Вязкоупругие пластиновые механические системы с точечными связями и их собственные колебания

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматриваются собственные колебания вязкоупругих пластинчатых механических систем с точечными связями. Получены частотные уравнения и решено численно, методом Мюллера. Приведен параметрический анализ комплексных собственных частот в зависимости от геометрических параметров. 

ABSTRACT

In this article, the natural oscillations of viscoelastic lamellar mechanical systems with point connections are considered. Frequency equations are obtained and solved numerically by the Muller method. A parametric analysis of complex eigenfrequencies depending on the geometric parameters is given

Ключевые слова: Свободные колебания, диссипативная система, собственные колебания, вязкоупругие системы.

Keywords: Free oscillations, dissipative system, vibrations, viscoelastic system.

Структурная неоднородность системы определяется наличием в ней вязкоупругих элементов с разными диссипативными  свойствами (в противном случае это структурно - однородная вязкоупругая система).         Под механической системой здесь понимается прямоугольная пластина, пакет прямоугольных пластин, оболочка вращения, система оболочек вращения, имеющие точечные связи.

Свободные колебания диссипативной системы носят затухающий характер. Амплитуды форм колебаний с течением времени уменьшаются, поэтому такой процесс, строго говоря, не является периодическим. Но частоты соответствующих форм при этом остаются постоянными [1,2] и в этом смысле диссипативную систему можно исследовать как систему, обладающую собственными колебаниями.

Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N изотропных вязкоупругих тел, занимающих объем  и ограниченных поверхностями . При этом предполагается, что один линейный размер каждого тела намного меньше двух остальных. При каждом n  на части поверхности n-го тела заданы  однородные граничные условия, на остальной свободной поверхности в конечном числе точек наложены связи кинематического и динамического характера: точечные жесткие, упругие и (или) вязкоупругие шарнирного типа опоры (жесткие опоры могут быть защемлены), жесткие упругие и (или) вязкоупругие амортизаторы, соединяющие тела (при ), сосредоточенные массы . Расположение связей и масс на поверхностях  произвольно.

В общем случае диссипативные свойства элементов системы различны. Частным случаем такой структурно неоднородной вязкоупругой системы является система с упругими и вязкоупругими элементами. Для последнего случая , где – количество упругих элементов системы, - количество вязкоупругих элементов. При  тела расположены параллельно друг другу свободными поверхностями  (пакеты пластин оболочек). При  стойки отсутствуют. Требуется определить частоты собственных колебаний вязкоупругой системы, а также оценить ее демпфирующую способность. В математической постановке вязкоупругость выглядит следующим образом. Пусть все точки n–го тела подчиняются гармоническому закону колебаний, т.е.

                          (1)

где - j-я компонента вектора перемещений n–го тела, J- число компонент вектора перемещений,- радиус-вектор точки n-го тела,  - искомая комплексная частота системы, причем  - собственная частота, а – коэффициент демпфирования . Поскольку каждая компонента вектора перемещений уже имеет индекс n, то последний для обозначения компонент радиус-вектора в дальнейшем не используется.

Для прямоугольных пластин  и

,

для оболочек вращения  и

,

где x,y– координаты. Исходя из принципа возможных перемещений, приравняем нулю сумму работ всех активных сил, включая силы инерции на возможных перемещениях :

                                                            (2)

где – виртуальные работы внутренних сил тел пружин, а также сил инерции с учетом сосредоточенных масс. Эти работы можно представить следующими соотношениями:

  (3)

где –плотность и объем n–го тела, - q-я присоединения масса n– го тела с координатами

– число пружин (амортизаторов) между n–м и (n+1)–м телами, - число сосредоточенных масс на n–м теле, - число упругих (вязкоупругих) опор на n–м теле,  - компоненты тензоров напряжений и деформаций соответственно n–го тела, l-й пружины (амортизатора) и –й упругой (вязкоупругой) опоры.

Физические и геометрические соотношения для упругого элемента или упругой связи системы запишем с помощью обобщенного закона Гука

где –интегральные операторы Вольтерра, которые ниже заменяются на один оператор.   Выражая  по известным формулам через  и учитывая, что

, где   

                                   (4)

здесь  - мгновенный модуль упругости, а – ядро релаксации.

Учитывая (1), функцией времени в равенстве (4) будет  с медленно меняющейся амплитудой. Предполагая малость интеграла , с помощью метода замораживания заменим соотношение (4) приближенным:  

где

Это позволяет исключить из вариационного уравнения интегральные члены и, в конечном итоге, время. В символическом виде его можно представить в виде

                                                               (5)

Если n-я пластина, l-я пружена и l^/-я опора вязкоупругие, то представляются следующими формулами:

где

- комплексная функция, числовые коэффициенты которой зависят от параметров ядра релаксации соответствующих вязкоупругих элементов,

-

обобщенные мгновенные жесткости соответственно n-й пластины, l-го амортизатора, l^/-й опоры. В упругом случае  где - обобщенные жесткости соответственно n-й пластины, l-го пружины, l^/-й опоры.

Необходимо найти спектр комплексных собственных частот

,

где – частоты, а – коэффициенты демпфирования собственных затуханий колебания.

Численные результаты. Рассмотрим конструкцию, представляющую собой пакет из двух параллельных квадратных упругих пластин с амортизатором и присоединенной массой. Ядро релаксации для амортизатора выбрано в виде

где  - параметры ядра [2].

Вязкость амортизатора принята такой, чтобы его деформация ползучести при квазистатическом процессе составляла малую долю от общей (~12%). Для этого случая параметры ядра следующие:  [2].

В отличие от упругой задачи, здесь исследовалась зависимость двух низких частот и соответствующих коэффициентов демпфирования от величины мгновенной жесткости амортизатора. Последняя изменялась от 10^-4 до 10^-1. Справа этот диапазон ограничен величиной, т.к. при С=С₂ происходит смена второй формы.       На рис. 1 показана зависимость первых двух частот  и соответствующих коэффициентов демпфирования  от величины мгновенной жесткости амортизатора С. Из анализа графиков следует, что диссипативные свойства этой системы в целом определяются не только реологией ее элементов, но существенно зависят от взаимодействия колебаний собственных форм.

Рисунок 1. Зависимость частот и коэффициентов демпфирования

Данный эффект выражается в том, что при некоторых условиях (о них ниже) и до некоторого значения жесткости амортизатора энергически более емкая (в данном случае вторая) форма диссипирует энергии меньше, чем форма менее энергоемкая. Затем, начиная с некоторого значения мгновенной жесткости амортизатора (в данном случае с ), процесс диссипации энергии собственными формами нормализуется и протекает согласно энергетической иерархии форм.

Практический вывод следующий: демпфирующие способности конструкции в основном определяет минимальный по абсолютной величине коэффициент демпфирования (в этом случае последними затухают колебания именно этой формы); глобальным (определяющим) коэффициентом демпфирования системы является сначала до точки пересечения, а затем .  Оптимальный в смысле затухания режим колебаний конструкции будет при С=С*, когда этот глобальный коэффициент демпфирования максимален.

Cписок литературы:
1. Каюмов С.С., Сафаров И.И. Распространение и дифракция волн в диссипативно – неоднородных цилиндрических деформируемых механических системах. Ташкент: Фан, 2004 г. -250 с.
2. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация . – М.: Высшая школа , 1976.- 276с.