Выбор итерационных параметров при использовании метода Шварца для решения контактных задач

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе рассматриваются особенности численного моделирования упругого деформирования двухмерных твёрдых тел с учётом контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца. Моделирование производится в рамках метода конечных элементов. Рассмотрены различные варианты выбора итерационных параметров алгоритма. Для иллюстрации алгоритма проанализировано напряжённо-деформированное состояние контактирующих упругих пластин.

ABSTRACT

This paper deals with the features of numerical modeling of the elastic deformation of two-dimensional solids with allowance of contact interaction on the basis of the Schwarz alternating method. Finite element method is used for the modeling. Various variants of the choice of iteration parameters of the algorithm are considered. The stress-strain state of contacting elastic sheets is analyzed for the illustration of the algorithm. 

Ключевые слова: метод Шварца; метод конечных элементов; контактное взаимодействие упругих тел; итерационное решение; итерационные параметры.

Keywords: Schwartz method; finite element method; contact interaction of elastic bodies; the iterative solution; the iteration parameters.

Изучение силового взаимодействия деталей машин составляет специальный класс задач теории упругости — так называемые контактные задачи, аналитические решения которых получены лишь для тел и контактирующих поверхностей достаточно простой формы в связи со сложностью указанных задач. Поэтому контактные задачи для областей, имеющих сложную геометрическую форму, решаются при помощи большого количества различных методов, в том числе метода конечных элементов (МКЭ). Одним из методов решения контактных задач является так называемый альтернирующий метод Шварца. Данный метод является итерационным и требует выбора специальных итерационных параметров.

В данной работе рассматривается выбор итерационных параметров при решении контактной задачи механики деформируемого твердого тела (МДТТ) при помощи метода Шварца.

Пусть два изотропных и однородных линейно-упругих тела A и B занимают в двухмерном евклидовом пространстве области  и  c кусочно-гладкими границами  и  соответственно. Математическая постановка упругой задачи механики деформируемого твёрдого тела в этом случае включает:

уравнения равновесия

 ;                          (1)

определяющие уравнения

;                                                       (2)

соотношения Коши

;                 (3)

силовые и кинематические граничные условия

 ;                       (4)

,                                (5)

где  – вектор напряжений,  – вектор перемещений,  – вектор начальной деформации,  – вектор деформации, D – матрица Гука,  – компоненты заданной на поверхности  распределённой нагрузки ,  – вектор заданных перемещений поверхности .

Пусть тела A и B находятся в состоянии контактного взаимодействия. Тогда на поверхности контакта  без учёта трения должны быть выполнены дополнительные контактные условия сопряжения соответственно по перемещениям и по напряжениям

                                               (6)

,                                          (7)

где ,  – нормальные перемещения граничных точек;  – нормальное расстояние между граничными точками в недеформированном состоянии; ,  – нормальные составляющие поверхностных сил. Здесь все векторы спроецированы на внешнюю нормаль к контактной поверхности тела B.

Численное решение задачи теории упругости (1) – (5) находится с помощью метода конечных элементов [1]. Контактная задача теории упругости (1) – (7) в данной работе решается при помощи алгоритма, основанного на альтернирующем методе Шварца [4].

Обозначим за  и  компоненты вектора перемещений , , узлов, расположенных на контактной поверхности ; за  и  обозначим компоненты вектора узловых сил , , на контактной поверхности .

Метод Шварца является итерационным и состоит в попеременном выполнении условия (6) на нечётных «кинематических» итерациях и условия (7) на чётных «силовых» итерациях. В первом шаге на контактных поверхностях  и  соответственно тел  и  задают дополнительные кинематические условия – начальные перемещения  и , после чего решают  две независимые задачи механики твёрдого тела. Затем вычисляют контактные усилия  и  на поверхностях  и . Для выполнения силовых контактных условий (7) полученные силы корректируют по формуле

     (8)

где   – номер контактного узла, лежащего на поверхности  тела ;  – вектор контактных узловых сил, действующих в сходственной точке ;  – итерационный параметр.

Скорректированные поверхностные силы   и  используют в качестве новых силовых контактных условий на контактных поверхностях  и  вместо кинематических условий с предыдущего шага. Во втором шаге решают независимые задачи механики твёрдого тела с новыми граничными условиями. По результатам полученных решений вновь обеспечивают выполнение кинематических контактных условий (6), для чего корректируют векторы перемещений  и  соответственно точек контактных поверхностей  и  по формуле

         (9)

где   – номер контактного узла, лежащего на поверхности  тела ;  – вектор перемещений сходственной точки ;  – итерационный параметр.

Полученные перемещения  и  используют в качестве кинематических граничных условий на геометрически изменённых поверхностях контакта  и  вместо силовых условий с предыдущего шага. Затем вновь решают независимые задачи механики твёрдого тела.

В формулах (8) и (9) используются компоненты вектора перемещений и вектора сил  на контактной поверхности  тела B в так называемой сходственной точке s, т.е. в точке, с которой при контакте совмещается узел . Вопрос нахождения сходственных точек рассматривался в работе [3].

В формулах (8) и (9) присутствуют параметры  и , выбор значений которых может оказать заметное влияние на эффективность, а в некоторых случаях сам факт сходимости алгоритма Шварца. Возможные варианты их вычисления рассматриваются, в частности, в работах [2, 4, 5, 6].

В работе показано [4], что значения параметров  и  должны удовлетворять следующим условиям:

                                             (10)

и

.                                              (11)

В ряде задач значения итерационных параметров можно положить  или, в более общем случае, зафиксировать иные значения. Однако в ряде работ показано, что во многих случаях такой выбор влечет за собой существенное уменьшение скорости сходимости или расходящемуся процессу. Значительно более эффективным оказывается применение различных итерационных параметров для каждой пары узлов  и, в общем случае, каждой итерации. Например, возможно применение формулы [5]

 и ,                              (12)

где  и  — локальные податливости поверхностей контакта, вычисленные в сопряженной паре .

Очевидным недостатком формулы (12) является невозможность построения аналитических выражений для локальных податливостей  и  для тел, имеющих сложную геометрическую форму или существенно отличающиеся физико-механическими свойства. Использование глобальной матрицы жесткости для их оценки во многих случаях также не приносит удовлетворительных результатов [2, 5].

На основании контактных давлений  и нормальных перемещений  (внешняя нормаль строится в сходственной точке ), где , величины  и  возможно вычислить приближенно по формуле

.                                            (13)

Так как после коррекции на четных итерациях, имеем

.                                              (14)

В соотношение (14) также можно ввести параметр  для ускорения сходимости, особенно в случае существенно различающейся жесткости контактирующих тел [6]:

.                                    (15)

В случае упругопластического деформирования использование формулы (14) возможно только при наличии ограниченных зон пластического деформирования, в противном случае требуется использовать модифицированное соотношение, например

.                      (16)

Соотношение (14) можно модифицировать на основании численного исследования сходимости итерационного метода Шварца в конкретных задачах МДТТ. Без ограничения общности положим . Итерационный параметр , используемый в формуле (9) для коррекции компонент вектора перемещения на четных итерациях, вычисляется по формуле

,                                           (17)

где  и  – нормы вектора перемещения  узла m и вектора перемещения  сходственной точки s соответственно. Возможно также использование различных коэффициентов для различных компонент вектора перемещения :

                                         (18)

где , ,  и  – проекции векторов перемещений  и  на направление осей  и  соответственно. Также возможно использование различных коэффициентов для нормальных и касательных компонент вектора перемещений:

                                       (19)

где  и  – проекции вектора перемещений  точки s контактной поверхности   тела , сходственной для узла m тела А, соответственно на внешнюю нормаль  и касательную  в этой точке;  и  – проекции вектора перемещений  узла m  соответственно на внешнюю нормаль  и касательную  в сходственной точке s (Рис. 1).

Рисунок 1. Векторы касательной  и нормали 

Соотношения

 и                             (20)

и аналогичные соотношения для отдельных компонент выполняются автоматически.

Итерационный параметр , используемый в формуле (8) для коррекции компонент вектора сил  на контактной поверхности на нечетных итерациях, вычисляется по формуле

,                                             (21)

где  – норма вектора контактных сил  в узле m,  – норма вектора контактных сил  в точке s, сходственной для узла m. Соотношение (21) можно также переписать в покомпонентной форме

                                              (22)

где , , и  – проекции векторов контактных сил  и  на направления осей  и  соответственно. Также возможно использование различных итерационных параметров для нормальных и касательных компонент вектора  в виде

                                              (23)

где  и  – соответственно проекции вектора контактных сил  в точке s контактной поверхности   тела , сходственной для узла m тела А, на внешнюю нормаль  и касательную  в этой точке;  и  – соответственно проекции вектора контактных сил  в узле m на внешнюю нормаль  и касательную  в сходственной точке s (Рис. 1).

Соотношения

 и                                 (24)

также выполняются автоматически.

Вычислительные эксперименты на ряде задач МДТТ показали, что применение формул (17) и (21) для нахождения итерационных параметров  и  приводит к сходимости за существенно меньшее число итераций, чем при фиксированных значениях этих параметров.

Комплекс программ, реализующий описанный алгоритм, использовался для численного решения ряда задач, в том числе в сравнении с известными аналитическими решениями [3]. Для иллюстрации изменения итерационных параметров решена задача о контактном взаимодействии двух неравномерно нагретых тел прямоугольной формы. Расчетная схема приведена на Рис. 2. К верхней границе верхнего тела приложена вертикальная распределенная нагрузка. Упругие характеристики обоих тел соответствуют стали 40Х. Температура обоих тел линейно изменяется от правой границы верхней пластины до оси закрепления   вдоль оси .

Характер изменения коэффициентов  и  в ходе итерационного процесса в низшей точке цилиндра приведен на Рис. 3 и 4 соответственно. Важно отметить, что проведенные расчеты показали, что использование формул (18) и (22) или (19) и (23) не увеличивают скорость сходимости по сравнению с формулами (17) и (21).

Рисунок 2. Постановка задачи

Рисунок 3. Изменение параметра  

Рисунок 4. Изменение параметра 

Выводы:

На базе альтернирующего метода Шварца разработан алгоритм решения задач контактного взаимодействия в рамках конечно-элементной технологии. Создан комплекс прикладных программ. Выполнен цикл численного моделирования контактного взаимодействия упругих тел. Рассмотрены различные варианты выбора итерационных параметров.

Список литературы:
1. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.: Мир, 1986. – 318 с.
2. Можаровский Н.С., Качаловская Н.Е. Приложение методов теории пластичности и ползучести к решению инженерных задач машиностроения: В 2 т. Т. 2: Методы и алгоритмы решения краевых задач. – К.: Выща школа, 1991. – 287 с.
3. Яковлев М.Е. Математическое моделирование поликонтактного взаимодействия. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. – 2012. – Специальный выпуск № 2 «Математическое моделирова-ние в технике» – с. 219 – 224.
4. Цвик Л.Б. Принцип поочередности в задачах о сопряжении и контакте твердых деформируемых тел. // Прикл. Мех. – 1980 – т. 16, Ш I – С. 13-18.
5. Можаровский Н.С., Овсеенко А.б., Рудаков К.Н. Решение контактных задач методом конечных элементов. Сообщение 1. Описание алгоритма // Известия Вузов. Машиностроение. 1989. № 6. С. 3–8.
6. Цвик Л.Б., Пинчук Л.М., Погодин В.К. К выбору параметров итерационных методов сопряжения решений в контактирующих телах // Проблемы прочности. 1985. № 9. С. 112–115.