Метод конформного склеивания при решении задачи Газемана для бианалитических функций

АННОТАЦИЯ

Задача Газемана является основной двухсторонней краевой задачей теории функции комплексного переменного. Наиболее исследована задача Газемана для кусочно-аналитических функций. Одним из эффективных методов её решения является метод конформного склеивания, позволяющий с помощью подбора специального контура убрать сдвиг в краевых условиях.

В данной работе задача Газемана рассматривается на более широком классе функций – бианалитических функций. Бианалитические функции являются прямым обобщением аналитических и используются в задачах теории упругости для определения комплексного потенциала.

Общей проблемой, возникающей при решении краевых задач для бианалитических функций, является наличие в краевых условиях неаналитических элементов. Это приводит к тому, что бианалитическая функция не является инвариантной относительно конформных отображений. Поэтому непосредственно применить метод конформного склеивания к решению задачи Газемана для бианалитических функций нельзя.

Тем не менее в работе получен метод, аналогичный методу конформного склеивания, позволяющий свести задачу со сдвигом для бианалитических функций к задаче без сдвига для аналитического вектора. Также в работе получен общий алгоритм решения краевой задачи Газемана для бианалитических функций для областей сложной формы.

ABSTRACT

Hazeman’s task is the main bilateral boundary value problem of the functions theory of a complex variable. Hazeman’s task for piecewise-analytic functions is mostly studied. One of the effective methods of solving it is the method of conformal pasting that enables the selection of a special circuit to remove a shift in the boundary conditions.

In the article the Hazeman’s problem is considered on a wider class of functions – bianalytical functions. Bianalytical functions are a direct generalization and analysis used in the theory of elasticity to determine the complex potential.

A common problem arising in the solution of boundary value problems for bianalytical functions is the presence in the boundary conditions of non-analytic elements. It leads to the fact that bianalytical function is not invariant with respect to conformal mappings. So application of the method of conformal pasting to Hazeman’s problem for bianalytical functions is impossible.

Nevertheless, the obtained method similar to the method of conformal pasting allows reducing the problem with shift for bianalytical functions to the problem without a shift for analytic vector. Also, a general algorithm for solving boundary value problems for Hazeman’s bianalytical functions for the areas of complex shape is obtained in the article.