучена в работах де Мело и де Фария, Д.Хмелёвым и М.Ямпольским, К.Ханиным и А.Теплинским. Доказано, что если  и число вращения  является иррациональным “ограниченного типа” (т.е. элементы разложения  в непрерывную дробь ограничены в совокупности) то сопряжение  между  и  принадлежит  

Другим простейщим классом гомеоморфизмов окружности с особенностями являются гомеоморфизм окружности с изломами. Точка  называется точкой излома  если существуют конечные односторонные производные  и они не совпадают, число  называется величиной излома и является инвариантным при гладкой замены переменной. В работе А.Джалилова и К.Ханина [Дж Хан] доказано, что инвариантная мера гомеоморфизма  c иррациональным числом вращения является сингулярной относительно мера Лебега  на окружности

ПЖ для гомеоморфизмов с одной точкой излома изучен в работах Теплинского и Ханина [Теп Хан] и др.

Пусть гомеоморфизмы  имеют одну точку излома   и  В работе [Кон Хан] доказано, что для типичных иррациональных чисел вращения  сопряжение  является  дифеморфизмом [3, 4].

Обозначим через  множество всех гомеоморфизмов с одной точкой излома

В настоящей работе изучается сопряжения между критическим  отображением окружности с одной точкой излома [5].

Теорема 1. Пусть   иррациональное число,  и  Предположим, чтот гомеоморфизмы окружности  и  удовлетворяют следующим условиям:

(а)  при некотором  и

(в)  при некотором

Тогда сопрягающий гомеоморфизм  между  и  является сингулярным т.е.  п.в. (по мере Лебега) на окружности

Замечание 1. Утверждение теоремы 1 имеет место для критических отображений  с несколькими неплоскими критическими точками лежащими на одной орбиты и для кусочно- гладких гомеоморфизмов  с несколькими точками излома, с тем же иррациональным числом вращения

Теперь при помощи сопряжения  определим вероятностную меру  на отрезке  Пусть  Положим

                                                               (1)

Применяя теорему Картеодеори [Кар]  можно продолжить на алгебру В-борелевских подмножеств отрезка

Теорема 2. Пусть критическое отображение  и отображение с одной точкой излома  удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда вероятностная мера  порождённая сопряжением  между  и , является сингулярной относительно меры Лебега  на

Рассмотрим гомеоморфизм с одной точкой излома , величиной излома  и иррациональным числом вращения  Хорошо известно [Хан], что любое иррацинальное число  однозначно разлагается в бесконечную непрерывную дробь

Где  Иррациональное число  называется иррациональным числом “ограниченного типа”, если последовательность элементов  ограничена. Отметим, что гомеоморфизм  с изломами в точках  и удовлетворяющему условию  с иррациональным числом вращения  топологически эквивалентен линейному повороту  т.е.

Напомним, что  Теперь определим две важныеи функции  и  на окружности, характеризующие инвариантную меру  

функции  и  называются соответственно нижным и верхным показателями сингулярности инвариантной меры

Заметим, что любой гомеоморфизм окружности  с иррациональным числом вращения является эргодическим т.е. любое  инвариантное подмножество  т.е.  имеет  меру 0 или 1. Кроме того, если гомеоморфизм  с конечным числом изломов удовлетворяет условиям теоремы Данжуа, то он является эргодическим меры Лебега

Легко убедиться, что обе функции  и  являются  инвариантными т.е.  и  для  Отсюда, а также из эргодичности  относительно вероятностных мер и  следует, что обе эти функции являются почти постоянными по мере и  Эти постоянные обозначим  и  соответственно.

Теорема 3. Пусть гомеоморфизм с одной точкой излома на  Предположим, что число вращения  является иррациональным “ограниченного типа”. Тогда

(а)

(в)

Отметим, что аналогичное утверждение для гомеоморфизмов с одной точкой излома  было доказано в работе [Дж].

Список литературы:

1. Корнфельд И.П., Синай Г.Я., Фомин С.В.: Эргодическая теория. – М.: Наука,  1980.
2. Katok A., Hasselblatt B.: Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
3. Khanin K.M., Vul E.B.: Circle homeomorphisms with weak discontinuities, Advances in Soviet Mathematics.- №(3),  pp.57-98,  1991.
4. Herman M.: Measure de nombre de rotation, Geometry and Topology. Lecture Notes in Mathematics, Berlin, Heidelberg, New York,: Springer., 597, 271-293,  1977.
5. Swiatek G.: Rational rotation number for maps of the circle, Comm.Math. Phys.- №119(1).- рр.109-128, 1988.