Регулярные алгоритмы коррекции динамической погрешности средств измерений

АННОТАЦИЯ

Рассматриваются вопросы формирования и построения устойчивых алгоритмов коррекции динамической погрешности средств измерений в рамках общей проблемы восстановления неконтролируемых сигналов в измерительных и преобразующих устройствах. Приводятся устойчивые алгоритмы коррекции динамической погрешности на основе метода регуляризации и регулярных процедур в рамках принципа итеративной регуляризации. Предлагаемые алгоритмы позволяют повысить вычислительную устойчивость алгоритмов коррекции динамической погрешности средств измерений и могут быть использованы в информационно-измерительных системах обработки результатов наблюдений.

ABSTRACT

The problems of the formation and construction of stable algorithms for correcting the dynamic error of measuring instruments in the framework of the general problem of the restoration of uncontrolled signals in measuring and converting devices are considered. Stable dynamic error correction algorithms based on the regularization method and regular procedures in the framework of the iterative regularization principle are presented. The proposed algorithms make it possible to increase the computational stability of the correction algorithms for the dynamic error of measuring instruments and can be used in information-measuring systems for processing the results of observations.

Ключевые слова: информационно – измерительная система, средство измерения, коррекция динамической погрешности, регулярные алгоритмы.

Keywords: information - measuring system, measuring instrument, correction of dynamic error, regular algorithms.

Задача восстановления сигналов связана с общей проблемой искажений и коррекции в измерительных и преобразующих устройствах [1-3]. Обычно к контролирующим, записывающим, измерительным и преобразующим устройствам предъявляются требования минимального динамического искажения измеряемой величины. При выполнении этого требования обеспечивается соответствие величин, восстанавливаемых и измеряемых регистрирующим устройством. Общее условие минимальных динамических искажений выполняется, когда вход и выход измерительной системы связаны между собой алгебраической зависимостью. Отсюда следует, что если уравнение, описывающее динамику контролирующего, измерительного или преобразующего устройства, является дифференциальным, то в общем случае искажения неизбежны. Это связано с тем, что решение неоднородного дифференциального уравнения представляет собой функцию, отличающуюся от правой части исходного уравнения.

Построение указанных систем позволяет получить наиболее полную информацию о работе системы автоматического управления в целом, а также необходимые сведения об управляющих воздействиях, возмущениях и координатах, относящихся к классу не измеряемых и неконтролируемых измерительной аппаратурой сигналов [3,4].

Задача восстановления начального состояния и входного воздействия динамической системы по результатам измерения выхода относится к классу обратных задач динамики управляемых систем [5,6]. Поскольку указанная задача является некорректно поставлен­ной, для ее решения следует применять методы, развитые в соответствующей теории [7-12].

В работе рассматриваются вопросы формирования и построения устойчивых алгоритмов коррекции динамической погрешности средств измерений на основе регулярных методов.

Рассмотрим линейную измерительную систему, описываемую уравнениями

,                                                                  (1)

,                                                                          (2)

где ;  – состояние системы;  – начальное состояние системы;  – входное неизмеряемое воздействие на систему;  – выход системы;  – матрицы соответствующих размерностей.

Пусть

.

В пространстве , определим скалярное произведение вида

,

которое превращает пространство  в гильбертово.

Соотношения (1), (2) определяют линейный оператор  [13], который каждой паре , т.е. входу системы, ставит в соответствие функцию  на выходе системы. Таким образом приходим к операторному уравнению вида

.                                                                      (3)

Поставим задачу о приближенном восстановлении элемента  по результатам измерений выхода  измерительной системы. В практических задачах правая часть  и элементы матрицы , т.е. коэффициенты системы (3) известны лишь приближенно. В этих случаях вместо системы (3) используется другая система

,                                                                               (4)

такая, что . Таким образом, приближенные данные характеризуются набором , где  – вектор погрешности.

При решении уравнения (4), как правило, нарушаются условия устойчивости решения, связанные с плохой обусловленностью матрицы . Отмеченные обстоятельства приводят к необходимости применения методов регуляризации.

Запишем выражение для сглаживающего функционала А.Н. Тихонова

,

где  – параметр регуляризации.

Введем в рассмотрение сле­дующие функции [7]:

,

,

.

Здесь  – экстремаль функционала А.Н. Тихонова  при фиксированном . Функции , ,  монотонны и непрерывны как функции  в области ,  – мера несовместимости  уравнения (4) с приближенными данными на множестве .

Решение уравнения (4) на основе метода регуляризации А.Н. Тихонова дается формулой [7,11]

,

где  – порождающая система функций для метода А.Н. Тихонова. 

Будем полагать, что выполнено естественное условие

.                                                                            (5)

Функция обобщенной невязки  имеет следующие предельные значения на концах сегмента [8]

,

.

Таким образом, при выполнении условия (5) уравнение  имеет в области  корень , причем элемент  оп­ределен единственным образом.

Если же числа h и d неизвестны или их вычисление сопряжено со значительными трудностями, то параметр регуляризации a целесообразно определять на основе способа квазиоптимальности [7,10]

.

В условиях отсутствия априорной информации об уровне погрешности исходных данных уравнения (4) также весьма эффективными оказываются численные схемы выбора параметра регуляризации с применением быстро сходящихся итерационных методов решения уравнений типа метода касательных Ньютона [9].

При построении приближенного решения уравнения (4) в случае обратимого оператора  большую роль также играют разнообразные итерационные методы [11,12]. Эти методы могут быть как линейными, когда для перехода к следующему итерационному приближению требуется применить некоторый линейный оператор к одному или нескольким предыдущим приближениям, так и нелинейными, когда оператор перехода нелинейный. Известно [12], что обычно употребляемые линейные итерационные методы могут порождать аппроксимации и в случае необратимого оператора . Снабженные подходящим правилом останова  эти итерационные процессы, в свою очередь, порождают регуляризирующие алгоритмы для задачи (4).

С этой точки зрения более удобным является итерированный вариант метода регуляризации А.Н. Тихонова [11]:

  .                                                       (6)

Решение уравнения (6) дается – формулой

,                                   (7)

где  – начальное приближение, а  – порождающая система функций для итерированного варианта (6) метода А.Н. Тихонова, определяемая выражениям

.

Параметр  в приближении (7) следует выбирать таким образом [11], чтобы

 при .

Тогда  при  где  – решение уравнения .

Здесь целесообразно использовать следующее правило останова итерационного процесса:

Задаются числа  и . Если , то положим  и за приближенное решение примем . В противном случае выберем , при котором . Если при  невязка не достигла уровня , то поиск  прекращается и выбирается .

Для вычисления искомого вектора  также могут быть использованы, например, и другие итерационные схемы вида [10]

которые примыкают к регулярным итерационным алгоритмам.

Можно показать [14], что для рассматриваемой задачи весьма эффективным оказывается нелинейный итерационный алгоритм вида:

                                                (8)

где  – заданная пороговая функция такая, что

Тогда, следуя теории итерационных методов [11,12,14], можно показать, что если 

то

.

Итерационный процесс (8), оставаясь нелинейным на первых итерациях, сходится быстрее, чем ряд известных итерационных алгоритмов.

Приведенные алгоритмы позволяют получить наиболее полную информацию о работе систем автоматического управления различными технологическими объектами в целом, а также необходимые сведения об управляющих воздействиях, возмущениях и координатах, относящихся к классу не измеряемых и неконтролируемых измерительной аппаратурой сигналов и могут быть использованы в информационно-измерительных системах обработки результатов наблюдений за состоянием динамической системы.

Список литературы:
1. Грановский В.А. Динамические измерения: Основы метрологического обеспечения. – Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-ние, 1984. -224 с.
2. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. –М.: Советское радио, 1979. — 272 с.
3. Кузнецов Б.Ф. Стохастические модели и методы анализа информационно – измерительных систем АСУ ТП / Ангарск: Ангарская государственная техническая академия, 2007. – 180 с.
4. Дроздов И.В., Мирошник И.В., Скорубский И.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. -Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1989. - 284 с.