Метод аппроксимации сложных поверхностей развертывающимися поверхностями

АННОТАЦИЯ

В данной научной работе рассмотрены вопросы, связанные с применением метода аппроксимации поверхностей сложной геометрической природы линейчатыми развертывающимися поверхностями. Приведены примеры моделирования поверхности. Обоснована актуальность моделирования поверхностей в настоящее время. В статье отражено, что аппроксимация линейчатых поверхностей представляет собой важную техническую задачу и имеет большое практическое значение при конструировании различных изделий в народном хозяйстве.

ABSTRACT

In this scientific work the questions connected with application of a method of approximation of surfaces of the difficult geometrical nature the line developed surfaces are considered. Examples of modeling of a surface are given. Relevance of modeling of surfaces is proved now. In article it is reflected that approximation of line surfaces represents an important technical task and has great practical value when designing various products in the national economy.

Аппроксимация (моделирование)  поверхностей – это способ, при котором достигается приближенная замена каких-либо исходных сложных геометрических образов более простыми и технологичными, легко описываемыми. В настоящее время моделирование поверхности представляет значительный практический интерес и применяется в различных отраслях человеческой деятельности. Поверхность может быть задана различным, и часто достаточно сложным для данной задачи моделирования образом. В результате можно заменить сложную поверхность  другими, более простыми поверхностями с хорошо известными свойствами, что в известной мере упрощает исследования, связанные с такими поверхностями. Можно, например, аппроксимировать сложную поверхность кусочно-линейной поверхностью второго порядка, простейшими поверхностями вращения или развертывающимися поверхностями.

В данном случае аппроксимация сложных поверхностей развертывающимися поверхностями является наиболее интересной. Так как развертывающиеся поверхности в геометрии  наиболее хорошо изучены, и при этом обладают еще набором свойств, широко используемых на практике при конструировании. Важным из этих свойств можно назвать способность развертываться на плоскость, что имеет большое практическое значение при конструировании различных деталей, а также постоянство касательной плоскости вдоль всей образующей, что очень значимо при упрощении технологического процесса при изготовлении изделия с  развертывающейся поверхностью. Поверхность детали в таком случае можно обрабатывать в прямолинейном направлении, вдоль всей образующей. Вследствие этого технология обработки такого изделия  значительно упрощается.

Применение этого вида моделирования  в различных областях техники является наиболее очевидным, и, таким образом,  именно поэтому заслуживает особый интерес и требует теоретических исследований этой проблемы. И хотя этот вопрос несколько освещен ранее в литературе, но все же требует дальнейшего более детального рассмотрения.

Данная статья призвана рассмотреть общий подход к решению вопроса аппроксимации сложных поверхностей развертывающимися, а также приводятся к рассмотрению частные случаи.

Известно, что положение плоскости в пространстве определяется тремя параметрами, два из которых зафиксируем. Третий параметр предполагается менять по некоторому закону. Допустим, этот третий параметр является функцией некоторой величины p:f(p). Присваивая величине p  значения от –¥ до +¥, мы в результате приходим к бесконечному множеству значений третьего параметра, которые вместе с двумя первыми неизменными параметрами определят бесконечное множество плоскостей, называемых однопараметрическим семейством плоскостей  [2, с. 7].

Поверхность, у которой множество касательных плоскостей совпадает с множеством плоскостей некоторого семейства (α), называют огибающей семейства (α).

Известно, что поверхность линейчатая или совокупность прямых, зависящая от одного параметра можно описать движением прямой (образующей) по некоторой линии (направляющей). Линейчатые поверхности подразделяются на развёртывающиеся и косые.

Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов всеми ее точками. При этом любая развёртывающаяся поверхность является или цилиндром, или конусом, или поверхностью, состоящей из касательных к некоторой пространственной кривой [3, с. 25].

Такую кривую называют ребром возврата развёртывающейся поверхности  (рис. 1). Плоскость P, пересекающая ребро возврата L, образует в сечении с поверхностью некоторую кривую ABC с точкой возврата В. В этом случае, ребро возврата является особой линией развёртывающейся поверхности, вдоль которой две её полости S₁ и S₂ соприкасаются друг с другом.

Рисунок 1. Развертывающаяся линейчатая поверхность

Отметим, что развёртывающиеся поверхности характеризуются также тем, что касательная плоскость к ним в различных точках одной и той же образующей постоянна. Следовательно, совокупность всех касательных плоскостей развёртывающейся линейчатой поверхностью представляет собой однопараметрическое семейство. Другими словами, развёртывающаяся линейчатая поверхность является огибающей однопараметрического семейства плоскостей.

Можно  привести  следующие примеры огибающих. Если определить некоторую плоскость тремя параметрами: точкой  А  на взятой кривой линии L, касательной  Р  к ней в данной точке, и точкой  В, не лежащей на этой линии L, Начнем перемещать точку А  по заданной кривой. В результате перемещения, получим, соответственно, однопараметрическое семейство плоскостей, огибающей которого будет некая коническая поверхность с вершиной в точке  S  и направляющей L.

В случае,  если точку S  удалить в бесконечность, то все плоскости такого семейства будут перпендикулярны некоторой плоскости b, не принадлежащей этому семейству. В результате выполненных действий, огибающей нового семейства плоскостей уже будет цилиндрическая поверхность, образующие которой перпендикулярны плоскости b, и направляющей для которой будет кривая L.

Необходимо обратить внимание, что в зависимости от формы и взаимоположения  исследуемой пары направляющих, они могут определить как одну, так и несколько развертывающихся поверхностей.

Как правило, исключительным образом определяют развертывающуюся поверхность такие две кривые линии, для которых каждая касательная плоскость к одной кривой линии касается другой кривой только в одной-единственной точке.

У косой линейчатой поверхности касательные плоскости в различных точках одной и той же образующей различны. В условиях перемещения точки касания вдоль образующей данная касательная плоскость вращается вокруг образующей. Полный поворот этой касательной плоскости, когда точка касания проходит всю образующую будет равен 180°. На каждой образующей имеется такая точка, что для каждой из двух частей, на которые она делит образующую, полный поворот касательной плоскости равен 90°. Точку О (рис. 2) принято называть центром образующей.

Рисунок 2.  Косая линейчатая поверхность

Таким образом, тангенс угла между выбранными касательными плоскостями к поверхности в центре О, или некоторой точке O' этой образующей пропорционален расстоянию OO'. Множитель пропорциональности, в данном случае, называется параметром распределения линейчатой поверхности.

Отсюда следует, что абсолютная величина полной кривизны линейчатой поверхности достигает на данной образующей наибольшего значения в центре образующей и, соответственно, убывает при удалении от центра по образующей.

Существующее геометрическое место центров таких образующих называется линией сжатия, или стрикционной линией.  В частности, у геликоида — линейчатой поверхности, описываемой равномерным винтовым движением прямой вокруг некоторой оси, которую движущаяся прямая пересекает под прямым углом, такой линией сжатия является ось  AB  (рис. 2).

Кроме того, такие линейчатые поверхности  второго порядка, как гиперболический параболоид, однополостный гиперболоид, имеют две различные системы прямолинейных образующих. Две системы прямолинейных образующих имеют только линейчатые поверхности  второго порядка  [1, с. 32].

Известно, что параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка. В определенном случае гиперболический параболоид может быть образован движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх.

Следует отметить, что однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двухполостный — вокруг действительной. Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

Линейчатые поверхности,  изгибаемые друг на друга,  можно катить одну по другой так, что в результате  процесса качения они будут иметь общую образующую. На этом основано применение линейчатой поверхности  в теории механизмов, архитектуре и строительстве.

В современном мире корпуса самолётов, морских судов, автомобилей,  надземных и подземных сооружений – это всё системы и комплексы сложно образованных поверхностей. Исследуемые линейчатые поверхности  находят свое применение и широко используются в технике, инженерии, при проектировании промышленных и государственных архитектурных зданий и сооружений,  а также дорожных магистралей.

Таким образом,  актуальность исследования и использования методов аппроксимации обусловлена востребованностью линейчатых развертываемых поверхностей, сочетающих в себе массу положительных качеств, в современной архитектуре, строительстве и технике.