АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГОМЕОМОРФИЗМЫ ОКРУЖНОСТИ С ИЗЛОМАМИ

АННОТАЦИЯ

В работе  изучаются связи между кусочно-гладкими гомеоморфизмами окружности  с иррациональным числом вращения  точками излома  и ,  величинами изломов  и  инвариантной мерой  Доказана теорема 1 о том, что для каждого такого гомеоморфизма можно построить топологически эквивалентное, кусочно-линейное отображение Эрмана  с двумя изломами ,  с теми же величинами изломов и числом вращения

ABSTRACT

The paper studies the connections between piecewise smooth homeomorphisms of the circle  with the irrational rotation number  the break points  and , the break values ​​and  and the invariant measure

Theorem 1 is proved that for each such homeomorphism it is possible to construct a topologically equivalent, piecewise linear Herman map  with two breaks , with the same values ​​of breaks and rotation number

Ключевые слова: гомеоморфизм, окружность, кусочно-гладкий, инвариантная, сопрягающий, излом, мера.

Keywords: homeomorphism, circle, piecewise smooth, invariant, conjugate, kink, measure.

В этом работе мы изучаем связь между кусочно-гладким гомеоморфизмом с двумя изломами и отображением Эрмана с одинаковым иррациональным числом вращения.  М. Эрман в своей фундаментальной работе [1] исследовал семейство кусочно-линейных гомеоморфизмов окружности с двумя изломами. Для таких гомеоморфизмов он изучил, в частности, их инвариантные меры и сопрягающие отображения.Рассмотрим действительных числа  и  Определим кусочно-линейное отображение  отрезка  на себя по формуле

Рисунок 1. Отображение  Эрмана  при  и

здесь число  определяется из соотношения Теперь при помощи  определим однопараметрическое семейство гомеоморфизмов окружности

                         (1)

где параметр                                             

Семейство отображений  называется семейством

Эрмана. А каждое отображение из этого семейства называется отображением Эрмана. Для фиксированных  и  обозначим через  число вращения гомеоморфизма

При фиксированных  и  числа вращения  является непрерывной и возрастающий функцией от параметра  Отсюда следует, что для каждого числа  существует единственное  такое, что

Теперь сформулируем основной результат нашей работы о существовании отображения Эрмана топологически эквивалентного кусочно-нелинейному отображению окружности.

Теорема 1. [3],[4] Рассмотрим  гомеоморфизм окружности  с иррациональным числом вращения  точками изломов  , величинами изломов  и инвариантной мерой  Тогда существует кусочно-линейное (КЛ) отображение Эрмана  с изломами в точках такое, что

1)    ;           

(2)

(3) и

(4) существует сопряжение  между  и  такое что

Доказательство теоремы. При доказательстве теоремы мы используем следующие утверждения доказанные в работе Эрмана (см. [2]). Рассмотрим отображение Эрмана  с изломами  в точках  и

Сформулируем две важные леммы, доказанные в работе М. Эрмана.  

Лемма 1. (см. [2]).  Для каждого имеет место равенство

                      (2)

Лемма 2. (см. [2]). Пусть  инвариантная мера гомеоморфизма  с двумя точками излома  и иррациональным числом вращения . Тогда 

                                    (3)

Здесь и в дальнейшем через  и  обозначим левую и правую производную  в точке  соответственно. Пусть  является гомеоморфизмом окружности с иррациональным числом вращения  и изломами в точках  и  Кроме того,

Очевидно, что произведение величин изломов 

Теперь мы определим КЛ- отображение Эрмана с изломами в точках  и   Определим параметры искомого отображения Эрмана.

Шаг-I. Сначала определим параметр  из соотношения  Отсюда следует, что  .

Шаг-II. Определим второй параметр  из соотношения 

Откуда получаем:    Определим отображение  :

Шаг-III. Теперь определим число  из соотношения  .

Решая последнее уравнение найдем  . Легко можно проверить, что число  определяемое, из последнего соотношения при любом  принадлежит интервалу

Используя полученные значения параметров определим начальную функцию Эрмана по формуле:

Введем семейство отображений окружности Эрмана

где параметр  Существует значение параметра  такое, что

. Положим . Поскольку  удовлетворяет условиям теоремы Данжуа и числа вращения  и  совпадают, то существует сопряжение  между  и . По построению инвариантные меры отрезков  и  совпадают, т.е.   Откуда вытекает, что  и . Из построения видно, что такое сопряжение единственно.

Список литературы:

1. Herman M.  Sur la conjugaison differentiable des diffeomorphismes du cercle a des rotations. Publications Mathematiques de IHES. —1979. Tome 49. —P. 5-233.
2. Moser J. A rapid convergent iteration method and non-linear differential   equations II // Ann. Scuola. Norm. Sup-Pisa. —1966. — №20 (3). — P.499-535.
3. Dzhalilov A., Mayer D., Djalilov S., Aliyev A. // An Extension of Herman’s Theorem for Nonlinear Circle Maps with Two Breaks.  Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2018, vol. 14, no. 4, pp. 553-577. (Scopus IF=0,34).
4. Djalilov Sh. Conjugations between two circle maps with one singularity point. // Uzbek Mathematical Journal, 2020.  №3, pp.56-69.