РАЗРАБОТКА СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА

АННОТАЦИЯ

В статье предложена многоцелевая двухэтапная стохастическая модель оптимизации сельскохозяйственного производства, учитывающая структуру посевов, животноводство, затраты и водопотребление. Для проверки поведения модели выполнена серия из 66 вычислительных экспериментов на сетке весов критериев, из которых 62 решения образуют множество Парето. Показано, что усиление водного приоритета снижает водопотребление, но сужает экономический результат, тогда как компромиссный вариант, выбранный по минимуму расстояния до идеальной точки, обеспечивает сбалансированное сочетание дохода, затрат и ресурсов.

ABSTRACT

The paper develops a multi-objective two-stage stochastic model for agricultural production optimization that jointly accounts for crop allocation, livestock, costs, and water use. A computational experiment on a simplex grid of 66 weight combinations produced 62 Pareto-efficient solutions. The results show that strengthening the water criterion reduces water use but narrows the economic outcome, while the compromise solution selected by the minimum distance to the ideal point provides a balanced trade-off between income, cost, and resource use.

Ключевые слова: стохастическое программирование; сельскохозяйственное производство; многоцелевая оптимизация; двухэтапная модель; множество Парето.

Keywords: stochastic programming; agricultural production; multi-objective optimization; two-stage model; Pareto set.

1. Введение. Современное сельское хозяйство функционирует в условиях одновременного действия ресурсных, климатических и рыночных ограничений. В таких условиях хозяйствам требуется не только высокий экономический результат, но и устойчивость производственной программы к колебаниям урожайности, водообеспеченности и доступности ресурсов. Поэтому задачи управления структурой посевов и животноводства все чаще формулируются как многокритериальные и неопределенные [4–10].

Для учета этих факторов наиболее продуктивными оказываются модели стохастического программирования, в которых базовые решения принимаются до реализации случайных факторов, а корректирующие – после наблюдения сценария. Такой подход позволяет количественно описывать потери от неблагоприятных условий и искать компромисс между доходом, затратами и водопотреблением [1,3,8,9]. Классические основания двухэтапных стохастических постановок и квазиградиентных методов были заложены Ю. М. Ермольевым и А. И. Ястремским [2]. Современные прикладные исследования подтверждают, что совмещение многокритериальной постановки, сценарного анализа и ресурсных ограничений особенно эффективно в аграрных системах, где решения должны одновременно быть экономически оправданными и ресурсно устойчивыми [5–10]. Цель настоящей статьи состоит в разработке многоцелевой двухэтапной стохастической модели оптимизации сельскохозяйственного производства и в демонстрации ее вычислительных свойств на серии экспериментальных расчетов. В работе анализируется регулярная сетка весов критериев, строится множество Парето-эффективных решений и выделяется компромиссный план по расстоянию до идеальной точки.

2. Материалы и методы

2.1. Обозначения и базовая экономико-математическая постановка

Рассмотрим множество хозяйств . Для каждого  задаются культуры  и виды животных . Переменные первого этапа:  – площади посева,  – поголовье (или объем) животных. После реализации сценария  выбираются переменные второго этапа:  – объем продукции, направляемый на корм,  и  – соответственно излишек и дефицит продукции,  – закупка дополнительного корма.

Параметры  отражают затраты,  – доходы,  – водопотребление,  – урожайность,  – спрос,  – минимальное поголовье,  – коэффициенты кормового баланса,  – трудоемкость,  и  – земельные и трудовые ресурсы.

В качестве целевых функций рассмотрим три критерия. Первый отражает совокупные инвестиционные и производственные затраты, второй – ожидаемую прибыль, третий – общий расход воды. Тогда исходная многокритериальная модель записывается в виде:

                                   (1)

                 (2)

                                 (3)

Одновременное достижение этих целей в общем случае невозможно, поэтому далее используется процедура их свертки в единый интегральный критерий. Для сопоставимости масштаба каждой функции предварительно применяется нормализация по схеме

                            (4)

после чего формируется агрегированная функция с весами , где  и . Поскольку второй критерий является критерием максимизации, в итоговую задачу он входит со знаком минус:

       (5)

Здесь  обозначает оптимальное значение задачи второго этапа, в которой учитываются кормовой баланс, возможные дефициты или излишки продукции, а также затраты на внешние закупки.

Первый этап ограничивается ресурсными и технологическими условиями. Допустимое множество решений имеет вид

  (6)

Если веса распределены в пользу прибыли, модель допускает большую долю интенсивных культур и поголовья; увеличение веса  смещает решение в сторону водосберегающей структуры посевов; рост  стимулирует экономию инвестиционных затрат. Таким образом, вектор  становится инструментом согласования экономических и ресурсных приоритетов [6; 8; 9].

2.2. Квазиградиентный алгоритм решения

Для больших наборов сценариев детерминированный эквивалент быстро становится громоздким, поэтому для решения используется стохастический квазиградиентный алгоритм, восходящий к работам [2,3,8]. Его идея заключается в том, что на каждой итерации рассматривается один сценарий или небольшая его выборка, решается задача второго этапа и по полученным двойственным оценкам вычисляется направление корректировки решений первого этапа. Алгоритм включает следующие шаги. 1) выбирается начальный допустимый план ; 2) генерируется или выбирается сценарий ; 3) решается задача второго этапа и находятся , , ; 4) строится стохастический субградиент агрегированной функции; 5) выполняется проекционный шаг на множество допустимых решений; 6) проверяется критерий остановки. В компактной записи итерация имеет вид

                           (7)

а для последовательности шагов принимаются условия

                                       (8)

Здесь  обозначает оператор проектирования на множество , а  – стохастический субградиент, состоящий из детерминированной части (градиентов нормализованных критериев) и сценарной части. Условия (8) на шаги обеспечивают сходимость алгоритма в среднем для широкого класса выпуклых стохастических задач. На практике удобно использовать убывающие шаги вида  и дополнительно усреднять последние итерации, что уменьшает колебания решения.

Преимущество данного алгоритма состоит в том, что сложность одной итерации определяется главным образом решением одной линейной задачи второго этапа, тогда как в детерминированном эквиваленте приходится одновременно учитывать все сценарии. Это особенно важно для задач регионального или межхозяйственного уровня, где число сценариев быстро растет из-за комбинации погодных, водохозяйственных и рыночных условий.

3. Результаты и обсуждение

Иллюстративный вычислительный эксперимент проведен на массиве решений для 15 хозяйств, 16 культур и 7 видов животных. Весовые коэффициенты задавались на регулярной сетке с шагом 0.1 при условии .

Серия расчетов на сетке весов дала 66 допустимых решений, из которых 62 оказались Парето-эффективными. Это подтверждает, что для рассматриваемой системы не существует единственного плана, одновременно лучшего по доходу, затратам и воде. Для интерпретации полученных результатов далее рассматриваются четыре реперных сценария, представленные в таблице 1: водный, затратный, компромиссный и доходный.

Таблица 1.

Реперные сценарии вычислительного эксперимента

Пространство решений в координатах «затраты–доход» показано на рис. 1а. Видно, что рост дохода сопровождается увеличением затрат и, как правило, более высоким водопотреблением. Водоориентированные решения сосредоточены в левом нижнем секторе графика; доходоориентированные – в правом верхнем. Такая форма Парето-области соответствует современным исследованиям, где ресурсосбережение достигается ценой ограничения экономического результата [4; 6; 9; 10].

Средние нормированные показатели при увеличении веса водного критерия  представлены на рис. 1б. При переходе от  к  среднее водопотребление по сетке расчетов снижается с 24.35 до 20.81 млн м³, то есть на 14.5%. Одновременно средний доход уменьшается с 307.9 до 119.9 млрд сум (на 61.1%), а средние затраты – с 185.8 до 73.1 млрд сум (на 60.7%). Следовательно, усиление водного приоритета действительно переводит систему в более ресурсосберегающий режим, но сопровождается существенным сужением экономического диапазона решений.

Рисунок 1. Результаты вычислительного эксперимента

Изменение структуры посевов видно на рис. 1в. Наиболее чувствительными к смене приоритетов оказываются картофель и овощные культуры. При переходе от водного к доходному сценарию суммарная площадь картофеля возрастает с 27 до 283 га, огурца – с 18 до 185 га, томата – с 18 до 185 га, моркови – с 18 до 117 га. В то же время площади риса и хлопка изменяются заметно слабее (соответственно на 7.4% и 3.8%). Это означает, что основной механизм адаптации модели состоит не в полном пересмотре всей структуры, а в точечной перенастройке наиболее чувствительных культур. По животноводству минимальные уровни птицы, овец и коз сохраняются во всех сценариях, а вариации касаются главным образом крупного рогатого скота.

На рис. 1г показано расстояние Парето-решений до идеальной точки. Минимум достигается для решения s50 с весами (0.5; 0.4; 0.1). Для него доход составляет 271.7 млрд сум, затраты – 131.1 млрд сум, водопотребление – 22.51 млн м³. По сравнению с доходным сценарием этот вариант уменьшает затраты на 57.0% и водопотребление на 12.6%, сохраняя при этом существенно более высокий доход, чем водный сценарий. По сравнению с водным сценарием доход увеличивается в 2.27 раза при росте водопотребления лишь на 8.2%. Поэтому решение s50 можно рассматривать как практически сбалансированный компромисс между экономической отдачей и ресурсной устойчивостью.

Таким образом, вычислительный эксперимент подтверждает, что модель действительно позволяет получать интерпретируемые управленческие решения, а не только качественные рассуждения. Наличие компактной Парето-области, чувствительность отдельных культур к весам критериев и возможность выбора компромисса по расстоянию до идеала делают постановку пригодной для прикладного планирования хозяйств и регионов.

4. Заключение. В статье разработана двухэтапная стохастическая модель оптимизации сельскохозяйственного производства, объединяющая затраты, прибыль и водопотребление в единую систему принятия решений. Показано, что учет рекурсивных издержек второго этапа позволяет оценивать последствия неблагоприятных сценариев и получать более устойчивые компромиссные решения. Расчеты показали, что усиление водного приоритета переводит систему в ресурсосберегающий режим, сокращая среднее водопотребление на 14.5% по сетке весов, но одновременно сужая экономический результат. Наиболее сильная структурная реакция наблюдается для картофеля и овощных культур, тогда как площади базовых полевых культур меняются заметно слабее. Перспективы дальнейших исследований связаны с учетом стохастики цен, риск-аверсии и калибровкой модели на фактических статистических данных конкретных территорий.

Список литературы:

1. Birge J. R., Louveaux F. Introduction to Stochastic Programming. 2nd ed. New York: Springer, 2011. 485 p. DOI: 10.1007/978-1-4614-0237-4.
2. Ермольев Ю. М., Ястремский А. И. Стохастические модели и методы в экономическом планировании. Москва: Наука, 1979. 256 с.
3. Shapiro A., Dentcheva D., Ruszczyński A. Lectures on Stochastic Programming: Modeling and Theory. 3rd ed. Philadelphia: SIAM, 2021. 455 p. DOI: 10.1137/1.9781611976595.
4. Li M., Fu Q., Singh V. P. et al. Managing agricultural water and land resources with tradeoff between economic, environmental, and social considerations: A multi-objective non-linear optimization model under uncertainty // Agricultural Systems. 2020. Vol. 178. Art. 102685. DOI: 10.1016/j.agsy.2019.102685.
5. Dadmand F., Naji-Azimi Z., Motahari Farimani N., Davary K. Sustainable allocation of water resources in water-scarcity conditions using robust fuzzy stochastic programming // Journal of Cleaner Production. 2020. Vol. 276. Art 123812. DOI: 10.1016/j.jclepro.2020.123812.
6. Li M., Cao X., Liu D. et al. Sustainable management of agricultural water and land resources under changing climate and socio-economic conditions: A multi-dimensional optimization approach // Agricultural Water Management. 2022. Vol. 259. Art. 107235. DOI: 10.1016/j.agwat.2021.107235.
7. Zhang J., Solomatine D., Dong Z. Robust multi-objective optimization under multiple uncertainties using the CM-ROPAR approach: Case study of water resources allocation in the Huaihe River basin // Hydrology and Earth System Sciences. 2024. Vol. 28, No. 16. P. 3739-3753. DOI: 10.5194/hess-28-3739-2024.
8. Mahdavimanshadi M., Fan N. Multistage Stochastic Optimization for Semi-arid Farm Crop Rotation and Water Irrigation Scheduling Under Drought Scenarios // Journal of Agricultural, Biological and Environmental Statistics. 2025. Vol. 30, No. 2. P. 310-333. DOI: 10.1007/s13253-024-00651-9.
9. Avarand Y., Janatrostami S., Ashrafzadeh A., Pirmoradian N. Multi-objective fuzzy-stochastic optimization model for agricultural water allocation by applying effective rainfall // Sustainable Water Resources Management. 2025. Vol. 11. Art. 66. DOI: 10.1007/s40899-025-01243-2.
10. Gao X., Qin G., Yin F. et al. Multi-objective optimization of cropping structures and irrigation strategies for sustainable agricultural development in arid regions // Agricultural Water Management. 2025. Vol. 321. Art. 109909. DOI: 10.1016/j.agwat.2025.109909