Динамика дискретной системы фазовой синхронизации с интегрирующим фильтром

АННОТАЦИЯ

С помощью теории отображений изучены динамические свойства дискретной системы фазовой синхронизации с интегрирующим фильтром. Установлены возможные режимы работы системы.

ABSTRACT

On the basis of the mapping theory, dynamic properties of a discrete system of phase synchronization with an integrating filter are studied. Possible system operation conditions are established.

Системы фазовой синхронизации (СФС) – сложный для математического изучения вопрос [4, с. 186 ]. Особенно это относится к системам с элементами дискретизации. Применение теории отображения тора в качестве математической модели импульсной СФС позволяет получить достаточно полную картину ее динамических свойств.

Рассматривается типовая импульсная система фазовой синхронизации (ИСФС), состоящая из эталонного генератора (ЭГ), импульсно-фазового (ИФД), фильтра нижних частот (ФНЧ), управляющего элемента (УЭ) и подстраиваемого генератора (ПГ) [6, с. 215]. Будем считать, что ИФД есть соединение обычного фазового детектора с синусоидальной характеристикой и импульсного элемента типа «выборка-запоминание», а в качестве ФНЧ используется интегрирующий фильтр (ИФ) с коэффициентом передачи .

Математическая модель такой системы может быть [3, с. 162] записана в виде отображения плоскости:

Здесь  – мгновенная разность фаз эталонного и подстраиваемого генераторов в  момент дискретизации ,  – аналог разности частот в момент ,  – обобщенный параметр. Отображение  обладает периодичностью фазовых портретов по обеим координатам, и может рассматриваться как стандартное  отображение [7, с. 213; 8, с. 18] тора .

Для определения области значений параметра, при которых ИСФС может работать в режиме захвата, биений или подстройки под эталонную, кратную или комбинационную частоту (в настоящей работе используются термины из [2, с. 151; 6, с. 37], воспользуемся достаточно изученными свойствами отображения .

Известно [5, с. 21],  что отсутствуют значения параметра, при которых в фазовом пространстве существовало бы устойчивое колебательное периодическое движение. Более того, справедлива теорема, говорящая о наличии при любых значениях параметра отображения счетного множества эллиптических и гиперболических вращательных циклов [5, с. 21]. Для ИСФС это обозначает отсутствие области захвата в классическом определении этого понятия.

Доказано, что [5, с. 21] при всех положительных значениях параметра  для каждой пары чисел  и , где  – любое целое,  – любое натуральное, отображение  имеет как минимум два -цикла:  (гиперболический при ) и  (эллиптический при   и гиперболический при ). Здесь через  обозначено бифуркационное значение параметра , при котором эллиптический цикл  теряет свою устойчивость. Область притяжения эллиптического цикла  есть -связная изолированная область  фазового пространства, ограниченная сепаратрисными инвариантными кривыми цикла . При малых значениях параметра  области притяжения  различных циклов  разделены иррациональными инвариантными кривыми . При этом фазовое пространство представляет из себя «не перемешивающиеся слои» [8, с. 201; 7, с. 347]. Внутри этих слоев движение имеет ограниченный диапазон изменений фазовой и частотной переменной. При отсутствии помех ИСФС с ИФ может работать в режиме подстройки под эталонный сигнал или под любую комбинационную частоту. Частота, под которую происходит подстройка, зависит, прежде всего, от начального значения частотной растройки. Существует некий интервал значений параметра, при которых области притяжения требуемого резонанса реальны. Поэтому, используя процедуру предварительного поиска по частоте, можно обеспечить введение ИСФС в режим подстройки под эталонную, а также под любую кратную или комбинационную частоту. Это объясняет целесообразность использования ИСФС с ИФ в качестве умножителя или делителя частоты.

Увеличение параметра  приводит [5, с. 21] к исчезновению инвариантных кривых , возникновению гетероструктур  циклов. В фазовом пространстве наступает «полное перемешивание»: траектории, начинающиеся в окрестности нижней границы тора , достигают верхней границы . Возникает вращение по координате  (неограниченное нарастание частоты). Исчезает возможность использования ИСФС в режиме подстройки под все большее число комбинационных частот.

Процесс «перемешивания» при  идет очень медленно, при  – практически мгновенно. Минимальным значением параметра , при котором медленное, но неограниченное нарастание частоты имеет место, называют число  [1, с. 87]. Однако [8, с. 154] даже при  центры целых резонансов (области ) остаются изолированными, т.е. ИСФС может работать в режиме подстройки под эталонную или кратную частоту.

Исчезновение областей  связано с потерей устойчивости неподвижными точками  цикла . Бифуркационные значения , при котором эллиптические неподвижные точки  становятся гиперболическими («обратными седлами»), и одновременно в окрестности возникает пара эллиптических  неподвижных точек удвоенного периода (типа ) получены численными методами: ; ; ; ; ; ; . Каждая из этих бифуркаций дает начало каскаду бифуркаций удвоения в окрестности соответствующей неподвижной точки , превращению -связной области  в -связную, -связной в -связную и т.д. Сепаратрисные инвариантные кривые гиперболических при  циклов  образовывают гомо- и гетероклинические структуры, сужая области притяжения . Серии фазовых портретов, представленные в [5, с. 21], демонстрируют описанные процессы. Если при  в фазовом пространстве еще есть изолированные области, то при  они исчезают. Для ИСФС это означает, что рабочие режимы подстройки под конкретные частоты при соответствующих значениях параметра невозможны.

Применение математической теории отображений и, в частности, свойств стандартного отображения тора, позволило установить области параметра, при которых рассматриваемая система может работать в режимах подстройки под основную, кратную или комбинационную частоту.