ОПЫТ ПРЕПОДАВАНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССАХ

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлен опыт преподавания комплексных чисел в классах с углубленным изучением математики. Рекомендуется рассматривать данную тему в начале десятого класса, так как полученный опыт будет являться пропедевтикой к другим разделам курса математики в старших классах. Комплексные числа существенно облегчают решение более сложных задач профильной математики, повышают интерес учащихся к изучаемой дисциплине, направляют мышление учащихся на поиск решения, дают твердое понимание того, что математические формулы не живут обособленной жизнью, их применяют в разных областях науки и техники, они востребованы для объяснений иногда даже таких сложных понятий, как время и пространство.

ABSTRACT

In this article I share my experience of teaching complex numbers in advanced mathematics classes. I think it is correct to consider this topic at the beginning of the tenth grade; the experience gained will serve as a propaedeutic to other sections of the mathematics course in high school. Complex numbers significantly facilitate the solution of more complex problems in specialized mathematics, increase students’ interest in the discipline being studied, direct students’ thinking to find solutions, and give a firm understanding that mathematical formulas do not live a separate life, they are used in various fields of science and technology, and are in demand for explanations sometimes even such complex concepts as time and space.

Ключевые слова: комплексные числа, методика преподавания курса алгебры в старших классах, применение комплексных чисел, Леонард Эйлер, компьютерная алгебра, тригонометрия, векторы, критическое мышление, мнимое время, физика и комплексные числа, операции над числами, уравнение, множество действительных чисел, функция.

Keywords: complex numbers, teaching methods for high school algebra, applications of complex numbers, Leonhard Euler, computer algebra, trigonometry, vectors, critical thinking, imaginary time, physics and complex numbers, operations on numbers, equation, set of real numbers, function.

Очень часто данная тема изучается в конце курса алгебры 11 класса, так как включает в себя знания по таким разделам как «Векторы», «Тригонометрия». Рекомендуется рассматривать комплексные числа в начале 10 класса, так как приобретаемый опыт можно будет обобщить пропедевтикой к упомянутым разделам математики. Осознавая, что числа являются двухмерными, повышается огромный интерес к ним, ведь переход к более сложному измерению всегда является для нас стимулом, так как это более приближенно к нашему третьему измерению. Проблема еще состоит в том, что данная тема не входит в основную часть базового и профильного уровня ЕГЭ по математике, следовательно, пропускается из-за нехватки часов для более качественной подготовки к экзамену. В университете же на первом курсе по электротехнике и электронике появляются задачи именно с применением комплексных чисел. Студентам приходится самостоятельно осваивать данный раздел, часто не углубляясь в основные понятия, так как имеется огромное количество программ, которые позволяют производить операции с комплексными числами. Студент получает ответ, но не задумывается над природой комплексных чисел. А ведь комплексные числа применяются и в сжатии данных, в обработке и шифровании информации, в алгоритмах прогнозирования, в теории графов и машинном обучении. Комплексные числа существенно облегчают решение более сложных задач во второй части профильной математики.

Самый первый шаг в изучении данной темы следует начать с повторения множества всех действительных чисел. После перейти к новой операции: умножить число или вектор на мнимую единицу. На этом этапе появляется огромный класс задач, позволяющих применять данную операцию в математических задачах. Здесь формируется такое важное понимание мнимой единицы: мнимая единица не является выдуманной, ее существование вполне реальное. И важно еще к этому пониманию привести через историю развития науки, показать поэтапно развитие идеи комплексного числа в истории развития математики. Это позволит учащимся получить определенные переживания, способные открыть эти числа для себя с другого ракурса. Каждый их по-разному откроет для себя, но это обязательно должно произойти, а роль учителя и состоит в том, чтобы ученику помочь в этом процессе.

Научившись работать с алгебраической формой записи комплексного числа, важно выделить геометрический смысл таких операций как сложение и умножение. На этом этапе изучения темы появляется возможность повторить задачи, для решения которых рассматриваются действия с векторными величинами. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. В физике встречаются немало важных величин, являющихся векторами, например сила, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность. Поэтому такой подход будет полезным и как вспомогательный момент для изучения других смежных дисциплин. Переход к геометрической форме записи комплексного числа лучше начать с единичной окружности. В практической деятельности автор на несколько уроков забывал про комплексные числа, и погружал учащихся в изучение тригонометрии. Научившись работать с единичной окружностью, учащиеся переходили к решению простейших тригонометрических уравнений. И здесь есть интересный момент: ученики понимали, что тема тригонометрия еще всерьез не началась, полученные знания им нужны для темы комплексные числа, поэтому у них не было особого страха перед этой темой, им она еще не успела наскучить, есть достаточно времени для освоения данного материала. На уроках допускается пользоваться развернутой таблицей значений тригонометрических функций от нуля до 360 градусов.

Изучая преобразование комплексного числа в тригонометрический вид, полученные знания из раздела «Тригонометрия» стали востребованными, все меньше учащиеся стали пользоваться вспомогательной таблицей: постоянное вращение вектора в комплексной плоскости позволило визуализировать единичную окружность и самостоятельно находить правильное значение тригонометрических функций. Для удачного такого опыта использовалось много игровых моментов: каждое комплексное число отмечалось на плоскости мультипликационным персонажем, необходимо было определить их адрес, то есть присвоить алгебраическую, показательную и тригонометрическую форму записи. В рамках игры это действие означало спасти героя, присвоив ему правильный адрес, соответствующий координате комплексного числа. По мнению автора самое красивое задание, решаемое в изучаемой теме, - извлечение арифметического корня из комплексного числа. Во-первых, появляются очень красивые многоугольники, вписанные в окружность. Есть возможность еще раз увидеть, что решение тригонометрических уравнений – это не нахождение одного или двух корней, а поиск именно серий решений, удовлетворяющих определенным условиям. Здесь и вводится понятие обратных тригонометрических функций, работа с которыми всегда раньше вызывала огромную сложность.

Изучая математику, нельзя не затрагивать красоту природы. Ведь природа написана на языке формул и уравнений. В процессе занятий учащиеся получают представление о фракталах Мандельброта, ведь именно комплексные числа вдохнули жизнь фрактальной геометрии. И в качестве одной из домашних работ дается задание поработать с программой, где можно самому выбрать определенную последовательность комплексных чисел и получить свой индивидуальный созданный фрактал. Здесь нельзя отметить, что это очень повышает интерес к математике, скорей всего создает много вопросов, это будоражит воображение учащихся. Ведь они столкнулись с вечностью и неопределенностью, а именно это всегда нас пугает, но способно перевести наше мышление на более высокий уровень, более сложный, аналогично тому, как мы преобразовали одномерные числа в двухмерные. Изучая показательный вид записи комплексных чисел, мы знакомимся с числом е. И здесь рекомендуется познакомить учащихся более подробно с данной константой. Ввести понятие трансцендентных чисел, поговорить о втором замечательном пределе, об экспоненциальном росте определенных величин, логарифме и теории вероятности. Безусловно, каждый аспект данного вопроса будет изучаться очень подробно и систематически, но такой подход позволит увидеть востребованность трансцендентного числа е в математических операциях. Очень часто работая с выпускниками старшей школы, можно слышать такие вопросы: что такое число е? Ученики хорошо запоминали производную экспоненциальной функции, и на этом заканчивалось все понимание числа Эйлера.

В завершение изучения темы «Комплексные числа» важно показать их практическое применение в задачах по геометрии, физике и химии. В качестве примера решим задачу, в которой необходимо найти величину и направление результирующей силы. F1=15 H, угол к горизонту составляет 45 градусов, F2=10 H, угол к горизонту составляет 60 градусов, F3=15 H, угол к горизонту составляет 120 градусов. Представим силу F₁=15(cos45°+isin45°), F₂=10(cos60°+isin60°), F₃=15(cos120°+isin120°). Тогда результирующая сила будет равна F=8.106+i32.256. Модуль равен 33,26H, аргумент равен 76°.

В последнее время создано большое количество математических пакетов, таких как MatLab, Mathcad, Maple. Они образуют новую отрасль в математике – компьютерную алгебру. Использование таких математических программ позволяет освободить учащихся от рутинной работы, повышает компьютерную грамотность, стимулирует познавательную деятельность, учащиеся лишаются страха при работе с большим объемом информации, вырабатываются устойчивые навыки, направленные на практическую реализацию математической идеи. Поэтому завершение изучения данной темы представлено практической работой, в которой необходимо обработать список комплексных чисел с помощью математических пакетов. Стоит отметить, что в программе Mathcad используется естественный математический язык, что облегчает ее использование на уроке и дома.

Важно уточнить, что учебный процесс преподавания каждой темы по математике требует межпредметных связей с физикой, так как эти две науки не могут существовать изолированно друг от друга. Такой подход реализует одновременно высокие достижения в этих областях, формирует критическое и логическое мышление учащихся, способствует пониманию единства законов природы. Одновременно с помощью межпредметных связей можно повысить интерес к отдельным темам, изучаемым в курсе алгебры. В книге Стивена Хокинга «Три книги о пространстве и времени» разбирается вопрос мнимого времени. Великий ученый нашего времени предполагает, что время не идет только в одном направлении, оно способно идти без проблем и в другую сторону. Для него время представляется как обычная координата. И свою идею он выражает в формулах, где используются комплексные числа. По этой причине очень полезно познакомить учащихся с книгами таких авторов, как Стивен Хокинг, Митио Каку, Ричард Мюллер. Это способно повысить интерес к обучению в целом, направляет мышление учащихся на поиск решения, дает твердое понимание того, что математические формулы не живут обособленной жизнью, их применяют в разных областях науки и техники, востребованы для объяснений иногда даже таких сложных понятий, как время и пространство. Многие математики имеют ясное мнение, что уравнение не имеет смысла, если не выражает смысл Бога. Именно такой подход является правильным в системе обучения: научить учащихся видеть смысл операций над числами, уравнениями и функциями.

Безусловно, для приобретения навыков работы с комплексными числами не избежать рутинной работы, поэтому еще несколько уроков посвящаются практическим заданиям на все действия с числами, очень ценны задания, в которых учащийся самостоятельно определяет в какой форме лучше оставить записанное комплексное число. Организованная работа в парах способна дополнительно мотивировать обучающихся к деятельности, гармонично сочетать на уроке не только обучение, но и воспитание, умение работать в группе и выстраивать правильные деловые отношения. После приобретения необходимых навыков по изучаемой теме можно переходить к следующим разделам курса алгебры и начала анализа, быть уверенным в том, что для этого уже подготовлена твердая почва. Ведь учащиеся уже с легкостью будут воспринимать тригонометрию и работу с векторами. А если использовать метод опережающего обучения в теме «комплексные числа», то можно представить действительную или мнимую часть числа не только с помощью тригонометрических функций, в арсенале учителя имеются и другие функции, такие как логарифмическая, показательная, иррациональная. Тогда изучение данных разделов математики пройдет тоже с необычайной легкостью.  Автор работы завершил данную тему выездной экскурсией в музей «Некрополь Александро-невской лавры» в городе Санкт-Петербург, где вместе с учащимися класса  посетили место погребение наивеличайшего математика 18 века Леонарда Эйлера. Использование образовательного потенциала музея помогает достичь метапредметных результатов в соответствии с требованиями ФГОС среднего общего образования. Музей не только расширяет и углубляет знания, но и формирует личность.

«Именно математика даёт надежнейшие правила: тому, кто им следует — тому не опасен обман чувств.» —  Леонард Эйлер

Список литературы:

1. Авдеева А.А. История возникновения комплексных чисел и их влияние на развитие математики / А.А. Авдеева, И.Н. Росляков, Л.И. Рослякова // Молодежь и XXI век. – Курск: Юго-Зап. гос. ун-т., ЗАО «Университетская книга». – 2016. – С. 47-49.
2. Боженов Л.И. Введение понятия комплексных чисел при обучении учащихся классов естественно-математического профиля курсу алгебры и началам математического анализа / Л.И. Боженова, Д.В. Капитонов // Проблемы и перспективы физико-математического и технического образования. – 2014. – С. 84-95.
3. Изучение комплексных чисел в общеобразовательной школе [Статья] / авт. Жмурова И. Ю. Баринова С. В. // "Молодой ученый". - Январь 2020 г.. - стр. 312-314.
4. Шеховцова Д.Н. Использование компьютерных технологий для визуализации математического знания // Вест. Томского гос. Пед.ун-та.-  2010. Вып. 10(100). С.99-103.
5. Секованов В.С. Методическая система формирования креативности студентов университета в процессе обучения фрактальной геометрии. Костром.гос.ун.-т. Из-во КГУ, 2006. – С. 279.
6. Джанабердиева С.А. Занимательные методы преподавания математики//Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований, 2014. – С. 92-100.