Алгоритмы динамической фильтрации с учетом инерции измерительного устройства

АННОТАЦИЯ

Рассматриваются вопросы формирования и построения устойчивых алгоритмов фильтрации с учетом инерционности измерительного устройства на основе динамических фильтров Колмановского типа. Приводятся различные алгоритмы динамической фильтрации с точки зрения анализа их вычислительной устойчивости. Предлагаются процедуры регуляризации решения уравнения фильтрации на основе метода регуляризации и сингулярного разложения. Предлагаемые алгоритмы позволяют повысить вычислительную устойчивость алгоритмов динамической фильтрации с учетом инерционности измерительного устройства и могут быть использованы в информационно-измерительных системах обработки результатов наблюдений.

ABSTRACT

The problems of the formation and construction of stable filtering algorithms are considered taking into account the inertia of the measuring device based on Kolman type dynamic filters. Various dynamic filtering algorithms are presented in terms of the analysis of their computational stability. Regularization procedures are proposed for solving the filtration equation based on the regularization method and singular decomposition. The proposed algorithms can increase the computational stability of dynamic filtering algorithms taking into account the inertia of the measuring device and can be used in information-measuring systems for processing the results of observations

Ключевые слова: алгоритмы динамической фильтрации, инерционность измерительного устройства, устойчивость, регуляризация, сингулярное разложение.

Keywords: dynamic filtering algorithms, inertia of the measuring device, stability, regularization, singular decomposition.

ВВЕДЕНИЕ

В прикладных задачах часто возникают вопросы синтеза информационно-измерительных систем обработки результатов наблюдений за состоянием динамической системы. Подобные задачи возникают па различных этапах проектирования и наиболее важное значение приобретают при обработке результатов измерений экспериментальных данных.

Рассмотрим вопросы формирования процедуры построения моделей состояния динамических систем и алгоритмов фильтрации с учетом инерционности измерительного устройства [1-3]. Такие случаи наиболее часто возникают в прикладных задачах, когда наблюдаемый сигнал контролируется инерционным измерительным устройством и подвержен воздействию шума измерения. В этих случаях нарушаются общие условия фильтрации, что приводит к необходимости применения способов преобразования векторно-матричных уравнений, описывающих динамику исходной динамической системы и измерительного устройства. Для соблюдения общих условий фильтрации в рассматриваемом случае составляется эквивалентная расширенная динамическая система, содержащая случайный процесс с коррелированными значениями [2-6]. Таким образом, в теории динамической фильтрации и прогнозирования Калмана-Бьюси в частности, представляют гауссовские марковские случайные процессы и случайные последовательности. Практическое использование гауссовских марковских случайных процессов определяется рядом факторов, к которым в первую очередь можно отнести возможность аппроксимации с высокой точностью реальных случайных процессов гауссовскими марковскими процессами; возможность сведения методом линейных преобразований произвольного гауссовского случайного процесса с конечным числом производных к эквивалентному гауссовскому марковскому случайному процессу; целесообразность аппроксимации негауссовских случайных процессов гауссовскими марковскими случайными процессами [3,5,7,8]. Указанные факторы, определяющие широкую распространенность гауссовских марковских случайных процессов, являются наиболее важными в прикладных вопросах построения моделей линейных динамических систем [1,2,5].

Статистическая обработка информации, основанная на теории оптимальной фильтрации Калмана–Бьюси, предполагает техническую реализацию на базе цифровых ЭВМ. В связи с этим большое практическое значение приобретают алгоритмы фильтрации, использующие рекуррентные методы обработки статистической информации. Следовательно, особый интерес в прикладных задачах имеет дискретная оптимальная фильтрация [1,3,5]. Математическое описание дискретных фильтров проводится в рамках разностных или рекуррентных уравнении, которые тесно связаны с дифференциальными уравнениями, составляющими основу классического исследования непрерывных процессов. Разностные уравнения, позволяющие исследовать последовательность состояний дискретных систем, легко реализуются с помощью цифровых ЭВМ, причем дискретный фильтр Калмана определяет только алгоритм обработки данных, предназначенных для реализации на ЭВМ, и не характеризует тип ЭВМ и необходимое математическое обеспечение.

В работе рассматриваются вопросы формирования и построения устойчивых алгоритмов фильтрации с учетом инерционности измерительного устройства на основе динамических фильтров калмановского типа.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим задачу динамического оценивания:  

,

где -n-вектор состояния,  – r-мерная гауссовская чисто случайная последовательность с нулевыми средними и матрицей ковариаций Q.

Измерения описываются уравнением

,                                                                          (1)

где  – p-мерный вектор измерения,  – p-мерная гауссовская марковская последовательность, которую можно получить с помощью многошагового формирующего фильтра

.

Здесь  – p-мерная гауссовская чисто случайная последовательность с нулевыми средними и матрицей ковариаций Q^*.

На основе принципа расширения моделей [2] рассматриваемую задачу оценивания можно привести к виду

                                                                            (2)

,                                                                                     (3)

где

, ,       , .

.

Из уравнений (2) и (3) видно, что измерения (1) по отношению к вектору  являются «точными», т.е. они не содержат чисто случайного шума.

Таким образом, особенностью рассматриваемой задачи фильтрации является предположение о коррелированности помехи измерений . В этом случае при дополнительном предположении о гауссовости  имеем [3,5]:

.

Оценка  имеет следующие свойства [    ]:

1. несмещенность:

;

2. минимальность дисперсий:

,

где  – любая несмещенная, линейная по  оценка для ;  – след матрицы. Эти свойства характеризует  как наилучшую линейную несмещенную оценку.

Предположим, что  -ое наблюдение осуществляется без ошибок. Тогда

.                                                                                (4)

Соотношение (4) можно интерпретировать следующим образом

,

где  – случайное возмущение, имеющее нулевое среднее и нулевую матрицу ковариаций.

Тогда на основе известных уравнений фильтра Калмана [3,5,7] можно записать следующие уравнения многошагового фильтра для расширенной системы (2) и (3):

,                                                                 (5)

,                                                                  (6)

,                                                                  (7)

,                                                        (8)

где

.

Анализируя соотношения (6) и (8) можно видеть, что вычисления по этим выражениям обладают низкой вычислительной устойчивостью. Это обусловлено тем, что матрица  может быть плохо обусловленной, и вследствие этого вычисление матрицы, обратной к , может быть весьма неточным. По существу, это связано с тем, что в фильтре, описываемом выражениями (5) – (8) имеет место случай, когда измерения осуществляются точно, т.е. без ошибок.

Этих трудностей можно избежать, если использовать следующий динамический фильтр [1,3]:

,                                                                         (9)

,                                                                     (10)

,                                                                           (11)

,                                                  (12)

,                                              (13)

где ,  и  определяются уравнениями.

,

,

,

или

,

где

 и .

Однако в этой задаче имеются две особенности: выбранное измерение  по отношению к действительному измерению  запаздывает на один шаг; шумы в системе и измерениях коррелированны. Размерность этого фильтра n, тогда как размерность фильтра (5) – (8) для расширенного вектора состояния равна (n+p). Измерения  можно рассматривать как  точных измерений, содержащих  переменных  и .

В случае, если в уравнениях (11) и (12) матрица  невырожденная, процесс вычисления компонент  и  не является плохо обусловленным. В случае вырожденной R целесообразно использовать фильтр вида [3]:

,

,                                                      (14)

,                                                             (15)

,                                                        (16)

.         (17)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Для обеспечения устойчивости процедуры фильтрации оказывается желательным вместо уравнений (6), (8) и (14), (15) и (17) использовать соответственно следующие соотношения:

,

,

;

,

,

,

.

где  и  – порождающие системы функций для метода регуляризации [9,10], a – параметр регуляризации, I – единичная матрица. Здесь параметр регуляризации a целесообразно выбирать на основе способа модельных примеров или моделирования [11].

Если матрица  не существует, то это означает, что в (4) входят некоторые уравнения (а именно  уравнений,  - ранг матрицы ), линейно зависящие от  остальных. Поэтому эти уравнения можно исключить из (4). После исключения вместо - получаем  – -мерный вектор, и теперь можно полагать существующей подобную обратную матрицу в новой задаче.

Для реализации алгоритмов устойчивой фильтрации (5)-(8) и (14)-(17) также оказывается целесообразным использовать концепции сингулярного разложения [12-14]. Сингулярное разложение позволяет найти ортогональные базисы различных векторных пространств разлагаемой матрицы. При этом используются разные свойства сингулярного разложения, например, способность показывать ранг матрицы, приближать матрицы данного ранга, вычислять обратные и псевдообратные матрицы.

Рассмотрим процедуру устойчивой фильтрации на основе уравнений      (5) – (8) с использованном ортогональной матрицы  [12,14]. Приведем  к диагональному виду

,

.

Исходя из матрицы  можно написать

,

 ,

где  определяются на основе уравнений [4,12]

и

соответственно.

Принимая во внимание, что , можно написать . Тогда  что удовлетворяет всем следующим уравнениям, которые единственно определяют псевдообратную к  матрицу:

,

,

,

.

Таким образом, можно прийти к оценке вида:

,   ,

которая зависит от  и .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные алгоритмы позволяют повысить вычислительную устойчивость алгоритмов динамической фильтрации с учетом инерционности измерительного устройства и могут быть использованы в информационно-измерительных системах обработки результатов наблюдений за состоянием динамической системы.

Список литературы:
1. Bryson Jr A. E. Yu-Chi-Ho. 1975. Applied Optimal Control: Optimization, Estimation, and Control. Электронный ресурс: URL: https://www.amazon.com/Applied-Optimal-Control-Arthur-Bryson/dp/0891162283
2. Венгеров А.А., Щаренский В.А. Прикладные вопросы оптимальной линейной фильтрации. –М.: Энергоиздат, 1982. – 192 с. Электронный ресурс: URL: https://books.google.co.uz/books
3. Леондеса К. Т Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. / Под ред. с англ., – М.: Мир, 1980. – 407 с. Электронный ресурс: URL:https://www.dissercat.com/content/matematicheskoe-modelirovanie-i-identifikatsiya-nestatsionarnykh-m-sistem-obrabotki-informat
4. Лоан Н.Т., Шон Х.Х. Об оптимальной фильтрации при коррелированных шумах и вырожденных корреляционных матрицах //Автоматика и телемеханика. – 1982. – №. 5. – С. 107-116. Электронный ресурс: URL: https://www.dissercat.com/content/differentsirovannaya-sistema-tekhnicheskogo-obsluzhivaniya-i-remonta-napolnykh-ustroistv-zhe
5. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. –М.: Энергоатомиздат, 1990. – 208 с. Электронный ресурс: URL: http://padabum.com/d.php?id=35667
6. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. Изд-во: Логос, 2006. – 640с. Электронный ресурс: URL: https://www.studmed.ru/sinicyn-in-filtry-kalmana-i-pugacheva-uchebnoe-posobie_96bfab2a4b5.html