Об одном подходе к построению и аппроксимации функций принадлежности

Исследование сложных объектов предполагает необходимость оперирования большим количеством лингвистических переменных, что значительно усложняет реализацию алгоритмов нечеткого вывода, в то же время хранение и ввод-вывод нечетких информация, а также отсутствие в определенных ситуациях четкого представления о характере распределения функции принадлежности, которые, как правило, являются унимодальными и нормальными стимулируют использование моделей, неразрывно связанных с нечеткими моделями оптимизации и принятия решений. Если под первыми из них часто понимают модели нечеткого математического программирования, основной задачей построения которой считают поиск экстремума целевой функции, то под вторыми – выбор на заданном множестве альтернатив, который предполагает использование понятий нечеткого множества, функции принадлежности лингвис­тической переменной, распределение возможностей и т.д. (1). Решение указанных проблем рассматри­вается в плоскости специфики построения указанных функций, а также реализации операций над нечеткими числами и с самими нечетными множествами, относительно принципов их сравнения, упорядочения и учета природы нечеткости исходной информации.

Важнейшим средством решения указанных задач считается лингвистический подход, предпо­лагающий представление критериев и бинарных отношений средствами нечеткой логики с истинностными значениями лингвистического харак­тера. Исследования показывают, что исполь­зование указанного подхода требует решение задач, связанных с построением функций принадлежности и механизмов обеспечения реализаций прагмати­ческих операций над нечеткими множествами и числами.

Построение функций принадлежности является важнейшей задачей теории нечетких множеств, поскольку, будучи характеристической функцией, основывается на способы формализации нечеткости. При этом сама функция принадлежности может быть построена исходя из соображений адекватности сути контекста на основе методологии понимания нечеткости. Так, сложность или неточность измерения интенсивности некоторого свойства объекта непосредственно влияет на ее задание вне зависимости от того, каковы объективные причины восприятия этого свойства экспертами.

Задание функции принадлежности основывается на ее существующие свойства, в первую очередь, монотонности, симметричности, непрерывности первой производной и т.д., а также характеристики неопределенности, показателя размытости объекта и функциональной зависимости. Во многих случаях характеристическая функция строится в условиях нехватки информации, двусмысленности и противоречивости, в других Х - задают множество ее уровня α и степени принадлежности элементов к нечетному множеству рассчитываются на основе вероятностей выборки объектов для заданный α - уровней. Функция принадлежности строится также на основе выборки и априорной информации, содержащей ограничения характеризующие ее. При недостаточности данных для обеспечения оптимальности свойств функций используются эвристические методы их определения, а их целесообразность исследуется экспериментальными подходами.

Пусть объекты { } характеризуются свойствами { } и признаками {f_k}, (i = ̅1, ̅n, j = ̅1, ̅m, k = ̅1, ̅l, имеющими операционный смысл. Введем лингвистическую переменную, ее термы: число (очень малое, малое, среднее, большое, очень большое) и их обозначения: с(с₁, с₂, …….с₅). Пусть также исходный ряд свойств является ранжиро­ванным рядом и составляет универсальное множество Х, на котором определены нечеткие подмножества. Областью значений функций принадлежности примем отрезок [0,1] и будем считать, что нечеткое множество характеризуется случаем S нечетких множеств, задаваемых парой (Х,М), где М:Х → S. Здесь в качестве конечного линейно-упорядоченного множества примем расширенный или сжатый список термов лингвистическое переменной «Число». Произведем оценку {f_k} на основе задания функций принадлежности, что может быть осуществлено, к примеру, экспоненциальными функциями вида:

Будем рассматривать лингвистическую аппро­кси­мацию множеств, под которой понимают определение таких значений лингвистической переменной С_k € C_k, для которых мера сходства µ_{b ,} с нечетким соответствует µ_b*€ Ƭ(k^e), характеризующим вектор значений лингвистической переменной С^*=(С₁^*,……..,С_е^*) является максимальной , здесь С_к⇔µ_ck:Y_k →[0,1] нечеткие подмножества , соответствующие значениям лингвистической переменной С_к .

Рассмотрим подход, основанной на аппрокси­мации универсального множества значений истинности х=0+0.1+….+0.9+1 нечеткими подмно­жествами , а терм-множество состоит из трех элементов Т (истинный) = истинный + неистинный , но и не ложный + ложный. Нечеткие подмножества истинный и ложный определены значениями

Истинный =0.5/0.7+0.7/0.8+0.9/0.9+1/1

Ложный=0.5/0.3+0.7/0.2+0.9/0.1+1/0

А их определение, с учетом лишь основных элементов

Не истинный =0.5/0.7+0.3/0.8+0.1/0.9+0/1

Не ложный=0.5/0.3+0.3/0.2+0.1/0.1+0/0

Для формирования терм-множеств остается вычислить значение подмножества не истинный, но и не ложный. Поскольку,

Истинный  не истинный =0.5/0.7+0.3/0.8+0.1/0.9+0/1

Ложный  не ложный=0.5/0.3+0.3/0.2+0.1/0.1+0/0,

а закон противоречия в нечеткой логике в общем случае не выполняется, о чем свидетельствуют элементы 0.5/0.7 и 0.5/0.3, соответствующих связанных термов, то можно априорно утверждать, что они в свою очередь являются и элементами искомого подмножества, как и 1/0.5 в следствии унимодальности и нормальности центрального лингвистического терма. Следует иметь в виду, что первые два элемента соответствуют точкам перехода указанного множества, в то время как третий - его -срезу, промежуточные значение которого опре­делим, как статистическое среднее от вычисленных ранее 1/0.5, 0.5/0.3 и 1/0.5, 0.5/0.7 (по причине симметрии унимодальных функций принадлежности)

(1+0.5)/2=0.75 0.8

Основные элементы подмножества «не истинный, но и не ложный»: 0.8/0.4 и 0.8/0.6.

Примем теперь 1/0.5 за центральный элемент с номером 1 и нулевым изменением степени принадлежности, тогда 0.8/0.4 второй элемент, со значением принадлежности на 0.2 меньше предыдущего, 0.5/0.3 третий, значение которого на 0.3 меньше и т.д.

Получаем

В результате проведенных исследований отмечены некоторые проблемы, связанные с определением функций принадлежности, а их решение представляется в плоскости учета специфики ее построения на лингвистической основе. При этом оптимальность свойств функций обеспечивается аппроксимацией универсального множества, которая реализована на основе приведенного подхода.