К вопросу о математическом моделировании двухрежимного ракетного двигателя на твердом топливе

Одним из важнейших этапов проектирования ракетных двигателей на твердом топливе (РДТТ) является определение основных внутрибаллистических параметров рабочего процесса в камере двигателя, которое осуществляется посредством решения основной задачи внутренней баллистики (ОЗВБ) [1].

В классической постановке ОЗВБ формулируется как задача расчета изменения во времени давления и температуры в камере сгорания.

В практике инженерных расчетов обычно усредняют физические величины по всему свободному объему камеры сгорания. Метод усреднения по свободному объему составляет основу, так называемой, «нульмерной баллистики», предмет которой состоит в нахождении зависимости средних по объему параметров от времени [2].

На основе расчетных данных определяются параметры ракетного двигателя:

• тяга двигателя Р;
• удельный импульс тяги I_уд;

Расчет давления, тяги и удельного импульса тяги производится в диапазоне температур ± 50 °С.

При решении задачи расчета внутрибаллистических параметров РДТТ с комбинированным зарядом приняты следующие основные допущения:

• решение задачи ведется в «нульмерной» постановке, без учета переменности давления, плотности и температуры по длине камеры сгорания;
• горение воспламенителя считается мгновенным, а давление в камере в момент времени t = 0 равным давлению воспламенителя;
• закон горения топлива геометрический;
• статическое давление принимается постоянным по длине камеры и равным давлению торможения у торца заряда, обращенного к соплу;
• потери полного давления при движении потока от торца заряда до критического сечения учитывается коэффициентом φ₂ 

= φ₂ .р;                                                                          (1)

• температура газов в камере сгорания принимается постоянной и равной

  ,                                                                            (2)

где  – температура горения топлива в постоянном объеме;

k – показатель адиабаты.

Потери тепла, связанные с теплоотдачей от продуктов горения к стенкам камеры, учитываются коэффициентом тепловых потерь c, который для не теплоизолированных камер определяется по известной формуле Шапиро

 ,                                                                    (3)

где ψ – относительная часть сгоревшего топлива, определяемая из выражения

 ,                                                               (4)

где – начальный объем топливного заряда.

Решение задачи ведется без учета химического взаимодействия продуктов горения топливного заряда, продукты сгорания являются идеальным газом.

Зависимость W_г=f₃(t) определяется из выражения

   .                                                         (5)

Зависимость скорости горения от скорости газового потока характеризуется функцией ε(v), называемой эрозионным фактором скорости горения. Эрозионный фактор играет заметную роль только в начальный период горения заряда, когда значение величины æ=S_г/F_св велико. Если значение не превосходит некоторой величины æ_порог эрозионный эффект практически отсутствует, причем величина æ_порог растет вместе с давлением.

Давление в камере сгорания и характер его изменения во времени определяются балансом прихода, расхода газов и количеством газов, идущих на заполнение объема, освобождающегося в камере сгорания по мере выгорания заряда и определяется зависимостью

.                 (6)

Параметр А(ψ) рассчитывается по формуле

А(ψ)=σ(S)∙f₃(æ)∙f(χ).                                                             (7)

Параметр А(ψ) зависит от трех функций:

• σ(S) – функция изменения поверхности горения по времени;
• f₃(æ) – функция изменения параметра заряжания по времени, величина f₃(æ) зависит от скорости газового потока, которая изменяется не только по длине заряда, но и по времени работы двигателя. Величина f₃(æ) имеет максимальное значение в начале горения твердого заряда, когда коэффициент заполнения камеры сгорания максимальный и уменьшается с увеличением площади свободного истечения газов. В предыдущих математических моделях величина f₃(æ) рассчитывалась на срезе заряда, обращенного к соплу то в предложенной математической модели величина f₃(æ) рассчитывается для каждой поверхности горения с учетом ранее существующей поверхности горения;
• f(χ) – функция, учитывающая изменение тепловых потерь во время работы двигателя.

С введением параметра А(ψ) расчет ОЗВБ становится более точным по определению внутрибаллистических и тяговых характеристик двигателя, а именно точнее определяется скорость горения топлива и давление в камере сгорания.

Начальным этапом в решении ОЗВБ однокамерного двухрежимного РДТТ с комбинированным зарядом является определение давления воспламенителя р_в, которое будет использоваться в качестве одного из начальных условий при расчете зависимости р = р(t). В типовых РДТТ давление воспламенителя, как правило, выбирают из условия

р_в = (0,3...0,4)р_уст,                                                                (8)

где р_уст – установившееся давление в камере двигателя.

В рассматриваемом случае на стартовом режиме работы двигатель работает в нестационарном режиме, для которого отсутствует понятие об установившемся давлении. Поэтому для определения значения р_в целесообразно воспользоваться допущением о горении воспламенителя в постоянном объеме (равном начальному свободному объему камеры сгорания до критического сечения сопла). Правомерность этого допущения обуславливается тем, что за короткое время воспламенения истечение газов воспламенителя пренебрежимо мало; кроме того, сопла реальных РДТТ до начала работы закрываются герметизирующими тарелями, давление разрушения которых существенно превышает величину р_в [3]. Учитывая вышесказанное, с помощью уравнения состояния можно определить давление воспламенителя по формуле

,                                                                   (9)

где m_в – масса воспламенителя;

R_в, Т_1в – газовая постоянная и температура горения воспламенителя в постоянном объеме;

W₀ – начальный свободный объем камеры РДТТ.

В периоды выхода двигателя на режим установившейся работы и режима установившейся работы при условии æ ≥ æ_порог скорости горения твердотопливных полузарядов будут различными за счет эффекта эрозионного горения. Причем для головной и хвостовой шашек рассчитывается свое значение æ.

В связи с этим, массовый секундный приход газов от полузарядов рассчитывается отдельно:

• для головной шашки

;                                                            (10)

• для хвостовой

.                                                            (11)

В дальнейшем необходимо рассматривать решение ОЗВБ последовательно для каждого периода работы однокамерного двухрежимного РДТТ с комбинированным зарядом.