О неподвижных точках операторов вольтеровского типа с периодическими коэффициентами

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе изучается вопрос о существовании и количестве неподвижных точек операторов вольтеровского типа с периодическими коэффициентами. Приведено 3 теоремы и их доказательств для определения числа неподвижных точек. Найдены собственные числа динамической системы вычисления якобиан в разных точках. В результате определены Седловы точки для динамической системы, которая играет важную роль в математическом программирование и теории игр.

ABSTRACT

In this paper, we studied the question of the existence and number of fixed points of operators of Volterra type with periodic coefficients. Three theorems and their proofs for determining the number of fixed points were presented. The eigenvalues of a dynamical system were found for calculating Jacobians at different points. As a result, a Saddle point was defined for a dynamical system that plays an important role in mathematical programming and game theory.

Ключевые слова: неподвижная точка, операторы вольтеровского типа, собственные числа, Седловы точки, семейства квадратичных стохастических операторов, якобиан.

Keywords: fixed point, Volterra type operators, eigenvalues, Saddle points, families of quadratic stochastic operators, Jacobian.

Операторы вольтеровского типа определяются равенствами:

                                                           (1)

где  непрерывные функции, удовлетворяющие условиям[1]:

а) для любого

б) для всех

Легко заметить, что при выполнении этих условий .

Интересным, с биологической точки зрения, является случай, когда  - параметры управляющие эволюцией, являются периодическими функциями [2], [3].

В настоящей работе изучается вопрос о существовании и количестве неподвижных точек операторов вольтеровского типа с периодическими коэффициентами.

В симплексе  рассмотрим семейства квадратичных стохастических операторов (КСО) вида:

 и 

где .

Очевидно, что .

Теорема1. Пусть тогда:

1) Для любых  КСО число всех неподвижных точек равно .

2) Для любых  КСО число всех неподвижных точек равно .

Доказательство. 1) Решим систему

Следовательно   и при  , получаем  неподвижную точку.

2) Решим систему

При , получаем  n  неподвижную точку и видно, что две вершины симплекса неподвижные точки.

В симплексе  рассмотрим семейства  КСО вида:

   и        

где

Легко заметить, что .

Теорема 2. Пусть  тогда:

1. Для  КСО a) все точки неподвижные  и   - внутренняя отталкивающая неподвижная точка;

b) Существует не менее -внутренних неподвижных точек (n ≥3).

2. Для  КСО a)   - внутренняя отталкивающая неподвижная точка;

b)   и  являются Седловыми.

Доказательство. 1. a) Пусть  тогда, очевидно:  и , т.е. вершина  неподвижная точка. Теперь берем  точки, тогда очевидно ,    т.е.  неподвижные точки. Это означает, что все точки у неподвижные. Посмотрим якобиан динамической систем  и здесь :

,    

где  является неподвижной точкой динамической системы . Тогда из  находим собственные числа якобиана в точке С_оÎS²:

и обозначим через . Отсюда детерминант имеет вид:

.

Далее получим

Собственные числа этого уравнения следующие:

 и

Это означает, что  является внутренней отталкивающей неподвижной точкой (рис.1. и рис.2.).

b) Решим систему

полученную из .

Эта система имеет место при всех комбинациях точки ,  здесь  0<<1, и  .  Число решений уравнения  в  целых неотрицательных числах  р, q и d,  равно . 

2. а) Посмотрим якобиан динамической системы  и здесь :

,

где  является неподвижной точкой динамической системы . Тогда из

находим собственные числа в точке :

и обозначим через . Отсюда детерминант имеет вид:

.

Далее получим

Собственные числа этого уравнения следующие:

 и

Это означает, что  является внутренней отталкивающей неподвижной точкой (рис.3. и рис.4.).

b) Вычислив якобиан динамической системы  в точке  находим собственные числа

.

Далее получим

Собственные числа этого уравнения следующие:

Это означает, что (1;0;0) является Седловой точкой.  Аналогично можно показать, что (0;1;0) и (0;0;1) являются Седловыми точками динамической системы.

Утверждения. Пусть  тогда:

1. Для  к.с.о. a) все точки ¶S² неподвижные;

b) существует не менее - внутренних неподвижных точек (n ≥3).

2. Для   к.с.о.  (1;0;0),  (0;1;0)  и  (0;0;1) являются седловыми;

Доказательство. Проводится аналогично доказательству теоремы 2.

В симплексе  рассмотрим семейства  квадратичных стохастических операторов вида:

где

Легко заметить, что .

Теорема3. Пусть  тогда:

1.  являются неподвижной точкой;

2. существует не менее  внутренних неподвижных точек .

Рис. 1. n=3.                                                      Рис. 2. n=4.

Рис. 3. n=2.                                                      Рис. 4. n=3.

Рис. 5. n=2.                                                      Рис. 6. n=3.

Рис. 7. n=2.                                                      Рис. 8. n=3.

Рис. 9. n=2.                                                      Рис. 10. n=3.

Список литературы:
1. Ганиходжаев Р.Н. Квадратичные стохастические операторы, функция Ляпунова и турниры. Математический сборник, 1992 г., т.183, №8 с.129-141.
2. Ганиходжаев Р.Н. Исследования по теории квадратичных стохастических операторов //Автореф. доктор. дис.., Ташкент, 1994 г. 30 стр.
3. Курганов К.А. Асимптотическое поведение траекторий дискретных динамических систем, порожденных квадратичными стохастическими операторами вольтеровского типа//Автореф. канд. дис., Ташкент,1994 г. 35 стр.
4. Полиа Г., Сеге Г.  «Теорема и задачи в анализе» том I,II, Пер. с нем. - 3-е изд., М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1978.  Ч.1 - 392с.; Ч.2 - 432с.