К исследованию устойчивости колебания гибкой связи под воздействием поперечной периодической силы

Рисунок 1. К исследованию устойчивости колебания гибкой связи под воздействием поперечной периодической силы: а) расчетная схема; б) деформация гибкой связи от поперечной ударной нагрузки

Давление ленты на барабан, которое прямо пропорционально натяжению зависит от угла обхвата барабана лентой a¢ и прогиба ее от удара амплитудой h.

Эти параметры меняются во времени в зависимости от частоты ударов толкателя.

Угол a¢, как это видно из рис. 1 имеет функциональную связь с величиной h , и по мере возрастания или уменьшения последней соответственно становится меньше или больше на некий угол a¢ ¢. Причем, лента колеблется в пределах своего исходного положения и перемещения h, т. к. ее свободное перемещение за счет массы и упругости вниз в ленточных транспортерах ограничивается настилом и опорными роликами, а в плоскоременных передачах – направляющими.

 В практических расчетах переменный угол a¢¢¢ трудно учитывать, поэтому необходимо выразить его через какой либо легко варьируемый косвенный конструктивный параметр устройства.

Перемещение ленты h сопровождается ее деформацией не величину

                                                 (1)

В соответствии с рис. 1 можно записать

.                                        (2)

Из-за малости угла a¢ ¢ величина хорды D_бa¢ ¢/2 можно принять равным сторону АА¢ треугольника D ВВ¢А¢. Тогда из подобия треугольников D ВВ¢A¢ и D АА¢¢A¢ с учетом выражения (2) следует

.                                                         (3)

Давление ленты на поверхность барабана транспортерного механизма в обычном режиме должно удовлетворять условию [7]:

                                        (4)

где: S_нб и S_ст – соответственно усилия в набегающей и сбегающей ветвях ленты; В – ширина ленты, м; [р] – допустимое давление ленты на барабан при обычной нагрузке, равное, например, [р] = (4 ... 5)´10⁵ Па.

 Учитывая известную функциональную зависимость по Эйлеру между усилиями S_нб и S_сб из выражений (4) получим

                                          (5)

где: f – коэффициент трения между лентой и барабаном.

Ударные вибрации на ленту накладывают на нее две дополнительные нагрузки, которых условно назовем: давление, создаваемое от удлинения ленты при ударе DР_l; давление создаваемое от изменения угла обхвата a ленты при ударе DР_a¢.

Таким образом, имея в распоряжении две переменные h и l_х, оптимизацию конструктивных размеров ленточного механизма осуществляем по минимуму давления ленты на барабан

                                      (6)

Прежде чем решить уравнение (6) необходимо выразить последние две слагаемые в правой части относительно переменных h и l_х .

Учитывая то, что в реальной практике  примем . Тогда

                          (7)

Растяжение ленты увеличивает усилие S _нб на некоторую величину DS_нб , а следовательно и давление

.                            (8)

Второе слагаемое в (8) определяет дополнительное давление, создаваемое при удлинении ленты от ударного импульса

                                      (9)

где: с – жесткость гибкой связи (ленты).

Из (7) и (9) окончательно получим

                                   (10)

С другой стороны, перемещение ленты вверх на величину h, соответственно уменьшает угол обхвата a¢ на величину a¢¢. Тогда давление р₀ также уменьшается на некоторую величину Dр_a¢ , т. е. из (5) это можно записать в виде:

                             (11)

Приняв во внимания математическое преобразование e^-x=1-x если х<<1, из (11) выделим

.                                  (12)

С учетом (10) и (12) решаемое уравнение (6) запишем в виде

    (13)

Решая (13) относительно оптимизируемых переменных h и l_х методом дифференциального исчисления получим следующие их значения:

.

Анализ последних двух выражений показывает, что без учета периодичности колебании ленты, при единичном ударе по ней рабочего органа и равных диаметрах барабанов, расстояние l_х, где происходят удары должно быть не меньше, чем 75 % от расстояния L. В противном случае теряется статическая устойчивость сцепления ленты с барабаном. При постоянных значениях коэффициентов жесткости ленты «с» и трения f, перемещение h, как видно из последнего выражения прямо пропорционально к S_нб. Однако, определяющее натяжение ленты будет иметь ограничение в силу обеспечения долговечности и срока службы ленты. Поэтому, главным образом величина h, будет зависеть от расстояния l_х, которое оказывает влияние на цифровой коэффициент в формуле для его определения, например, в данном случае коэффициент равен к 1/8 [3].

Периодичность перемещения ленты, т. е. ее амплитуду h легко можно учитывать. Для этого достаточно придать его значению, какой-либо гармонический закон, который должен учитывать ограничение в движении ленты. Учитывая ограничение вертикальному перемещению ленты вниз, создаваемое настилом и опорными роликами (рис. 1, а) гармонический закон можно принять в виде

.                                                (14)

где: h¢ – среднее периодическое вертикальное перемещение ленты при вибрации.

Пользуясь общей расчетной схемой, представленной на рис. 1, а также результатами проведенных совместных исследований авторов, приведенных в работах [1; 2; 4; 5; 6] исследуем форму колебания ленты и устойчивость ее вибрации под воздействием возмущающей периодической силы Р(t). Исследование поперечных колебаний ленты вызвано обеспечением устойчивости и сохранением работоспособности ее в этом динамическом процессе.

Для вывода уравнения движения колебании ленты исследуем ее ту часть, на которую действует периодическая возмущающая сила Р(t). Для этого, пренебрегая скоростью движения ленты u_л, рассматриваем ее набегающую ветвь, моделируя ее в виде упругой балки малой толщины и большой ширины, нагруженную вертикальной периодической силой, меняющейся по гармоническому закону синуса Р(t)= P₀ sinwt.

Учитывая, что вертикальное перемещение ленты Y₀ в сравнении с расстоянием L значительно меньше исследование и изучение ее колебании рассмотрим в области малых движении в формуле Лагранжа

                                                (15)

Для обеспечения обобщенной координаты q в уравнении (15) рассмотрим из рис. 1, б подобие треугольников I и II. Тогда вертикальное движение (отклонение) ленты в ее произвольно выбранном сечении dx можно выразить как

                                                  (16)

а скорость

                                                 (17)

С другой стороны

   (18)

Тогда

т. е. 

Однако, для более точного расчета кинетической энергии примем обобщенные координату и скорость по уравнениям (16) и (17).

Выразив элементарную массу частицы ленты в рассматриваемом произвольном сечении (рис. 1, б) относительно ее плотности dm = rdx, получим выражение кинетической энергии ветви ленты, состоящей из суммы кинетических энергий ее левой и правой частей относительно границы в прогибе у₀:

                  (19)

где: r – плотность материала ленты.

Из выражения (19) следует, что не зависимо от симметричности нагрузки или точки перемещения ветви ленты относительно осей барабанов, ее кинетическая энергия пропорциональна к расстоянию L.

Очевидно, что расстояние l_х будет оказывать влияние на обобщенную силу Q_q, особенно при малых движениях системы.

В нашем случае, без учета внутреннего сопротивления (трения) системы, обобщенная сила будет равна восстанавливающей силе упругости ветви ленты:

,                                    (20)

где: с – коэффициент жесткости ветви ленты, равная с=EF/L; Е – модуль Юнга для материала ленты, Н/м²; F – площадь поперечного сечения ленты, м²

С другой стороны

                           (21)

Разложив в ряд выражения под квадратными корнями в уравнение (21) получим

                                              (22)

Решив уравнение (19) относительно левой части уравнения Лагранжа (15) и подставив в его правую часть значения вынуждающей силы Р(t) и Q_y0 из (22) получим классическое дифференциальное уравнение параметрического колебания исследуемой ленты:

                                (23)

где: .

Сложность решения (23) состоит в том, что возможно существование нескольких стационарных режимов с различными амплитудами [8]:

                      (24)

Полное решение (23) должно содержать выявление среди этих режимов только физически осуществимые, реальные, т. е. устойчивые режимы, а также анализ их устойчивости.

Исследуем устойчивость стационарного режима, задав функцию у₁ из (24) в виде

и преобразуя (23) к стандартному виду

.                                            (25)

В данном случае  и для вариации статического режима получим дифференциальное уравнение

                                  (26)

Уравнение (26) с переменным коэффициентом

относится к уравнениям Матье, которое должно быть приведено к форме [8]:

.                                     (27)

Для этого нужно принять в нашем случае 

где: а,e – безразмерные параметры к оценке параметрических возбуждений.

Соотношение между двумя параметрами а и e по величине и знаку позволит судить об устойчивости того или иного режима системы на диаграмме Айнса-Стретта. В нашем случае, а = 2e, и поэтому параметры устойчивого решения уравнения движения должны лежать на луче (рис. 2), который выходит из начала координат под углом arctg 1/2 к оси Оа.

В таблице 1 приведены расчетные значения оценочного показателя а, при различных значениях w и А_i

Анализ диаграммы показывает, что с возрастанием частоты колебаний w при тех же значениях А_i возрастает кучность распределения значении а, соответствующих устойчивому режиму. Например, при значениях А_i = (2,5 ...4,0) для w = 5с^-1 значения «а» занимают заштрихованные (устойчивые) зоны I и II, а также неустойчивую (не заштрихованную) зону между ними. Для w = 10с^-1 при тех же значениях А_i значения «а» ограничены лишь устойчивой зоной I.

В нашем случае все значения А_i, определяющиеся значениями оценочного параметра а в пределах.

                             (28)

обеспечивают устойчивость решения уравнения движений колебательной системы (рис. 2).

Рисунок 2. К определению устойчивых режимов колебаний гибкой связи (ленты)

Таблица 1.

Распределение значений безразмерных параметров к оценке устойчивости колебаний ленты на диаграмме Айнса-Стретта

Следовательно, при решении уравнения (23) необходимо учитывать ограничения (28) и принять такие значения параметра в, чтобы исходя из специфических особенностей рассматриваемой системы амплитуда А_i могла лежать в одной из отрезков луча Оа, удовлетворяющих условию (28). Тогда решение уравнения (23), описывающее различные колебания в виде зависимостей будет устойчивым.

Исследуем устойчивость стационарного режима, задав функцию у₁ в (24) с учетом ограничении к вертикальному движению (колебанию) ленты, создаваемых опорными роликами и настилом.

Тогда периодический закон необходимо принять согласно выражению (14) в виде

                                                (29)

Тогда уравнение (29) будет иметь вид

                                   (30)

Тригонометрическая квадратная функция в уравнении (30) трудно привести к соответствующей форме, так как при раскрытии скобок остается лишний член косинуса или синуса. Поэтому целесообразно будет разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье.

Разложение функции  по первой гармонике дало функцию в виде

                                                 (31)

Для того, чтобы привести уравнение

к виду (27) нужно принять

Поскольку, а=1,5e, а луч Оа на рис. 2 будет под углом arctg 2/3 к оси абсцисс, то он будет большим, чем в предыдущем случае. Из графика видно, что возможные значения А_i, лежащих на луче Oa и обеспечивающих устойчивое решение уравнения колебательного движения (23), которые с увеличением кратности e сужается.

Устойчивость колебания ленты находится в следующих пределах значении амплитуды А_i:

                                    (32)

Рисунок 3. Зависимости скорости и амплитуды колебаний гибкой связи (ленты) от частоты ее вибрации

Уравнение (23) было численно анализировано. Для чего была составлена программа для расчета. Для различных значений времени t, шагом Dt = 0,1 и постоянного числа Р₀, определены численные значения характеристики f(w) амплитуды у, скорости  и ускорения  колебания ленты путем варьирования w в пределах w = (0 ... 10)с^-1. Наиболее интересующие нас области характеристик, соответствующих t = 0,5 показаны на рис. 3, а и б. Характеристики 1, 2, 3 и 4 соответствуют значениям b₁ = 2, b₂ =4, b₃= 6 и b₄ = 8. По характеристикам видно, что с увеличением параметрической частоты собственных колебаний системы b при тех же значениях частоты виброударов w интенсивность колебании снижается. Если считать плотность ленты r величиной постоянной, а размеры L и l_х в силу обеспечения надежности и снижения материалоемкости ограниченными, снижение интенсивности колебании в большей степени возможно путем увеличения упругих свойств ленты с, за счет введения в конструкции механизмов дополнительных упругих связей, в частности, например пружин.

Выводы:

1. Исследование виброударной нагруженности ленты на устойчивость ее сцепления с барабаном позволили определить оптимальные соотношения размеров l_х и h, при таких нагрузках.
2. Обнаружено параметрическое возбуждение поперечного колебания ленты, описываемое нелинейным классическим дифференциальным уравнением. На диаграмме Айнса-Стретта найдены устойчивые границы амплитуды возбуждения и соответственно к этому значения оценочного показателя «а» при различных значениях частоты w и амплитуды А_i колебания ленты.
3. Полученные результаты являются теоретической основой для расширения технических качеств гибких связей, в частности, ленточных транспортеров, для их применения в нетрадиционных назначениях, в качестве виброударных рабочих элементов технологических машин. В практике известны различные случаи применения ленточных транспортеров в качестве сепарирующих машин, где процесс разделения компонентов происходит непосредственно при их перемещении на ленте.