Кинематический анализ шарнирно-четырехзвенного механизма аналитическим методом

Аннотация

Предложен кинематический анализ шарнирно-четырехзвенного механизма аналитическим методом. Выведены уравнения угловых координат звеньев, применимые для всех видов шарнирно-четырехзвенного механизма, кроме механизмов с определенными соотношениями длин звеньев.

Abstract

A kinematic analysis of the four-bar mechanism by an analytical method is proposed. Equations of the angular coordinates of the links, applicable for all types of the four-bar mechanism, are derived except for mechanisms with definite link length ratios.

Известно, что существуют два основных метода кинематического анализа механизмов: графоаналитический и аналитический. Преимущества и недостатки этих методов также общеизвестны. Роль аналитического метода особенно возросла в последние годы в связи с тем, что при данном методе анализа механизмов можно использовать ЭВМ.

При составлении уравнений для определения угловых координат звеньев механизма аналитическим методом, почти всегда возникает необходимость ввести еще какие-то дополнительные условия. Это связано с тем, что эти аналитические уравнения в основном включают в себя тригонометрические функции, такие как: arctg, arccos, arcsin и т.п., каждая из которых при одном значении аргумента дает по два решения, и одно из них соответствует действительному значению искомой величины. Но электронно-вычислительные машины для функции arctg из двух ответов, т.е. углов, относящихся к первой и третьей четвертям, в качестве ответа всегда дают угол, расположенный в первой четверти, хотя в действительности этот угол может находиться в третьей четверти. А из двух углов, относящихся ко второй и четвертой четвертям, ЭВМ всегда в качестве правильного ответа предлагает угол четвертой четверти. Точно так же для всех остальных тригонометрических функций не всегда можно получить действительное значение угла, а угол, который симметричен действительному углу относительно одной из осей или начала системы координат.

Чтобы выбрать правильное решение из двух вариантов, вводятся дополнительные условия. Рассмотрим такие условия на примере определения угловых координат коромысла и шатуна шарнирно-четырехзвенного механизма, которые даны в [1]. Расчетная схема для определения этих углов, приведенная в [1], показана на рис. 1.

Из расчетной схемы, приведенной на рис. 1, получены уравнения для определения угловых координат φ₃ и φ₂ :

;                   (1)

,                  (2)

где   

Рис. 1. Расчетная схема для определения угловых координат звеньев, в которой вектор   направлен от точки С к точке D.

Дополнительное условие, о котором говорилось выше, в данном случае введено следующим образом [1]: если sgn(x_D-x_B)=1, то угловая координата базового вектора φ_в, т.е. первое слагаемое в уравнениях (1) и (2) остается неизменным:

           .

Если sgn(x_D-x_B)= -1, то

Введение этих условий при составлении программы расчета на ЭВМ не вызывает никаких затруднений, но сама запись уравнения с учетом приложенных условий неудобна. Чтобы исключить эти неудобства, необходимо ввести дополнительные условия в само уравнение [2].

Предлагаем для этого угловую координату  φ_в базового вектора выразить через arсcos. Для этого используем расчетную схему, приведенную в [3]        (рис. 2).

Рис. 2. Расчетная схема для определения угловых координат звеньев, в которой вектор i₃ направлен от точки D к точке С.

Из треугольника АВD по теореме косинусов имеем:

.

Отсюда, введя относительные размеры звеньев  и  и учитывая, что

, получим:

  (3)   

Теперь проверим, в каких случаях в уравнение (3) необходимо ввести корректировку. Для этого рассмотрим четыре варианта схем шарнирно-четырехзвенного механизма, в которых базовый вектор i_b  находится в первой (рис.3а), во второй (рис. 3б), в третьей (рис. 3в) и в четвертой (рис. 3г) четвертях. Из этих схем видно, что для первых двух вариантов (рис. 3а,б), когда базовый вектор расположен в первой или во второй четверти, ЭВМ даст результаты, совпадающие с реальными значениями угла φ_в, а в двух остальных случаях (рис. 3.3в,г) результаты расчета на ЭВМ не будут соответствовать истинным значениям угла φ_в, а будут симметричны им относительно оси х. С учетом этого в уравнение (3) введем корректировку следующим образом:

.                        (4)

                   a      б                                         

                   в                                                                         г

Рис. 3. Схемы шарнирно-четырехзвенных механизмов с различным расположением базового вектора i_b: а – в первой четверти; б – во второй четверти; в – в третьей четверти; г – в четвертой четверти.

Расчетная схема, приведенная на рис. 2, отличается от схемы, которая показана на рис. 1 тем, что вектор  направлен от точки D к точке С, и на ней угол  более наглядно показывает положение коромысла. При этой расчетной схеме второе слагаемое уравнения (1), т.е. угол, определяющий положение вектора  относительно , также имеет иной вид, вывод которого производится по общеизвестной методике [1]. Из треугольника ВСD (см. рис. 2) по теореме косинусов следует:

.

Учитывая, что  из данного уравнения получим:

                                          ,

отсюда

.                                                                                      (5)

Используя относительные размеры звеньев, и учитывая, что , уравнение (5) перепишем в следующем виде:

.

                                  (6)

Из рис. 2 видно, что

 .     

.

                                           (7)

Подставляя формулы (4) и (6) в формулу (7), получим:

 +  .                                                                           (8)

Уравнение (8) соответствует сборке механизма, схема которого на рис. 2 выделена сплошными линиями (первая схема сборки механизма).

При второй схеме сборки механизма, нарисованного пунктирными линиями (рис. 2), угловая координата коромысла определяется как

,          

или                                                                    -  .                                                                                                          (9)

Аналогичным образом определяется угловая координата шатуна при первой схеме сборки шарнирно-четырехзвенного механизма [2]:

.

(10)

При второй схеме сборки этот угол определяется как

 .                                                            (11)

Уравнения (8) – (11) применимы для всех видов шарнирно-четырехзвенного механизма, кроме механизмов с соотношениями длин звеньев 1=λ₂=λ₃=λ₄ (Рис.4, а) и 1= λ₄<λ₂=λ₃ (Рис.4, б)  при , где k – целое число;

a            б    

                      Рис. 4.   а - механизм квадрата, б - двухкривошипный механизм Галловея.