Компьютерное моделирование процесса конвекции вблизи вертикально расположенного источника

АННОТАЦИЯ

В этой статье моделируется процесс возникновения динамического и температурного пограничных слоев вблизи вертикально расположенного стержня, который является источником тепла. Сформулированная система дифференциальных уравнений в частных производных с граничными условиями, решена численно и алгоритм решения реализован с использованием графической среды DELPHI. Для рисования графиков был использован компонент Сhart. 

ABSTRACT

This article simulates the process of occurrence of dynamic and temperature boundary layers near a vertically located rod, which is a heat source. The formulated system of partial differential equations with boundary conditions is solved numerically and the solution algorithm is implemented using the DELPHI graphical environment.

Ключевые слова: динамический пограничный слой, температурный пограничный слой, источник тепла, математическая модель, теплообмен.

Keywords: dynamic boundary layer, temperature boundary layer, heat source, mathematical model, heat exchange.

Всестороннее исследование процессов тепловой конвекции является весьма актуальной проблемой гидромеханики и теплообмена, поскольку они часто встречаются во многих задачах практики, например, в теплицах, машиностроении, промышленных установках и т.д., которые связаны эффективным (рациональным) использованием энергетических ресурсов, актуальность которых отражается в указах и постановлениях руководства нашей республики [1].

Исследованию таких механизмов посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов. В частности, в [2, 3] рассматривается влияние процессов конвекции при проектировании современных элементов электронной техники, в [4, 5] рассмотрены вопросы конвекции в случае аварийного охлаждения ядерного или химического реакторов.

Сопряженная задача естественной конвекции в частично заполненном жидкостью вертикальном цилиндрическом баке в условиях подвода равномерного теплового потока к внешней стороне боковой стенки и одновременного отвода тепла через локальные стоки, расположенные в боковой стенке бака, проанализированы в работе [6].

Вышеприведенный анализ показывает, что процессы тепловой конвекции нуждается в дальнейшем исследовании. В частности, многие процессы, которые приведены в начале, происходят в вертикально расположенных источниках и в сильно изменяющимся температурном режиме.

В настоящей работе численно исследуется стационарный, ламинарный перенос в слое, примыкающем погруженный в покоящийся окружающий газ в вертикальной поверхности. При этом предполагается, что температура окружающего воздуха постоянно и равна ; температура на поверхности стержня так же поддерживается постоянной температурой равной . Схематическая картина течения показана на рис.1.

Рисунок1. Схематическая картина течения

В процессах тепловой или свободной конвекции, в отличие от вынужденной, течение возникает под действием разности температур. Во внешних свободно-конвективных течениях, которые рассматривается здесь, параметры окружающей среды можно принять постоянными.

При проведении вычислительных экспериментов предполагалось, что теплофизические свойства материала стенок и газа не зависят от температуры, а режим течения является ламинарным.

Рассматриваемый физический процесс математически моделируется на основе уравнении приближении пограничного слоя следующей системой дифференциального уравнения [9-10]:

                                                         (1)

В этих уравнениях неизвестными является:  – продольные и поперечные составляющие скорости; – плотности, Т – абсолютная температура, Е – полная энергия, а также динамический коэффициент вязкости ,  – гидродинамическое число Фруда,  – Число Прандтля – критерий подобия тепловых процессов в жидкостях и газах, учитывающий влияние физических свойств теплоносителя на теплоотдачу[14].

Для замыкания системы дифференциальных уравнений (1) привлекаем следующие алгебраические уравнения:

Полная энергия

;                                                                                      (2)

Уравнение состояния для идеального газа

;                                                                                      (3)

Зависимость коэффициента вязкости газа от температуры представляется формулой Саттерлэнда   [10]

;                                                                             (4)

где:  (для воздуха)

Таким образом, система уравнений (1) с учетом (2) – (4) замыкается.

Граничные условия

Согласно рис. 1 сформулируем граничные условия. В системе координат по оси   расположен неограниченный стержень источник тепла, который имеет фиксированное значение. При тепло и массопереносе вблизи стержня возникает динамические и тепловые пограничные слои. Толшина пограничного слоя раширяется по мере продвижения на верх. Исходя из перечисленных выше, сформулируем граничные условия:

                                                              (5)

Выше изложенная задача решена численно с применением двухслойной, четырехточечной неявной конечно-разностной схемы и методом прогонки с итерацией.

Условие на бесконечность в (5) это граница динамического или теплового пограничного слоя, которой определяется из условия расширения границ во время вычислительного процесса.

При этом на основе составленного алгоритма составлена программа на языке DELPHI. Во время работы программы, результаты выражались в виде графиков, для этого воспользовались компонентом Chart.

На рис.2 приведены появление осевой скорости и расширение динамического пограничного слоя при Pr=0,7. Как видно из рисунка, чем выше по стержню, тем выше скорость.

Рисунок 2. Появление продольной скорости из-за разности температур. . Pr=0,7.   

Повышение температуры источника тепла приводит к возрастанию продольной скорости и сужению пограничного слоя.

На рис. 3. приведена ширина зоны смещения теплового пограничного слоя в зависимости от числа Прандтля. Из рисунка следует, что уменьшение числа Прандтля приводит к увеличению ширины зоны смещения. Известно, что Pr=0,5 соответствует воздуху, Pr=2 соответствует горячей и Pr=10 холодной воде. Таким образом, полученные решения соответствует физике процесса.

Рисунок 3. Зоны смешения теплового пограничного слоя при различных значениях числа Прандтля. 

На рис.4 приведено распределение полной энергии вблизи источника тепла, когда среда является воздухом.  Видно, что по мере продвижения вверх зоны распределения расширяются.       

Рисунок 4.  Расширение зоны полной энергии по оси при Pr=0,5.

Используя уравнения в приближении теории ламинарного пограничного слоя рассчитаны поля скоростей, температур вблизи вертикально расположенного источника тепла. Рассчитаны ширина теплового и динамического пограничных слоев. Результаты компьютерного моделирования с помощью графических средств Delphi представлены в виде графиков. Выявлено, что увеличение числа Прандтля приводит к сужению границы пограничного слоя. Повышение температуры источника тепла приводит к увеличению скорости, направленный на вверх. Таким образом, выбранную модель можно использовать для исследования задач, приведённых в введении.

Список литературы:
1. Dally J.W., Lall P., Suhling J.C. Mechanical design of electronic systems. Knoxville, TN USA: College House Enterprises, LLS, 2008. 664 p.
2. Samadiani E., Joshi Y., Mistree F. The thermal design of a next generation data center: a conceptual exposition. // J. Electron. Packag. 2008. Vol. 130, No. 4. P. 1104−1112.
3. Kim Y.K., Lee K.H., Kim H.R. Cold neutron source at KAERI, Korea // J. Nuclear Engng and Design. 2008. Vol. 238, No. 7. P. 1664−1669.
4. Karthikeyan S., Sundararajan T., Shet U.S.P., Selvaraj P. Effect of turbulent natural convection on sodium pool combustion in the steam generator building of a fast breeder reactor // J. Nuclear Engng and Design. 2009. Vol. 239, No. 12. P. 2992−3002.
5. Rodriguez I., Castro J., Perez-Segarra C.D., Oliva A. Unsteady numerical simulation of the cooling process of vertical storage tanks under laminar natural convection // Inter. J. of Thermal Sci. 2009. Vol. 48, No. 4. P. 708−721.