Распространении одномерных нелинейных пластических волн однородной среде

АННОТАЦИЯ

Рассматриваются задачи о распространениии одномерных пластических волн в грунте при воздействииии на границу грунтового полупространства интенсивной нагрузки   убываюшего профиля.

ABSTRACT

In this article observe the problem of spread of the one – dimensional plastic waves in the ground with influence to the board of ground half – space of the intensive load  of the descending profile.

Ключевые слова: Распространение пластические волн, дифференциальное уравнение, граничные условие, массовой скорость, скорость фронта.

Keywords: The spread of plastic waves, the differential equation, the boundary condition, the velocity of the mass, the velocity of the front.

Вопросы динамики быстротекущих процессов в структурно-неоднородных средах с различными включениями становится всё более актуальными. Это связано с использованием взрыва в породном хозяйстве, необходимостью прогнозирования прочности специальных подземных сооружений и элементов конструкции в зонах интенсивного воздействия взрывного или сейсмического характера, а также с обеспечением сейсмостойкости различных гидротехнических и заглубленных в грунт сооружений, коммуникаций, тоннелей метрополитена и их элементов в сейсмических районах страны.

Очевидно, что при интенсивных кратковременных сейсмовзрывных и других воздействиях, в большинстве встречающихся в практике случаев напряженные состояние сооружений, конструкции и окружающей их среды (грунт, воздух, вода) находятся за пределами упругости, а их материалы подвергаются, в основном упруго пластическим деформациям. В этом случае, для определения нагрузок на многослойные подземные сооружения различной формы от выше указанных воздействий необходимо в первую очередь исследовать распространение упругопластических, в том числе пластических, волн в окружающей на слоистой среде и их кинематические параметры.

В связи с выше изложенным рассматриваются рад задач о распространении и отражении одномерных (плоской и сферической) пластических волн в грунтах и слоистых средах при воздействии на границу каверны интенсивной и монотонно убывающей во временны нагрузки

Отметим, что аналогичные задачи ранее были исследованы в работах [1; 2; 3]. Причем в [2] аналитически обратным способом решения задачи о распространении плоской и сферической волк в нелинейно-сжимаемой среде с линейной и ломанной (в виде двух прямых с различными модулями юнга  и  ) разгрузками. Эти задачи в рамках «пластических газах» при конечных деформациях среды рассмотрены в [1] для идеальной пластической среды, а с учетом касательных напряжений грунта в [2]. В этих работах рассматриваемые задачи сведены к системе двух интегро-дифференциальных уравнений относительно радиуса каверны и функции деформации , которые решаются численно на ЭВМ.

В предлагаемой работе в отличие от [1; 2; 3], выше указанные одномерные задачи при малых деформациях грунта решены для случая когда в области разгрузки среды зависимость между давлением  и объёмной деформации  состоит из вертикальной и наклеенной прямой с модулем Юнга Е. Как было сказано выше, при интенсивных воздействиях грунт моделируется нелинейно – сжимаемой идеальной средой, обладающей за фронтом ударной волны  необратимым процессом разоружения. На фронте ударной волны, где происходит нагружение среды, зависимость между давлением  и объёмной деформацией  принимается в виде полинома второй степени, а разгрузочная ветвь этой диаграммы  состоит из вертикальной и наклеенной с модулем юнга  линии (рис.1). Если в области возмущения (рис.1 область1) давление где  - заданная постоянная величина, то, в отличие от [1; 3], имеет место вертикальная разгрузка, далее при - необратимая упругая разгрузка среды со скоростью распространения . На линии  (рис.1) давление  является постоянной величиной, а деформации  зависит от временит. В зависимости от величины скорости  в физической плоскости возникают различные волновые схемы [1]. Построим аналитические решения задач с учетом этого обстоятельства.

Для решения задачи в области 1(рис.1), где происходит жесткая разгрузка, имеем уравнения движения, неразрывности и состояния среды, соотношения на фронте волны  и граничное условие (начальные условия – нулевые) в виде [3].

                                   (1)

                                                       (2)

                                                                 (3)

Где массовая скорость, плотность; давление; объемная деформация; положительные экспериментально определяемые коэффициенты, относятся к плоскому, цилиндрическому и сферическому слою. Параметры среды, относящийся к фронту, обозначены сверху звездочкой. Решая уравнение (1) с учетом (2) и (3) аналитическим способом определяем давление и массовой скорости на возмущённых областях 1,2,3...и т. д. и на фронте волны на  а также объёмная деформация.

Результаты расчётов для исходных параметров

                                    (4)

в случае, когда профиль нагрузки задан в виде.

                                                                       (5)

Приводятся на рис.2 где внутренние масштабы по  и по  соответствуют случаю.

В случаях распространения в грунте цилиндрической и сферической пластической волны поверхность изобары давления, где  получается вытянутой во времени а в плоском случае вытянутой в сторону пространственной координаты . Скорость сферической волны  в зависимости от времени затухает быстрее, чем скорость цилиндрической и плоской волн. В случае распространения в грунте плоской волны распределение объемной деформации и массовой скорости  на поверхности  при  имеют немонотонный характер, т. е. вблизи фронта волны имеет место возрастание вышеуказанных параметров в зависимости от времени  (Рис.2). Величины параметров на фронте волны в зависимости от времени уменьшаются по нелинейному закону.

Рисунок 1. Волновая схема для плоской задачи

Рисунок 2. Изменение массовой скорости и объемной деформации на поверхности, где в зависимости от времени

Список литературы:
1. Атабоев К., Мамадалиев Н. Распространение одномерной пластической волк в среде с линейной и ломанной разгрузками. –ПМТФ, №3, 1981, с141-149.
2. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Алексеев Н.А. // Вопросы динамика грунтов – М.: Изд-во МГУ, 1964. – 239 с.
3. Рахматулин Х.А. Степанова Л.Н. О распространении ударной волны взрыва в грунтах. вопросы теории разрушения пород действием взрыва – Изд-во АН СССР. 1958, – С149-156