Задача типа Газемана для бианалитических функций в статической теории упругости

АННОТАЦИЯ

В статье изучается задача типа Газемана для бианалитических функций. Данная задача относится к одной из четырёх основных задач со сдвигом. В работе используется классическая постановка задачи, в которой краевые условия построены на основе задач теории упругости для изотропных и анизотропных тел. Главным отличием краевой задачи типа Газемана является наличие сдвига и комплексно сопряженной неизвестной функции. Это приводит к тому, что граничные значения двухсторонней бианалитической функции задаются в разных точках контура. Кроме этого, двусторонняя задача приобретает свойство односторонней.

Помимо указанных особенностей основной сложностью при решении задачи является наличие в краевых условиях неаналитических компонент.

Решение задачи типа Газемана для бианалитических функций проводится с использованием общей теории нётеровых операторов и сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

Основными результатами работы являются следующие. Задача типа Газемана для бианалитических функций сведена к равносильной системе задач для аналитических функций, установлена нётеровость задачи, определены условия разрешимости. Рассмотрен частный случай, позволяющий получить точное число независимых решений однородной задачи и число условий разрешимости неоднородной.

ABSTRACT

In the article the task of Haseman’s type for bianalytical functions is under study. This task is related to one of the four major tasks with a shift. The classical formulation of the task is used in the article in which boundary conditions are based on tasks of the elasticity theory for isotropic and anisotropic bodies. The main difference between the boundary Haseman’s task is the presence of shift and the complex conjugate of unknown function. It leads to the fact that the boundary values of duplex bianalytical functions are specified at different points in the circuit. In addition, a two-sided task obtains one-sided property.

In addition to specified features, the main difficulty in solving the problem is the presence of a non-analytic component in the boundary conditions.

Task solution of Haseman’s type for bianalytic functions is carried out using the general theory of Noetherian operators and singular integral equations with Cauchy kernel.

Main results are as follows. The task of Haseman’s type for bianalytical functions is reduced to equivalent system problems for analytical functions; Noetherianess of the task is set; solvability conditions are defined. A special case that allows getting the exact number of independent solutions of the homogeneous task and the number of conditions for the solvability of inhomogeneous one is considered.