Оптимальное распределение производственного участка с помощью математических моделей

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается распределение данного участка между производителями так, чтобы общая прибыль была бы максимальной. Строится математическая модель рассмотрено экономической задачи. Основой распределения является ограниченность, что требует  использования (соответственно распределению) с учетом критерии оптимальности. Проблема оптимального распределения ресурсов решается с помощью экономико-математических моделей (линейного и нелинейного программирования и т. д.). 

Проблема оптимального распределения ресурсов решается с помощью экономико-математических моделей (линейного и нелинейного программирования и т. д.) [2, 3, 5]. При этом все модели направлены на то, чтобы обеспечить минимум затрат, либо максимум эффекта при ограничениях по объему ресурсов и потребностей в них. Строится математическая модель рассмотрено экономической задачи. Далее, эта задача дискретизируясь приводится к целочисленному программированию.

ABSTRACT

In article investigated the distribution of this area among producers so that the total profit would be maximum. A mathematical model of the considered economic problem is building. The basis of the distribution is their boundedness, which requires their use (according to distribution) taking into account the criterion of optimality. The problem of optimal allocation of resources is solved by means of economic and mathematical models (linear and nonlinear programming, etc.) [2, 3, 5]. The problem of optimal allocation of resources is solved by means of economic and mathematical models (linear and nonlinear programming, etc.). At the same time, all economic and mathematical models are aimed at ensuring the minimum cost, or maximum effect, with restrictions on the amount of resources and needs for them. A mathematical model of the considered economic problem is building. Further this problem being discretized is reduced to the integer programming problem.

Ключевые слова: экономико-математическая модель оптимального распределения, распределения ресурсов, линейное и нелинейное программирование.

Keywords: economic and mathematical model of optimal distribution, allocation of resources, linear and non-linear programming.

Введение. Пусть  производителей хотят осуществить свою цель, используя при этом все производительные участки, которые окружают область . Допустим, что дана площадь использованного участка каждого участника и эти площади обозначены, соответственно, через .  Обозначим через  функцию, которая характеризирует показатель значительности по области   -го участника. Если по области  функция  для каждого  постоянная, то задача называется однородной.

Если в подмножестве   , то это означает, что использование области  не дает никакой пользы му участнику [6-8].

Методы. Допустим, что -ый участник использует , тогда его производительный объем (прибыль) выражается  следующей величиной:

                                                                  (1)

здесь цель состоит в том, что распределить участок  между  производителями так, чтобы их общая прибыль была бы максимальной. Эту задачу математически можно записать следующим образом:

                                                      (2)

,                                                                        (3)

.                                                            (4)

здесь   площадь области .  Ясно, что условие  можно записать следующим образом:

.                                                                           (5)

Условие,  экономически показывает, что разные участники не могут использовать один и тот же участок [4].

Обозначим через  совокупность множеств , которые определяются из выражения (4). Другими словами,

.

Таким образом, здесь целю является найти такую совокупность , которая удовлетворяя условию (3) или (5), дала  бы функционалу (2) максимальное значение.

Ясно, что поставленную задачу можно по-другому экономически интерпретировать. Например, предприятие, осуществляющее  число производство, как должно использовать данного конкретного участка, чтобы добывать максимальную прибыль [1, 2, 3].

Дискретизируя данную область  с малым шагом , заменим её равномерной сеткой . Обозначим через  маленький квадрат, соответствующий строке и столбцу. Обозначим через  такую совокупность индексов , , чтобы . Другими словами [1, 2],  

 .                                                          (6)

Не нарушая общности, можно предполагать, что .

Обозначим через  участок сетки, который будет использовать ый участник. Допустим, что шаг  выбран таким образом, что числа - натуральные . Ясно, что функционал (1) можно записать следующим образом:

здесь

Примем следующие обозначения:

                                                           (7)

Тогда дискретный аналог функционала (1) можно записать в виде:

                                                                          (8)

Таким образом, мы получаем следующий дискретный аналог задачи (2) – (4):

 ,                                                                     (9)

                                                                        (10)

                                                                           (11)

                                                                      (12)

где     

Результаты. Отсюда видно, что задача (9) – (12) является задачей целочисленного линейного программирования. Чтобы решить эту задачу можно использовать программный пакет «МАТЛАБ».

Для решения рассмотренной непрерывной задачи мы сводим эту задачу к дискретной задаче (9) – (12). Для этого рассмотренная задача дискретизирована с малым шагом . Нужно заметить, что поставленную задачу в её первоначальной постановке можно было задавать и в дискретной форме. В этом случае не так важно требовать от стороны   квадратов ее малости, которые образуют сетку. В такой постановке требуется сетку    так распределить между  участниками, чтобы приобрести максимальную прибыль. В каждом квадрате  заранее даны величины  которые характеризуют показатели значимости го участника.

Пусть   , и .  В этом случае  будет верхним участком, а  нижним (Рис.1).  Если возьмем , то соответствующие участки будет как в рис.2.

Рисунок 1. При ,

 Рисунок 2. При , 

Список литературы:
1. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач / М.: Наука, 1981. – 518 с.
2. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциального исчисления/ М.: Наука, 1990. – 400 с.
3. Нифтиев А.А., Гасымов Ю.С. Управление границами и задачи на собственные значения с переменной областью / Баку, изд. БГУ, 2004. –185 с.
4. Нифтиев А.А., Ахмедов Э.Р. Вариационная постановка обратной задачи относительно области // Дифференциальная уравнения. – 2007, – Т.43, – № 10, – C. 1410-1416.
5. Efendiyeva H.C., Rustamova L.A. Optimal management of area’s forms // International Scientific Review Of The Problems And Prospects Of Modern Science and Education, Boston.USA. – 2016. – P.6-7.
6. Efendiyeva H.C., Rustamova L.A. The optimal problem related to change in the body shape // 6 th International Conference on COIA, Baku, Azerbaijan. – 2018, – V.1, N.1, – P.152-155.
7. Laruelle A., Valenciano F. Voting and collective decision making Cambridge Univ. Press, – 2008. – 401 p.
8. Muravey L.A. Unknown boundary problem for elliptic equation // News Moscow State University. – 1998, – №3, – P.7-13.