Корректность начально-краевой задачи для одной системы дифференциальных уравнений параболо-гиперболического типа

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе методами теории дифференциальных уравнений исследуется начально-краевые задачи для одной системы составного типа, состоящей из системы параболического типа в одной области и системы гиперболического типа в другой области, имеющей с первой областью общую границу, и их асимптотические пределы (усредненные уравнения).

ABSTRACT

In this paper, the methods of the theory of differential equations are used to investigate initial boundary value problems for a composite system consisting of a parabolic system in one domain and a hyperbolic system in another domain that shares a boundary with the first domain, and their asymptotic limits (averaged equations).

Ключевые слова: системы параболического типа, гиперболическая система уравнений, усреднения дифференциальных уравнений, сходимости Нгуетсенга, математическое моделирование физиче­ских процессов в подземных грунтах.

Keywords: systems of parabolic type, hyperbolic system of equations, averaging of differential equations, Nguetseng convergence, mathematical modeling of physical processes in underground soils.

В области   рассмотрим нелокальную (по времени) параболическую систему уравнений 

Об определении вектор – функции . Если обозначить через  тензор четвертого ранга с элементами,то рассматриваемую систему уравнений можно записать  в векторной форме

                                                     (1)

Будем предполагать, что

Аналогично, в области    рассмотрим гиперболическую систему уравнений

об определении вектор – функции   

Если через M обозначить тензор четвертого ранга с элементами,    то данную систему уравнений можно записать в векторной форме

                                                            (2)

Как и выше предполагаем, что

                                                          (3)

На общей границе  областей  и   при   выполнены условия согласования

                                                 (4)

В (4)  n - вектор к единичной нормали к границе , а  I - единичная матрица (шаровой тензор).

Задача замыкается однородными граничными условиями на внешней границе    и однородными начальными условиями. Если ввести обозначения  

при при

то эти условия примут вид 

                                                                        (5)

                                                             (6)

Нас будет интересовать поведение решений системы урав­нений (1)-(5) при . Очевидно, что это поведение будет существенно зависеть от поведения тензоров четвертого ранга  и скалярных функций  

Пусть равномерно по всем 

                                                    (7)

                                                          (8)

где - постоянные тензоры четвертого ранга, функции a(x) и b(x) конечны при всех   числа   могут принимать значения из интервала [2].

В настоящей работке мы исследуем случаи, когда

                                                                              (9)

                                                                                   (10)

Определение 1. Пустьесть характеристическая функ­ция области в Ω, то есть при  и  при . Тогда функция

такая, что  

называется обобщенным решением начально-краевой задачи (3)-(6) для системы дифференциальных уравнений (1)-(2), если выполнено интегральное тождество

                       (16)

для всякой гладкой финитной в области Ω  при  0<t<T  функции , равной нулю при  t = T[3].

В (16) положено

Основным  результатом является следующая

Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1 и 2. Тогда у начально - краевой задачи (1) - (6) существует единствен­ное обобщенное решение  u^ε такое, что

                               (17)

где постоянная C не зависит от малого параметра .

Следует отметить, что реше­ние  u^ε начально - краевой задачи (1) - (6) для фиксированно­го m обладает разными дифференциальными свойствами в области  и области. Поэтому центральным моментом здесь является продолжение решения u^ε из области  в об­ласть  и наоборот. Мы воспользуемся результатом, доказан­ным в работе [1]:

существует функция , такая,  что ее суже­ние на  подобласть  совпадает с u^ε , т.е. 

,      

При этом справедливы оценки

,       

в которой постоянная C зависит только от геометрии ячей­ки Y и не зависит от .

Аналогичнo, существует функция    такая, что ее сужение на подобласть совпадает с   , т.е.

При этом справедливы оценки

,      

Показывается, что при  последовательность схо­дится (с точностью до подпоследовательности) слабо в про­странстве к функции u, а последовательность ,  где

сходится слабо и двухмасштабно в пространствек функ­ции 

Основным результатом является

Теорема 2. Пусть выполнены предположения 1 и 2 и

Тогда припоследовательности  и  решений начально- краевой задачи (1)-(6) сходятся (с точностью до подпоследовательностей) слабо в пространстве к функциям  и    соответственно. При этом пре­дельные функции и удовлетворяют усредненной системе дифференциальных уравнений

,                                                                     (18)

,                                                                      (19)

однородному краевому условию

,                                                                                  (20)

на границе    с внешней         единичной нормалью n  и на­чальному условию

                             (21)

В формуле (18) симметричная матрица С(х) строго положительно определена и задается формулой

                                                                   (22)

где e_k, k=1,…,n – стандартный базис декартовой системы координат, а функции V^(k)(y), k=1,…,n eсть решения следующей периодической краевой задачи

                                                                 (23)

,  ,                                                          (24)

Исследуется предельный случай . В этом случае показывается, что при последовательность  сходится (с точностью до подпоследовательности) слабо в пространстве к функции u, последовательность  сходится слабо и двухмасштабно в пространстве  к функции , а последовательность продолжений  сходится слабо в к функции w. Основной результат главы формулируется в следующих утверждениях

Теорема 3. Пусть выполнены предположения 1 и 2 и

Тогда при последовательность  и  решений начально- краевой задачи (1) – (6) сходятся (с точностью до последовательностей), слабо в пространстве   к функциям  и  соответственно, а последовательность продолжений  сходится слабо в  к функции . При этом предельный функции  и  и  удовлетворяют усредненной системе дифференциальных уравнений

,                                              (25)

,                                                    (26)

,                                                             (27)

и однородным краевым условиям  

                                                                             (28)

на границе  с внешней единичной нормалью n.

В уравнениях (25) - (27)

,  

тен­зор четвертого ранга N,  матрицы  D0 (x) и D1(x) и скалярная функция задаются формулами

                                 (29)

                                                                                 (30)

                                                  (31)

                                                              (32)

где функции   есть решения следующих периодических краевых задач

                                              (33)

                                                    (34)

Теорема 4. Пусть выполнены предположения 1 и 2 и

Тогда при  последовательности  и  решений начально - краевой задачи (1)-(6) сходятся (с точностью до подпоследовательностей) слабо в пространстве  к функциями  соответственно. При этом последовательность  сходится двухмасштабно в пространстве к той же самой функции .

Последовательность продолжений сходится слабо в к функции . Предельные функциии  удовлетворяют уравнению (25),  уравнению

                                                               (35)

и однородному краевому условию 

w = 0.                                                                                           (36)

на границе .

Список литературы:
1. Мейрманов А.М. Задача Стефана. – Новосибирск: Наука, 1986.-239 с.
2. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – М: Наука, 1967, - 736 с.
3. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М: Мир, 1968, - 427 с.
4. Акилов Г.П., Канторович Л.В. Функциональный анализ. –М: Наука 1984, - 750 с.
5. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. – Новосибирск: Наука, 1983 – 319 с.