Исследование распространения сферических электромагнитных волн вблизи слоя льда

АННОТАЦИЯ

Разработана математическая модель распространения сферических электромагнитных волн вблизи слоя льда. Предложенная математическая модель основана на направленных функциях Грина с граничными условиями неоднородными по углу. Такая модель позволяет разбить неоднородную поверхность на совокупность однородных, что позволяет использовать простые и широко распространенные методы анализа волновых полей. 

С помощью предложенной модели проведен анализ поля точечного направленного источника, излучающего электромагнитные волны на поверхность морского льда. Также приведены результаты расчетов при разных частотах и разной толщине поверхности льда. Для определения точности алгоритма приведено поле точечного излучателя электромагнитных волны в свободном пространстве. Максимальная погрешность алгоритма составляет от 20 до 30%.

ABSTRACT

A mathematical model of the propagation of spherical electromagnetic waves near the ice layer has been developed. The proposed mathematical model is based on directional Green functions with boundary conditions that are not uniform in angle. Such a model makes it possible to break up a non-uniform surface into a set of homogeneous, which allows using simple and widely used methods for analyzing wave fields.

Using the proposed model, we analyzed the field of a point directed source emitting electromagnetic waves to the surface of sea ice. The results of calculations are also given at different frequencies and different thickness of the ice surface. To determine the accuracy of the algorithm, the field of a point emitter of electromagnetic waves in free space is given. The maximum error of the algorithm is from 20 to 30%.

Ключевые слова: анализ волновых полей; граница раздела сред; направленная функция Грина.

Keywords: wave field analysis; boundary environments; directional Green function.

Введение

Анализ физических полей антенн является важной задачей в проектировании приемо-передающих систем. Этому вопросу посвящено множество работ, которые рассматривают распространение волн через плоские границы раздела сред. В реальности такие задачи встречаются редко, что ограничивает возможности применения методов [2, 4, 5]. Наличие неоднородностей в среде требует более сложных методы расчетов [2, 4, 5].

Сложность решения задач анализа антенной решетки в замкнутых объемах заключается в том, что даже при локальном импедансе на гранях невозможно выполнить разделение переменных в уравнении Гельмгольца [1, 3, 5].

Использование функций Грина позволяет решить задачу анализа, получив единственное и устойчивое решение.

В представленной работе рассматриваются вопросы, связанные с задачами анализа волновых (акустических и электромагнитных) полей при расположении источника внутри замкнутого объема, заполненного средой с параметрами, отличными от параметров внешней среды.

Математическая модель

Рассмотрим следующую задачу: нужно рассчитать поле точечного источника, помещенного в воздушное полупространство на небольшой высоте от плоского слоя льда. Излучение проводится на слой льда, который лежит на морской поверхности (Рис. 1). Известны следующие характеристики: магнитная и диэлектрическая проницаемости воздуха, моря, льда. 

Рисунок 1. Геометрия рассматриваемой задачи

И – источник излучения, 1 – воздушное полупространство, 2 – слой льда, 3 – водное полупространство, П - приемник.

Как известно, равноправными решениями уравнения Гельмгольца являются две сопряженные друг с другом функции Грина. Одна из функций Грина описывает расходящиеся от поверхности излучателя волны G_l (M,M₀), а вторая - сопряженная с ней G_l^-1 (M,M₀) [1, 3]. Строго говоря, общим решением уравнения Гельмгольца необходимо считать сумму этих функций:

                                     (1)

где M – точка приема сигнала с координатами x и y; M0 – точка излучения сигнала с координатами x0 и y0;

Направленная функция Грина имеет вид:

                 (2)

где F_l(θ) =1, если θ_lmin ≤ θ ≤ θ_lmax при l=1,2,3,…,l. F_l =0 при остальных значениях θ.

В данной работе сферические волны представлены в виде суперпозиции плоских волн, поэтому справедливо использование коэффициента отражения для плоских волн:

               (3)

где d – толщина слоя льда; k_2Z – компонента волнового вектора; Z_l – волновое сопротивление l - й среды, равное:

                                                                (4)

Направленна функция Грина для падающей и отраженной волн запишутся как:

          (5)

Выражение (5) описывает поведение падающих и отраженных волн вблизи слоя льда.

Результаты расчета

Моделирование проведено в программной среде MathCad. В ходе моделирования изменялись только частота излучателя и толщина слоя льда. Приведено три графика.

Функции PP0(x) и PP1(x) описывают зависимость напряженности электрического поля от расстояния между источником и приемником.

Исходные данные расчета поля точечного излучателя представлены в таблице 1, в которой указаны следующие параметры:

c – фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде;

f – частота излучателя;

d – толщина слоя льда.

Таблица 1.

Исходные данные расчета поля точечного излучателя

Рисунок 2. Распределение напряженности электрического поля в водном полупространстве f = 2 МГц, d = 1 м.

Рисунок 3. Распределение напряженности электрического поля в водном полупространстве f = 20 МГц, d = 1 м.

Рисунок 4. Распределение напряженности электрического поля в водном полупространстве f = 20 МГц, d = 10 м.

Рисунок 5. Поле ненаправленного точечного излучателя

Погрешность результата можно оценить по рис. 5. Отклонения на границах вблизи углов 0º и 90º обуславливаются ошибками разработанного алгоритма.

Выводы

Представленный алгоритм позволяет рассчитывать поля точечных электромагнитных излучателей в слоистых средах с учетом отражения волн от границ раздела. Погрешность вычислений составляет 25 – 30 %.

Из графиков 2, 3, 4 видно, что значение напряженности электрического поля уменьшается с увеличением частоты. Графики 3, 4 показывают, что толщина льда не оказывает влияние на падающую и отраженную волны.

Главным преимуществом метода является скорость вычисления (2-3 минуты на ноутбуке средней мощности).

Результаты могут найти практическое применение:

- в исследовании распространения электромагнитных волн в условиях Арктики;

- исследованиях распространения поверхностных волн;

- в задачах нахождения электромагнитных полей внутри и вне замкнутых объемов.

Список литературы:
1. Короченцев В.И. Волновые задачи теории направленных и фокусирующих антенн. Владивосток: Дальнаука, 1998. 192 c.
2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 340 с.
3. Шевкун С.А. Разработка методов анализа волновых полей в замкнутых объемах: дис., канд. физ.-мат. наук. Владивосток, 2006. 186 с.
4. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Ленинград: Судостроение, 1972. 348 с.
5. Лобова Т.М. Модель антенной решетки в замкнутом объеме// Владивосток: Вестник инженерной школы ДВФУ, 2018. 5c.
6. Корчака А.В. Математическая модель излучателя сферических волн в слоистой среде// Владивосток: Вестник инженерной школы ДВФУ, 2018. 5с.