К расчету мальтийского механизма

АННОТАЦИЯ

Актуальность и цель. Объект исследования – мальтийский механизм внешнего зацепления. Такие механизмы широко применяются в автоматизированных линиях укладки штучных продуктов машин. Кинематика мальтийских механизмов с радиальными пазами изучается в теории механизмов. Однако, динамика таких механизмов и мальтийские кресты со смещенными пазами в учебной литературе не представлены. Задача состоит в разработке компьютерной модели функционирования мальтийского механизма со смещенными пазами.

Материалы и методы. В основу компьютерной модели мальтийского механизма положены методы кинематики точки, позволяющие проще объяснить вывод выражений для угловой скорости и углового ускорения мальтийского креста. Динамика механизма исследуется методами теоретической механики.

Результаты. Приведены алгоритм и пример использования компьютерной модели, позволившей просчитать геометрические и кинематические параметры мальтийского механизма автоматизированной линии укладки штучных продуктов в тару, оценить энергоемкость и коэффициент полезного действия линии.

Новизна. Предложена теория расчета мальтийского механизма, оснащенного крестом со смещенными пазами.

Выводы. Мальтийский механизм, оснащенный крестом с радиальными пазами, обеспечивает коэффициент движения креста (отношение времени движения креста ко времени движения и стояния) из ограниченного набора значений. Мальтийский механизм, оснащенный крестом со смещенными пазами, обеспечивает любой заданный коэффициент движения. Компьютерная модель позволяет рассчитать характеристики механизма. Повышение эффективности и коэффициента полезного действия мальтийского механизма с заданным коэффициентом движения достигается изменением числа пазов, а не числа цевок.

ABSTRACT

Background. The object of research is Maltese mechanism with external gearing. Such mechanisms are widely used in automated lines laying piece products. The challenge is to develop a computer model of the Maltese mechanism with offset grooves.

Materials and methods. The computer model methods are based on kinematics of the point, allowing easier to explain output expressions for angular velocity and angular acceleration of the Maltese Cross. Dynamics is studied with methods of theoretical mechanics.

Results. The algorithm and the example of computer model using are presented. It allows to calculate the geometrical and kinematical characteristics of Maltese mechanism for automated line of packing of piece products in containers, evaluate the energy consumption and efficiency of the line.

Novelty. It is proposed calculation theory of Maltese mechanism with a cross with offset grooves.

Conclusions. Maltese mechanism equipped with a cross with radial grooves, provides traffic coefficient (the ratio of the cross movement time at the time of movement and standing) from a limited set of values. Maltese mechanism equipped with a cross with offset grooves, provides any given movement coefficient. Thе сomputer model allows to calculate characteristics of the mechanism. Improving the effectiveness and efficiency of Maltese mechanism with specified coefficient of movement is achieved by changing the number of groove rather than the number of cevoks.

Введение

Мальтийские механизмы внешнего зацепления находят применение в автоматизированных линиях укладки штучных продуктов в тару. В учебной литературе теория мальтийских механизмов, как правило, ограничена кинематикой диска и креста механизма с радиальными пазами [1, 3, 4].

Статья посвящена разработке компьютерной модели функционирования мальтийского механизма, оснащенного крестом со смещенными пазами. Крест с радиальными пазами служит частным случаем первого, если в нем смещение пазов принять нулевым. Показаны достоинства и недостатки смещения пазов.

1. Объект исследования и основные обозначения

Мальтийский механизм предназначен для преобразования непрерывного вращательного движения диска (кривошипа, водила) в периодическое вращательное или поступательное прерывистое движение креста (рис. 1).

Ведущим звеном мальтийского механизма служит диск (кривошип) 1 со стопорной шайбой 2 и пальцем (цевкой) 3; ведомым звеном − мальтийский крест 4 с пазами 5.

Введем следующие обозначения (рис. 1, 2):  – число пазов креста;  – число цевок; ,  – время движения креста и время стояния креста соответственно между входами цевки (цевок) в паз креста, с;  – коэффициент движения мальтийского механизма; ,  – угол поворота диска на первой и второй фазах движения соответственно, рад; ,  – угол поворота креста на первой и второй фазах движения соответственно, рад;  – расстояние между осями вращения (центрами) диска и креста, м;  – смещение паза (оси паза, повернутой против хода вращения креста), м; ,  – расстояние между центром цевки и центром диска и креста соответственно, м; ,  – радиус цапфы диска и креста соответственно, м; ₁, ₂ – угловая скорость диска и креста соответственно, рад/с; ₂ – угловое ускорение креста, рад/с²; f – коэффициент трения скольжения цапфы со втулкой во вращательной паре; µ – коэффициент трения скольжения цевки с крестом;  – величина нормальной реакции креста (паза), действующей на цевку, Н;  – сила трения, действующая на цевку, Н; I – момент инерции креста и приводимых им звеньев, приведенный к оси вращения креста, кг м²;  – величина момента пары движущих сил, действующих на диск;  – величина момента пары сил полезного сопротивления, действующих на крест и приводимые им звенья, приведенный к оси вращения креста, Н м; ,  – момент пар сил трения между втулкой стойки и соответственно цапфой диска и креста, Н м;  – мощность момента пары движущих сил, Вт;  – коэффициент полезного действия.

2. Формулировка задачи

Задача состоит в разработке компьютерной модели мальтийского механизма внешнего зацепления, позволяющей теоретически оценивать кинематические, динамические и энергетические характеристики мальтийского механизма, оснащенного крестом с радиальными и смещенными пазами.

3. Структурный анализ

Простейший трехзвенный мальтийский механизм содержит два подвижных звена () и три кинематические пары: две пары пятого класса (), то есть пару A, образованную диском 1 и стойкой 0, и пару B , образованную крестом 5 и стойкой 0, и одну пару С второго класса (), образованную цевкой (пальцем) диска и крестом (рис. 1). Мальтийский механизм с парой второго класса отнесем к механизмам первого семейства [1]. Число  степеней свободы такого механизма определим по модифицированной И. И. Артоболевским формуле Сомова-Малышева: .

При насаживании на палец ролика добавляется четвертое звено и одна пара пятого класса, образованная роликом и пальцем диска : .

Мальтийский механизм имеет одну степень свободы, одну контурную избыточную связь и при установке ролика − одну локальную подвижность (вращение ролика).

4. Фазы движения креста

Движение креста с равномерно расположенными цевками содержит три фазы: вращение при сближении центра цевки с центром креста, вращение при удалении цевки от центра креста и стояние после выхода цевки из паза до входа цевки в паз. На первой фазе движения креста диск поворачивается на угол , на второй −  и на третьей − . В крестах с радиальными пазами ось паза в плоскости вращения креста проходит через его центр; в крестах со смещенными пазами ось паза не пересекает центр креста. Смещение h паза равно расстоянию от центра креста до оси паза в плоскости вращения (рис. 2). Отметим, что в момент входа цевки в паз вектор скорости центра цевки направлен по оси паза. Смещение радиального паза равно нулю.

По определению,

                                             (1)

Углы поворота диска, а также углы поворота креста на обеих фазах движения креста равны (рис. 2), или ; ; и при постоянной угловой скорости диска справедливы равенства

                                              ; .                                   (2)

Между углами  и  имеет место геометрическая связь (рис. 2):

Подставляя в последнее равенство выражения   из формул (2), перепишем его так:

                                      .                          (3)

Равенство (3) позволяет сделать ряд выводов:

1) число  пазов креста не может быть меньше трех;

2) число цевок не может быть меньше двух, если время движения креста превышает время стояния ();

3) для креста с радиальными пазами  имеет место равенство

                                                     ;

это равенство показывает, что время движения и время стояния креста с радиальными пазами нельзя назначать произвольно (табл. 1);

1. Коэффициент движения креста : 

4) назначать без ограничений время движения и стояния креста путем подбора смещения пазов или отношения  можно только в механизмах, оснащенных крестом со смещенными пазами.

По условиям,

                                              ;                                       (4)

4. Кинематика мальтийского креста

Рассмотрим треугольник O₁PO₂ с вершинами в центрах диска O₁, креста O₂ и цевки P в момент входа в паз и выхода из паза (рис. 2). Из треугольника можно найти углы поворота диска и креста на первой и второй фазах движения креста:

                               ;    ;                                (5)

                              ;     .                         (6)

Пусть ,  − острые углы треугольника O₁PO₂ в момент нахождения цевки в пазу (рис. 3). При этом угол  связан с углом  поворота диска: . Углы и стороны треугольника связаны такими равенствами:

                              ; .                         (7)

Формулы (7) позволяют найти угловую скорость и угловое ускорение креста. Однако, для анализа вращения креста удобнее воспользоваться теоремами сложения скоростей и ускорений центра P цевки.

Пусть , ,  – величины абсолютной скорости, скорости относительно креста и переносной вместе с крестом скорости центра цевки. В отличие от креста с радиальными пазами вектор скорости центра цевки относительно креста со смещенными пазами направлен не к центру креста, а под углом  к прямой, соединяющей центры цевки P и креста O₂ (рис. 4 a):

                                                  (8)

 Как следует из теоремы о сложении скоростей [2], проекции абсолютной и переносной скорости центра цевки на ось, перпендикулярную вектору его относительной скорости, равны:

                              .

Принимая во внимание, что ; , последнее равенство можно записать так:

                                      .                                       (9)

Анализ выражения (9) показывает, что в момент входа цевки в паз креста, когда , угловая скорость креста равна нулю, то есть вход осуществляется без жесткого удара. В момент выхода цевки из паза имеем ; и угловая скорость креста не равна нулю, то есть в момент выхода цевки из смещенного паза имеет место жесткий удар.

Пусть , , , ,  – величины абсолютного ускорения, ускорения относительно креста, касательного и нормального ускорения вместе с крестом и кориолисова ускорения центра цевки (рис. 4 b). Как следует из теоремы о сложении ускорений [2], проекция абсолютного ускорения центра цевки на ось, перпендикулярную вектору его относительного ускорения, равна сумме проекций переносного и кориолисова ускорений:

или

  ,

так как при равномерном вращении диска

 ; ; ;

 .

Отсюда найдем :

                        .            (10)

Анализ формулы (10) показывает, что в момент входа цевки в паз креста, когда , угловое ускорение креста не равно нулю, то есть в этот момент имеет место мягкий удар.

Формулы (7)..(10) устанавливают связи между углом поворота диска и углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением креста на обеих фазах движения. В случае креста с радиальным пазом в них следует принять .

5. Динамика мальтийского креста

На цевку со стороны креста действует сила , равная равнодействующей сил и :

; .

Учитывая приятые обозначения, уравнение вращения диска вокруг оси O₁ с постоянной угловой скоростью можно записать так (рис. 5):

 ,    (11)

где ;      ; ;

         – знак разности  и «+» при нулевой разности.

Полагаем, что центр масс диска совпадает с центром  и неподвижен. Тогда из уравнения его движения следует, что сила  равна реакции опоры цапфы вала диска; и момент  пар сил трения определяется так:

                                      .

Учитывая, что реакции цевки и креста в точке взаимодействия равны по величине и направлены противоположно, запишем уравнение вращения креста в таком виде:

или

                       ,                          (12)

Равенства (11), (12) позволяют оценить мощность момента  и коэффициент полезного действия мальтийского механизма с радиальными и со смещенными пазами:

                                              ;                                           (13)

                                              .                                    (14)

6. Алгоритм расчета

1. Задаем исходные данные в виде таблицы 2:

2. Обозначения параметров, единицы измерения и величины

2. Приводим исходные данные к единицам измерения в системе СИ.

3. Вычисляем коэффициент  движения по формуле (1): .

4. По таблице 1 определяем число  пазов креста и число  цевок на диске. Если точное значение  в таблице найдено, принимаем смещение паза нулевым: . Если точное значение  не найдено, находим ближайшее к нему большее значение в таблице 1 и соответствующие ему  и .

5. Определяем смещение  паза из равенства (3), если при выполнении пункта 4 точного значения  в таблице 1 не найдено:

                              .

6. Вычисляем угловую скорость диска по формуле (4):        .

7. Вычисляем углы поворота диска на фазе сближения  цевки с крестом и удаления  от креста по формулам (2) и (5): ; .

8. Вычисляем расстояние  между центром вращения диска и центром цевки из равенства (5):        .

9. Вычисляем угол поворота креста на фазе сближения  цевки с крестом и удаления  от креста по формулам (2) и (6): ; .

10. Вычисляем расстояние между центром креста и дальним  и ближним  концами паза по формулам ; .

11. Назначаем шаг  параметра , возрастающего от 0 до . Принимаем . На каждом шагу определяем

1) углы ,  и расстояние  между центрами креста и цевки по формулам (7): ; ; ;

2) угол  между осями паза и прямой, соединяющей центры цевки A и креста O₂ по формуле (8): ;

3) угловую скорость  креста по формуле (9): ;

4) угловое ускорение  креста по формуле (10):

               ;

5) величину  силы давления цевки на крест по формуле (12):

                              ;

6) величину  момента пары движущих сил из равенства (11):

;

7) мощность момента пары движущих сил по формуле (13): ;

8) приращение работы  по формуле ;

9) работу  пары движущих сил в текущем положении диска по формуле: .

12. Строим графики зависимостей величин , , , , , , , W от угла  поворота диска на первой и второй фазах движения креста.

13. Вычисляем коэффициент  полезного действия по формуле (14):

                                                     .

14. Строим графики зависимости функций , , , ,  от , L.

7. Пример расчета

Рассмотрим линию по укладке и упаковке штучных продуктов в тару (рис. 6). Электродвигатель передает вращательное движение через редуктор на ведущее звено (диск) мальтийского механизма. Крест совершает прерывистое однонаправленное вращение. Жестко с крестом связан ведущий вал периодически движущихся ленточных транспортеров. Во время движения креста транспортеры перемещают продукт, а укладчик неподвижен. Во время стояния креста транспортеры неподвижны, схват укладчика в состоянии рабочего хода захватывает продукт на транспортере подачи продукта, перемещает его и помещает в тару на транспортере подачи тары, упаковочная машина упаковывает продукт. За время холостого хода укладчика схват возвращается в исходное положение, после чего движение креста возобновляется. Время цикла операций укладчика равно 2..3 с. Время движения транспортеров равно 1 с.

1. Задаем исходные данные (табл. 3).

3. Обозначения параметров, единицы измерения и величины

2. Оцениваем угловую скорость и максимальную мощность момента пары движущих сил (мощность двигателя) на фазах сближения и удаления, когда время движения и стояния креста равно 4 с , и число пазов  без смещения и число цевок  найдено по таблице 1 (рис. 7).

3. Оцениваем мощность момента пары движущих сил (мощность двигателя) на фазах сближения и удаления, когда время движения и стояния креста равно 3 с (), и по таблице 1 число z пазов равно 3 и число k цевок равно 2, либо число пазов равно 6 и число цевок равно 1 (рис. 8).

Отмечаем, что обеспечение заданного коэффициента движения креста за счет увеличения числа цевок и снижения числа пазов приводит к увеличению мощности двигателя и резкому росту инерционных нагрузок.

4. Оцениваем мощность момента пары движущих сил (мощность двигателя) на фазах сближения и удаления, когда время движения и стояния креста равно 3,5 с , и ближайшее максимальное число по таблице 1 соответствует числу z пазов, равному 5, и числу k цевок, равному 1 (рис. 9).

Отмечаем, что обеспечение заданного коэффициента движения достигается за счет смещения пазов. Максимум угловой скорости креста достигается на фазе удаления цевки от креста. Недостатком смещения паза является жесткий удар диска с крестом на выходе цевки из паза, то есть ненулевая угловая скорость креста в этот момент (рис. 9, a). На выходе из паза диск «подталкивает» крест. Уменьшить эффект удара или полностью избавиться от него позволит сглаживание угла паза или выполнение шарнирного соединения углового края паза с подпружиниванием. Другой способ «сглаживания» удара состоит в подпружинивании стопорной шайбы или стопора на кривошипе так, чтобы крест останавливался не мгновенно. При переходе цевки из фазы сближения с крестом к фазе удаления мощность скачкообразно уменьшается за счет изменения направления силы трения, действующей на нее, и уменьшения момента действующих на крест сил относительно его оси вращения. При назначенных исходных данных скачок момента − незначительный (рис. 9 b).

5. Оцениваем размер диска (расстояние  между центрами диска и цевки), смещение h паза, расстояние между центром креста и ближней  и дальней  креста, смещение паза и расстояния от центра креста до ближнего и дальнего  конца паза (рис. 10).

6. Отмечаем, что заданный коэффициент движения выгоднее обеспечить за счет изменения числа пазов без увеличения числа цевок (рис. 11). Например, чтобы обеспечить коэффициент движения равным 1/3, выгоднее установить одну цевку и шесть пазов, чем две цевки и три паза.

Выводы

1. Компьютерная модель функционирования мальтийского механизма, оснащенного крестом со смещенными пазами, позволяет рассчитать геометрические размеры диска (кривошипа), креста, паза, оценить угловую скорость креста, угловое ускорение креста, мощность и коэффициент полезного действия.

2. Мальтийский механизм, оснащенный крестом со смещенными пазами, обеспечивает заданный коэффициент движения креста.

3. Повышение эффективности и коэффициента полезного действия мальтийского механизма с заданным коэффициентом движения креста достигается изменением числа пазов, а не числа цевок.