Решение многоточечной краевой задачи фильтрации газа в многослойных пластах с учетом релаксации

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматривается фильтрации газа в трехслойном пласте с учетом силы релаксации. Хорошо проницаемый слой, ограниченный сверху и снизу слабопроницаемыми прослойками. Изучается многоточечной краевой задачи для систем параболического типа. Применен метод прямых, доказана сходимость метода прямых и получена оценка приближенного решения. Приближенное решение сходится к точному решению со скоростью.  где  шаг по времени.

ABSTRACT

In this paper, gas filtration in a three-layer formation is considered taking into account the relaxation force. A well-permeable layer is bounded above and below by poorly permeable layers. We study the multipoint boundary value problem for systems of parabolic type. The method of lines is applied, the convergence of the method of lines is proved, and an estimate of the approximate solution is obtained. An approximate solution converges to an exact solution with speed. Where is the time step?

Ключевые слова: фильтрации газа, система параболического уравнения, краевые задачи, метод прямых, дифференциально разностная задача, сходимость, шаг по времени.

Keywords: gas filtration, parabolic equation system, boundary value problems, direct method, differential-difference problem, convergence, time step.

Многослойный пласт сверху и снизу ограничен слабопроницаемыми прослойками. Рассмотрим фильтрации газа с учетом релаксации.

Средний пласт, разрабатываемый системами галерей, предположим хорошо проницаемым два слабопроницаемым нижних и верхних прослойках движение газа по вертикали, а в средних пластах по горизонтали.

Рисунок 1.

Нестационарная краевая задача в безразмерном виде формулируется следующим образом: в области надо искать непрерывные функции , удовлетворяющие системе  уравнений

при начальных 

и краевых условиях

где

Здесь коэффициенты задачи (1) – (5) кусочно-гладкие функции.

Для решения задачи (1) – (5) покроем D прямыми  где  на прямой .

Обозначим через   искомое приближенное решение на прямой  

Аппроксимируем задачу (1) – (5) следующей схемой

Дифференциально-разностная задача (6), (7), которая решается последовательно от слоя к слою, при каждом j имеет единственное решение. Решение построено модифицированной методом дифференциальной прогонки [1,2]

Задача (6), (7) линейно-относительна. По принципу максимума получим

Следовательно

где

отсюда получим

Для всех j, где некоторая константа. Доказана равномерная ограниченность следующих величин

где 

Запишем аналитически формулы линейного до определения

Доказывается что в пределе  функции  или их линейные интерполяции совпадают с при и линейно зависима от t внутри слоев дадут решение .

Получена оценка погрешности метода прямых. Установлено, что приближенное решение сходится к точному решению со скоростью , где – шаг по времени.

Численные реализации данного алгоритма базируется программой Maple.

Список литературы:
1. Абдуразаков А., Махмудова Н. Метод прямых для решения задач фильтрации газов в двухслойных пластах. ФерПИ. ИТЖ., №3, стр. 147-150, 2018.
2. Абдуразаков А., Мухиддинов Н.Ш. Сходимость и оценка погрешности метода прямых для решения многоточечной краевой задачи фильтрации газа в трехслойном пласте. В сб. «Вопросы вич.и прикл. матем.», вып 36, Тошкент, стр 120-125, 1975.
3. Шаев А.К., Нишонов Ф. «Сингулярные интегральные уравнения со сдвигом Карлемона с рациональными коэффициентами. «Молодой ученый» №39 (225) сентябрь 2018 г.
4. Винокуров В.Г., Фозилов А.Н. Классификация пар дискретных измеримых разбиений пространства Лебега. УМН 41 (248) стр. 185-186 1986.