Определение толщины лопасти ботвоприжимного битера картофелеуборочных машин

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается вопрос определения толщины лопасти битера при взаимодействии с прутками ботвоудаляющего транспортера и заключение о целесообразности применения нового рабочего органа для отделения клубней картофеля от ботвы.

ABSTRACT

The article considers the issue of determining the thickness of the beater blade when interacting with the rods of the topper-removing conveyor and the conclusion on the advisability of using a new working body to separate potato tubers from the tops.

Ключевые слова: лопасть, консольная балка, ботвоудаляющий транспортер, прутки, гибкость.

Keywords: blade, cantilever beam, haulm conveyor, rods, flexibility.

Рассмотрим лопасть как консольную балку (рис.1), один конец которой жестко закреплен, а на свободный конец приложена сила прижатия N и сила трения F [4]. Результирующая этих сил равна

.

Рисунок 1. Расчетная схема изгиба лопасти

Дифференциальное уравнение изогнутой оси лопасти имеет следующий вид [3].

                                                                     (1)

где l_л – полная длина осевой линии лопасти битера, м;

s – длина дуги упругой линии в точке М,  отсчитанная от О, м,

                                                                              (2)

                                                                                 (3)

где Н=ЕI-изгибная жесткость поперечного сечения лопасти, Нм²;

Е – модуль упругости материала лопасти, Па;

I – момент инерции поперечного сечения лопасти, м⁴;

t – угол наклона касательной, проведенной к изогнутой оси

в точке Т к оси X;

d – угол наклона силы P к оси Х.

В уравнении (1) величины l_л, b и d являются постоянными и известными .

Для решения уравнения (1), примем

                                                                                (4)

С учетом этого уравнения (1) будет иметь следующий вид.

                                                                    (5)

Перейдя к половинному аргументу и умножив обе части уравнения (5) на соответствующие части следующего тождества (справедливость его вытекает из (4))

                                                                                    (6)

получим

                                                          (7)

Интегрируя это уравнение, получим

                                                                   (8)

где С–произвольная постоянная.

Определив С=4b²D и приняв во внимание уравнение (8), получим

                                                                    (9)

Из условия действительности величины de/ds из уравнения (9) следует, что

                                                                                 (10)

Здесь возможно следующие два случая

                                                                               (11)

и

.                                                                               (12)  

Решение уравнения (9) в каждом из этих случаев будут различны и при рассмотрении конкретной задачи заранее определится, к какому случаю она относится. Рассматриваемая нами задача относится к первому случаю [5] и для решения уравнения (10) с учетом условия (11) можем ввести следующие обозначения

D = к²                                                                                        (13)

и

                                                                    (14)

где к = const

y – новая искомая переменная, вместо угла e.

         .                                                               (15)

С учетом (13) и (14) уравнение (9) принимает следующий вид

                                                             (16)

Продифференцировав уравнения (14) по S и решая его относительно , получим  [5].

                                                              (17)

Подставляя это значения de/ds в (16) и принимая во внимание (14), имеем 

                                                           (18)

Интегрирование этого уравнения от начальной точки 0 (s = 0; y  = y₀ ) до произвольной точки М (s, y), даёт

                                                               (19)

где F(y)  и   F(y₀) - эллиптические интегралы первого рода

                                                        (20)

                                                            (21)

Здесь постоянная к называется модулем, а переменная y – амплитудой эллиптического  интеграла.

Для конца лопасти S =l_л  и  y=y_L. Подставляя эти значения S  и  y  в (19), получим

                                                                        (22)

Далее находим уравнение изогнутой оси лопасти в системе координат ХОУ. Для этого введем дополнительную систему координат Х¢ОУ¢, ориентированную по направлению силы Р, приложенной в начальной точке О (рис.1). Из схемы, приведенный на рис.1, имеем

              (23)

               (24)

С учетом (15) и (18) эти уравнения перепишем в следующем виде

                                                           (25)

и

                                                            (26)

Интегрирование этих уравнений дает

                                                             (27)

и

                                                          (28)

где      Е (y) и Е(y₀) -  эллиптические интегралы второго рода;

                                                                   (29)

и

                                                           (30)

Теперь перехожу от дополнительной системы координат к первоначальной системы координат ХОУ.

                                                                   (31)

                                                                    (32)

Подставляя в (31) и (32) выше найденные значения X^/ и У^/, получим

,      (33)

.        (34)

Для концевой точки лопасти эти уравнения будут иметь вид

    (35)

. (36) 

По этим формулам мы можем определить координаты концевой точки лопасти, если известны эллиптические параметры к, y₀  и y_L.

Для определения к, y₀ и y_L воспользуемся следующими данными.

1. Для начальной точки О y = y₀ и t = 0,  а следовательно согласно (3) и (15)

                                                                           (37)

2. Учитывая, что

                                                                             (38)

по (37), получим

                                                                          (39)

где М – изгибающей момент в рассматриваемом сечении лопасти.

Для концевой точки лопасти М = 0, а следовательно

                                                                             (40)

Откуда

                                                                                   (41)

3. Третьим уравнением для определения эллиптических параметров является выражение (28), которое с учетом (41) имеет вид

где  - полный эллиптический интеграл первого рода.

Таким образом мы получили следующие три уравнения для определения значений эллиптических параметров к,  и 

;                                                                             (42)

;                                                                                   (43)

.                                                                          (44)

Одно из искомых неизвестных   определяется из (43), два других неизвестных к и из (42) и (44) путем подбора. Для этого по таблицам эллиптических интегралов [1] находится значение к, F(к) и F() в зависимости от угла a (где угол a связан с к уравнением к=sina).

Придавая  a  некоторые значения, находим соответствующие ему углы  y₀    согласно выражению

                                                                       (45)

откуда

                                                                       (46)

По выбранным углам a  и из таблицы эллиптических интегралов [1]    находим значения F(к) и F(). Затем изменяя угол a, а следовательно и , добиваемся того, чтобы разность F(к)  и F() была равна b.

Подставляя найденные значения к и  в  (36) и (37)  определяем координаты   и  У_L   концевой точки лопасти.

Учитывая, что для нашего случая  и (где -угол трения материала лопасти по ботве), выражения (37) и (38) будут имеет следующий вид [2].

    (47)

и

        (48)

где   –  полный эллиптический интеграл второго рода.

Из анализа зависимостей (45) и (46) следует, что прогиб лопасти битера при взаимодействии с прутками ботвоудаляющего транспортера зависит от ее длины, свойства материала из которого изготовлены лопасти (Е и j_л), формы и размеров их поперечного сечения, направления и величины возникающих сил [5].

Определим напряжение, возникающее в заделке лопасти [3]

                                                                    (49)

w₀ = 2кcosy₀;                                                                                  (50)

где:

h_л – толщина лопасти, м;

E – модуль упругости материала лопасти, Па;

С учетом (2) и (50),а также то, что H = EJ (где J – момент инерции поперечного сечения лопасти),  а  J= B_лh³_л /12  выражение (49) будет иметь следующий вид

                                                         (51)

Пользуясь этой формулой можно определить толщину лопасти, т.е.

,                                                            (52)

где [s] – допускаемое напряжение, МПа.

Расчеты, проведенные по формуле (52) при [s] = 7 МПа, E=200 MПа, =800H, j_л=30⁰, B_л =1м, к=0,82 и y₀ = 54⁰   показали, что толщина лопасти должна быть не менее 9,2 мм.

Список литературы:
1. Отаханов Б.С., Пайзиев Г.К., Хожиев Б.Р. Варианты воздействия рабочего органа ротационной машины на почвенные глыбы и комки. М.: «Научная жизнь», 2014. №2 стр. 75-78
2. Петров Г.Д. Картофелеуборочные машины. 2-изд., переработ. и доп. М.: Машиностроение, 1984. -320 с.
3. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М.: Наука, 1986. -294с.
4. Сорокин А.А., Пайзиев Г.К. Ботвоудаляющиее устройство картофелеуборочных машин. Фергана. Научно-технический журнал ФерПИ, 2001. №2 стр. 86-88
5. Шипачев В.С. Высшая математика. -М.: Высшая школа. 1990. -479с.