Определение передаточных отношений в особом положении шарнирно-четырехзвенных механизмов

АННОТАЦИЯ

Предлагается метод определения передаточного числа шарнирно-четырехзвенных и других видов рычажных механизмов. Рассмотрены предпосылки исследования кинематики ударных механизмов в особом положении звеньев. Выведены уравнения для кривошипно-коромыслового механизма Галловея, и на его основе получены формулы для ударного механизма.

ABSTRACT

A method for determining the gear ratio of four-bar linkage and other types of  linkage is proposed. The prerequisites for studying the kinematics of percussion mechanisms in the special position of links are considered. The derived equation for the Galloway mechanism, and on its basis formulas for the percussion mechanism are derived.

Одной из особенностей шарнирно-четырехзвенного механизма является то, что при одном и том же положении звена l₁ звенья l₂ и l₃ могут иметь два различных положения (рис.1) или две схемы сборки механизма. Если при движении звеньев последовательность расположения точек ВСD по контуру треугольника не изменится, т.е. от не переходит от ВСD к ВDС^I, то можем утверждать, что схема сборки механизма не меняется, соответственно механизм работает по первому закону движения звеньев. Но процессе работы при определенном положении (положениях) звеньев механизм может переходить из одной схемы сборки в другую, соответственно изменяя закон движения звеньев [1]. Назовем условно это положение механизма «особым».

Рисунок. 1. Две схемы сборки шарнирно-четырехзвенного механизма.

В настоящее время из всех шарнирно-четырехзвенных механизмов с особыми положениями практическое применение получили механизмы, способные работать в режиме удара. На основе этих механизмов на базе Инженерной академии КР разработаны и созданы машины ударного действия (перфораторы, молотки, молоты, уплотнительные машины и др.). Причем в этих механизмах удар совершается в особом положении звеньев, когда все звенья встраиваются в одну линию. При этом передаточные отношения u₃₁ и u₂₁ достигают максимальных значений, а при отскоке коромысла (массивного ударного элемента) они изменяются скачкообразно приобретая минимальные значения. Но при этом схема сборки остается прежней. В связи с этим исследование кинематики ударных механизмов в особом положении звеньев приобрело особое практическое значение.

Существуют три вида ударных механизмов с особыми положениями: механизм с наибольшим коромыслом (рис. 2а), механизм с наибольшим шатуном (рис. 2б) и механизм с наибольшим основанием (рис. 2в).

а     б 

в

Рисунок. 2. Шарнирно-четырехзвенные ударные механизмы с особыми положениями: а – механизм с наибольшим коромыслом, б – механизм с наибольшим шатуном, в – механизм с наибольшим основанием.

Произвести кинематический анализ шарнирно-четырехзвенных механизмов с особыми положениями, в частности, определить передаточные отношения u₃₁ и u₂₁ в особых положениях механизмов обычными графоаналитическими методами невозможно, т.к. при этом имеем неопределенность т.е. 0/0. Но ввиду того, что именно в особом положении механизмов происходит удар и отскок возникла потребность определения u₃₁ и u₂₁ другим, специфическим для особого положения механизма, методом.

Сущность данного метода заключается в следующем: строим кинематическую схему исследуемого ударного механизма для его положения, близкого к особому положению (рис. 3). Соединив точки В и D прямой линией, помимо угловых координат звеньев φ₁, φ₂  и φ₃ получим углы α, β и γ. Затем определяем отношения этих углов между собой и углами координат (φ₁, φ₂  и φ₃), и установим к чему стремятся эти отношения при приближении механизма к особому положению. По ним и определяем передаточные отношения u₃₁ и u₂₁ в особом положении механизма. Рассмотрим на примере ударного механизма с наибольшим коромыслом. Вначале выводим уравнения для кривошипно-коромыслового механизма Галловея, затем на его основе получим формулы для ударного механизма [2].

Рисунок. 3. Расчетная схема для определения передаточных отношений в особом положении ударного механизма с наибольшим коромыслом при ударе.

Ввиду того, что в механизме Галловея длина шатуна  равна длине кривошипа , а длина коромысла  равна межопорному расстоянию , шатун и коромысло всегда располагаются симметрично кривошипу и основанию относительно прямой BD (рис. 3).

Из этого рисунка также видно, что .

Отсюда имеем:

.                                                                  (1)

По мере приближения механизма к особому положению, т.е. когда углы α  и  φ₁ стремятся к нулю, справедливы равенства:

   и   .

Тогда уравнение (1) можно переписать в виде:

.

Отсюда имеем:

.                                                      (2)

Передаточное отношение u₃₁ в особом положении механизма можно выразить следующей формулой:

,                                                               (3)

где   .

Подставляя (2) в (3) и учитывая, что перед ударом передаточное отношение u₃₁ должно получиться с отрицательным знаком (кривошип и коромысло вращаются в противоположных друг к другу направлениях), имеем:

       .                                                                                                                         (4)

Переходим от механизма Галловея к ударному механизму с наибольшим коромыслом (рис. 3). Для этого необходимо длину шатуна и коромысла увеличить на одинаковую величину. При этом угол между коромыслом и линией BD также увеличится на некоторую величину. Обозначим этот угол через β.

Следует заметить, что хотя шатун и коромысло увеличены на одинаковую величину, их относительные изменения различны, т.е. коромысло, которое первоначально имело большую длину, чем шатун, претерпевает малое относительное изменение по сравнению с шатуном. Но при этом сохраняется приблизительное равенство отношений:

                                                                         .

или

,                                                            (5)

где  и  – соответственно длина шатуна и коромысла механизма Галловея.

Причем равенство (5) стремится к абсолютной точности при приближении механизма к особому положению. Учитывая, что при этом отношение синусов углов α и β станет равным отношению самих углов, а также  и , из уравнения (5) получим:

                                  .

Отсюда, подставляя вместо абсолютных размеров относительные, имеем:

.                                                                 (6)

Передаточное отношение ударного механизма в особом положении можно выразить следующей формулой:

,                                                      (7)

где    .

Подставляя (6) в (7) и учитывая, что  , получим:

.                                           (8)

Известно, что в механизме, приведенном на рис. 3, до удара направления угловых скоростей ω₁ и ω₃  противоположны, т.е. передаточное отношение u₃₁ должно иметь отрицательный знак. Учитывая это, а также заменив абсолютные размеры звеньев относительными, уравнение (8) приведем к следующему виду:

.                                                     (9)

Аналогичным образом, из рис. 3 можем определить передаточное отношение u₂₁ⁿ:

.                                                      (10)

Для того чтобы определить передаточные отношения  и  при кинематическом отскоке ударного механизма, строим схему для послеударного положения механизма  и на ее основе получим:

.                                                  (11)

.                                                 (12)

Аналогично определяются передаточные отношения для ударного механизма с наибольшим шатуном

,         ,

,         ,

                                                            ,         ,                                                                

и с наибольшим основанием

,  ,

                          ,      .                        .

В заключении можем отметить, что вышеизложенный метод определения передаточного числа может быть использован не только для шарнирно-четырехзвенных механизмов, но и для других видов рычажных механизмов.