Применение полумарковских моделей восстанавливаемых систем для расчета основных показателей надежности электровозов переменного тока

АННОТАЦИЯ

На основе полумарковских моделей восстанавливаемых систем с не экспоненциальными распределениями времен безотказной работы и восстановления дана оценка стационарных показателей надежности электровозов с асинхронным двигателем переменного тока. При этом эксплуатация электровозов рассматривается как суперпозиция независимых альтернирующих полумарковских процессов.

Приведены расчеты коэффициента готовности, средней стационарной наработки на отказ и среднего стационарного времени восстановления для электровозов железной дороги Азербайджана.

ABSTRACT

On the basis of Polumarkov models of the restored systems with not exponential distributions of times of no-failure operation and restoration an assessment of stationary indicators of reliability of electric locomotives with the asynchronous engine of alternating current is given. At the same time operation of electric locomotives is considered as superposition of independent alternating Polumarkov processes.

Calculations of availability quotient, average stationary time between failures and average stationary time of restoration for electric locomotives of the railroad of Azerbaijan are reviewed.

Ключевые слова: полумарковский процесс, процесс марковского восстановления, обычный процесс восстановления, фазовое укрупнение системы, альтернирующий процесс, считающий процесс, фазовое пространство системы, асинхронный двигатель постоянного и переменного тока.

Keywords: Polumarkov process, a process of Markov restoration, the usual process of restoration, phase integration of the system, the alternating process considering the process, phase space of the system, the asynchronous engine of direct and alternating current.

Полумарковский процесс (ПМП), введенный в 1950-х годах П.Леви, В.Смитом и Л.Такачем, как и цепь Маркова, является скачкообразным случайным процессом. В отличие от цепи Маркова, в которой обязательным требованием является показательность распределения времени пребывания в каждом состоянии, в полумарковском процессе это распределение может быть не экспоненциальным. Взамен потери свойства марковости траекторий процесса появляется возможность охватить широкий класс восстанавливаемых систем и систем массового обслуживания, описание которых невозможно с помощью цепей Маркова [1-3].

В [2] рассматриваются классы ПМП, моделирующие поведение восстанавливаемых систем с полнодоступным (неограниченным) восстановлением и реализуемые как суперпозиция независимых полумарковских процессов с конечным числом состояний, что подразумевает экспоненциальность исходных распределений. В случае систем с неполнодоступным (ограниченным) восстановлением выдвигалось дополнительное предположение о «быстром» восстановлении (по сравнению со временем безотказной работы), что позволило использовать предельные теоремы асимптотического фазового укрупнения.

В книге [3] в качестве класса ПМП, моделирующих функционирование восстанавливаемых систем с различными типами резервирования, ограниченным и неограниченным числом восстанавливающих устройств, вводятся суперпозиции как независимых, так и зависимых ПМП с общим (вообще говоря, бесконечным числом состояний) фазовым пространством. В этом классе можно исследовать любую из систем, приведенных, например, в справочнике [4], без дополнительных ограничений типа экспоненциальности исходных распределений.

Проблема моделирования сложных технических восстанавливаемых систем с помощью полумарковских процессов остается актуальной и в настоящее время, являясь предметом исследования ученых стран СНГ [5-7] и дальнего зарубежья [8-10].

В данной работе для анализа надежности эксплуатации электровозов с асинхронным двигателем переменного тока используется подход, основанный на полумарковских процессах и процессах Марковского восстановления, аппарат исследования которых разработан в [1] и получил дальнейшее развитие в работах [2,3].

1. Процессы Марковского восстановления.

Процессы Марковского восстановления (ПМВ) появляются в результате анализа структуры траекторий Марковских процессов. При естественных условиях регулярности траектории скачкообразных Марковских процессов ведут себя так, что в каждом состоянии фазового пространства Марковский процесс пребывает случайное время, имеющее показательное распределение с пара-метром, зависящим от состояния процесса; затем происходит скачок (мгновенный переход) в новое состояние в соответствии с распределением вероятностей перехода цепи Маркова с дискретным временем и т.д. Таким образом скачко-образный однородный Марковский процесс конструктивно может быть задан стохастическим ядром, определяющим вероятности перехода цепи Маркова, задающей изменения состояний процесса, и не отрицательной функцией на состояниях, задающей параметры показательно распределенных случайных величин, определяющих времена пребывания в состояниях процесса между соседними скачками.

Обобщением такой конструкции скачкообразных процессов явилось понятие полумарковских процессов (ПМП). Изменение состояний этих процессов также управляется дискретной цепью Маркова, называемой вложенной цепью Маркова (ВЦМ), а времена пребывания в состояниях между соседними скачками имеют произвольные функции распределения, зависящие от состояния процесса. Таким образом, для конструктивного задания полумарковских процессов исходным материалом служит последовательность, первая компонента которой  образует однородную цепь Маркова, фиксирующую состояние процесса на -м шаге (после -го скачка), а вторая компонента  фиксирует время пребывания системы в состоянии . Двухкомпонентная последовательность  является однородной цепью Маркова, переходные вероятности которой не зависят от значений второй компоненты (время пребывания в предыдущем состоянии не влияет на время пребывания в данном состоянии и изменение данного состояния). Такая цепь Маркова  и называется процессом Марковского восстановления (ПМВ). Времена пребывания  оказываются условно независимыми случайными величинами при фиксированной траектории вложенной цепи Маркова  [2].

Для моделирования системы в виде ПМВ необходимо, чтобы состояния системы обладали полумарковским свойством, т.е. последовательность  изменений состояний системы должна составлять однородную цепь Маркова, а интервалы между соседними моментами изменения состояний  должны быть условно независимыми на цепи Маркова . Вместе с тем, всегда имеется возможность расширения фазового пространства физических состояний до полумарковских состояний [1].

При моделировании восстанавливаемых технических систем (ВТС) с помощью цепей Маркова и связанных с ними случайных процессов методически обосновано введение фазового пространства, представляемого парой , где  – пространство полумарковских физических состояний , где  – вектор (кортеж), компоненты которого удобным образом кодируют физические состояния всех  элементов системы, например, 1 – эле-мент после восстановления включился в работу; 0 – элемент отказал и начал восстанавливаться; 2 – элемент отказал и встал в очередь на восстановление (в случае ограниченного числа восстанавливающих устройств (ВУ));  – множество всех борелевских подмножеств пространства полумарковских состояний . Элементы  пространства  имеют вид,  либо , где вектор , одна из компонент которого равна нулю, указывает на времена, прошедшие с момента последних изменений состояний соответствующих элементов. Дело в том, что если ни одна из функций распределения , ,   ( и  – соответственно функция распределения времени безотказной работы (ВБР) и времени восстановления (ВВ) -го элемента) не является экспоненциальной, то нельзя построить вложенную цепь Маркова (ВЦМ) с множеством полумарковских (физических) состояний . Возможность построить ВЦМ появляется после расширения состояний из  до полумарковских состояний из , вводя непрерывные компоненты [3].

2. Система «p из n» с отключением после отказа.

Рассмотрим систему из  независимо функционирующих элементов. Пред-положим, что функционирование каждого -го элемента описывается альтернирующим процессом восстановления с временем безотказной работы (ВБР)  и временем восстановления (ВВ) . Система считается работоспособной, когда работает не менее  элементов (в рассматриваемых нами в разделе 4 примере функционирования железнодорожного локомотива ). Для определенности будем считать, что в начальный момент времени   все элементы начинают работать. Определим основные надежностные характеристики системы: стационарный коэффициент готовности , средняя наработка на отказ   и среднее время восстановления .

Предположим, что выполняются условия:

А₁. Случайные величины (СВ)  – ВБР элементов,  – ВВ элементов,  ( - количество элементов в системе) независимы в совокупности и имеют ограниченные средние , .

А₂. Функции распределения (ФР) СВ  и ,,  и  соответственно, абсолютно непрерывны относительно меры Лебега.

Моделируем функционирование каждого -го элемента полумарковским процессом (ПМП)  с множеством состояний  и полумарковской матрицей

Начальное распределение по условию задачи . Процесс  принимает значение 1, если -й элемент в момент времени  работает, и значение 0, если в момент времени  он восстанавливается.

По недоскокам , , процессов , , определяем в каждый момент времени  минимальный недоскок  и недоскоки исходных процессов в момент ближайшего в прошлом скачка одного из них . Рассмотрим полумарковскую суперпозицию процессов , т.е. ПМП  с начальным распределением .

Пусть  есть -мерный двоичный вектор такой, что , . Обозначим , т.е.  равно количеству единиц в векторе . Пусть  – множество всевозможных -мерных двоичных векторов. Положим , т.е.  есть -мерный вектор с неотрицатель-ным компонентами, одна из которых  обязательно равна нулю. Мно-жество всевозможных векторов  обозначим через .

Множество состояний процесса  запишется в виде . Исходя из условий задачи, , где , соответствует множеству состояний работоспособности системы, а ,  – множеству состояний отказа системы.

При выполнений условий  справедливы следующие выражения для  и соответственно [3]:

где  определяются соотношением

Формулы (1)-(3) дают точное соотношение для вычисления стационарных показателей надежности систем с независимо функционирующими элементами, причем

Покажем применение формул (1)-(3) для расчета стационарных показателей надежности электровозов переменного тока с асинхронным тяговым двигателем.

Пример. Пусть для электровозов марки  с асинхронным тяговым двигателем переменного тока, планируются эксплуатации на железной дороге Азербайджанской Республики, имеются нижеследующие данные о внеплановых ремонтах в 2016 г., связанных с нарушениями малой зубчатой шестерни (МЗШ)) – , компрессора (К) - , пантографа (П) -  и тягового двигателя (ТД) - :

а) KZ 12:12.02.2016 – МЗШ (40ч.), 01.03.2016 – МЗШ (46ч.), 21.03.2016 – К (14ч.), 01.04.2016 – П (5ч.), 20.06.2016 – ТД (24ч.);

б) KZ 17:08.01.2016 – TD (15ч.), 11.01.2016 – TD (11ч.), 07.06.2016 – П (4ч.), 06.09.2016 – М3Ш (200ч.).

Из данных для KZ 12 находим

;  ; .

Следовательно, для   будем иметь:

; , , , .

Применяя формулы (1)-(3), получим:

Из данных для KZ 17 находим:

  ;  ;  

.

Следовательно,

; , , , .

Вычисления по формулам (1)-(3) дают:

Нетрудно убедиться в том, что полученные значения показателей  и  для KZ 12 и KZ 17 удовлетворяют равенству (5).

Усредняя показатели  и  по рассмотренным электровозам марки KZ, получим средние значения  и   показателей  и :

Таким образом, по показателям  и  можно судить о надежности каждой марки электровозов, эксплуатируемых на данной железной дороге, и выбирать лучшую из них как по степени их подготовки  к концу исследуемого временного периода, так и по средней наработке  и среднему времени ремонта .      Кроме того, по показателям  и  можно проводить сравнение уровней надежности электровозов переменного и постоянного тока.

Формулы (1)-(3) могут быть применены для расчета стационарных показателей надежности различных типов сложных систем с отказами, имеющими не экспоненциальные функции распределения наработки на отказ и времени восстановления.

Список литературы:
1. Борисевич А.В., Дякин Н.В. Полумарковская модель для оценки показателей надежности источника беспе-ребойного питания дата-центра //Современные научные исследования и инновации, 2015, №8. Ч.I.
2. Зеленый О.В., Носовский А.В., Стадник О.А. Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС //Проблемы безпеки атомных електростанций I Чернобиля ВИП.7 2007, 30-40.
3. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. – Киев: Наукова думка.
4. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы Марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наукова думка, 1982.
5. Корлат А.Н., Кузнецов В.Н., Новиков М.М., Турбин А.Ф. Полумарковские модели восстанавливаемых си-стем и систем массового обслуживания. Кишинев: Штиница, 1991.
6. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автомати-ки. М.: Сов.радио, 1975.
7. Копп В.Я., Обжерин Ю.Е., Песчанский А.И. Стохастические модели автоматизированных производствен-ных систем с временным резервированием. – Севастополь, 2000.
8. Grabski F. Applications of semi-Markov processes in reliability //RTA №3-4, 2007, December-Special Issue, 66-75.
9. Grabski F. Semi-Markov failure rates processes //Applied Mathematics and Computation, 217 (2011), p.p.9956-9965.
10. Limnios N. and Oprisan. Semi-Markov Processes and Reliability. Boston, Birkhauser (2001).