ТЕОРИЯ КУЧНОСТИ СПОРТИВНОЙ ВИНТОВКИ ЧАСТЬ 3. ВНУТРЕННЯЯ БАЛЛИСТИКА

 

АННОТАЦИЯ

В статье (третьей в серии взаимосвязанных работ о теории кучности спортивной винтовки [1-3]) изложена новая 0D-модель внутренней баллистики как инженерный инструмент для получения явных временных зависимостей давления P(t), температуры T(t), движения пули x(t), сил F(t) и моментов M(t), действующих на ствол. Модель предназначена для фазовой привязки ключевых событий выстрела (страгивание, выход из дульца, прохождение пульного входа, выход за дульный срез, истечение) и передачи в модуль «Колебания» временных рядов F(t) и координат точек приложения вдоль оси s.

Ключевой особенностью является то, что объём газовой камеры V(t) задаётся строго геометрической функцией V(x,P), сформированной в модуле «Часть 2. Модель расчета действующих сил и моментов»: гильза → фрибор → пульный вход → канал → (опционально) внешняя зона; при этом физический механизм расширения гильзы учитывается через гладкий переход η(P) по двум порогам давления. Для кинетики горения используется интегральная форма закона Вьей с постепенным вовлечением заряда (функция I_ign(t)) и параметризацией по экспериментальным данным и справочным источникам производителей порохов. Для постдульной стадии приведена модель истечения через «открывающееся сопло» и реактивной силы струи на плоскости дульного среза.

Результаты статьи фиксируют интерфейс «Модель расчета действующих сил и моментов» → «Баллистика» → «Колебания» и дают полный набор формул, необходимых для расчёта временных зависимостей сил F_gas(t), F_neck(t), F_engr(t), F_slide(t), F_jet(t) и календаря событий t(⋅), определяющих фазировку возбуждения колебаний ствола [4–9, 13–14].

Статья будет полезна исследователям и конструкторам спортивного и охотничьего оружия, спортсменам-стрелкам, охотникам, а также всем любителям высокоточной спортивной стрельбы из гражданского нарезного оружия.

Работа выполнена в интересах мирового спортивного стрелкового сообщества по инициативе авторов и на их собственные средства, с использованием открытых источников информации.

ABSTRACT

This paper (Part 3 in a series devoted to a theoretical model of sporting rifle accuracy) presents a lumped-parameter (0D) internal ballistics model as an engineering tool for obtaining explicit time histories of pressure P(t), temperature T(t), bullet motion x(t), and the forces/moments transmitted to the barrel. The model is intended to time-separate key shot events (bullet release, case mouth exit, throat/leade passage, muzzle exit, and gas blow-down) and to supply the vibration module with force histories F(t)and axial application coordinates along s.

A key feature is that the gas volume V(t)is computed from a strictly geometric function V(x,P)defined in Part 2 (case → freebore → leade → bore → optional outside region), while case expansion is represented by a smooth pressure-driven transition η(P)between two reference initial free volumes. Powder combustion is described by an integral Vieille-type law with progressive ignition I_ign (t), calibrated using experimental data and manufacturer references. The post-muzzle stage includes an “opening nozzle” model for mass outflow and the reactive jet force (“uncorking”) applied at the muzzle plane [4–9, 13–14].

The article will be useful to competitive shooters, hunters, and all enthusiasts of precision rifle shooting.

This work was undertaken in the interest of the global competitive shooting community at the authors’ initiative and funded from their own resources, using open-source information.

 

Ключевые слова: стрелковый спорт, кучность спортивной винтовки, теория кучности.

Keywords: shooting sports, accuracy of a sports rifle, accuracy theory.

 

Введение.

Для расчета действующих при выстреле сил и возбуждаемых ими колебаний дульного среза, а также для их наложения на момент вылета пули необходимо получить зависимости сил, действующих на ствол, при этом разнести по времени события: момент страгивания, момент выхода пули из дульца, прохождения пульного входа, выход пули за дульный срез, определить точки приложения и величину сил и моментов. Это можно сделать с помощью адекватной модели внутренней баллистики [4–6, 13–14]. 1D, 2D или 3D модели внутренней баллистики на этом этапе качественных исследований применять нет необходимости, они могут понадобиться в будущем для создания цифровых копий спортивных винтовок, если удастся выйти на количественные результаты с высокой точностью, или для исследований отдельных важных фрагментов модели.

Рассмотрим уравнения 0D-модели, которая описывает воспламенение и горение пороха до и после страгивания и вылета пули, давление и температуру газов , движение пули в канале ствола , догорание пороха и истечение газов после выхода пули. Примем закон горения пороха в интегральной форме закона Вьей с постепенным воспламенением пороха и подборкой его параметров по экспериментальным данным (скорости, давления). Это позволяет встроить реалистичную кинетику горения пороха. Модель для повышения точности предполагает калибровку по экспериментальным данным о давлении и скорости пули и по данным производителей пороха [4–6, 13, 15].

В 0D-модели внутренней баллистики состояние выстрела задаётся функциями времени:

где — ход донца пули от положения (момент старта интегрирования и страгивания), — давление в газовой камере, — температура газа, — масса газа в камере, — приведённая глубина прогорания зерна, — степень выгорания пороха (доля сгоревшей массы), — массовый расход истечения через дульный срез (при ).

Цель статьи – разработать математическую модель внутренней баллистики выстрела, которая получает функции F(x, P) из модуля «Модель расчета действующих сил и моментов» и трансформирует их в явные временные зависимости сил F(t) и моментов M(t), действующих на ствол, рассчитывая давление P(t), температуру T(t) и движение пули x(t), а также трансформирует асимметричности пули в смену режимов ее движения.

Модель предназначена для фазовой привязки ключевых событий выстрела (страгивание, выход из дульца, прохождение пульного входа, выход за дульный срез, истечение) и передачи в модуль «Колебания» временных рядов F(t) и координат точек приложения вдоль оси s. Результатом расчетов по модели «Баллистика» должны быть зависимости всех сил от времени в явном виде и координаты точек приложения сил.

Материалы и методы.

Календарь событий  и привязка к осевым координатам. Для связки «геометрия → баллистика → колебания → смена режима» важны не только  и , но и времена ключевых событий, определяющих фазу возбуждения колебаний ствола (особенно в зоне пульного входа и при вылете на дульном срезе): — страгивание; : (донце достигло кромки дульца); : (начало врезания); : (начало конуса пульного входа); : (конец конуса); : (выход за дульный срез). Здесь — абсолютная координата донца пули вдоль оси :

где — положение донца в момент .

Геометрия объёма из блока «силы». Моделирование должно позволять получать непрерывные во времени графики  от момента воспламенения пороха до окончания истечения газов. Газ моделируется как идеальный (с возможностью учёта коволюма в уравнении Нобля–Абеля) [1–3]:

Атмосферное давление ; начальная температура заряда и ствола .

Связка с блоком «силы». В модуле «Модель расчета действующих сил и моментов» задаются строго геометрическая функция объёма , включающая переход по давлению через и геометрию зон ; функция эффективной площади приращения объёма

силовые функции сопротивлений , , и суммарная сила

В модуле «Баллистика» эти зависимости превращаются в явные функции времени через решение  и затем передаются в модуль «Колебания дульного среза и контакт-режим» вместе с координатами точек приложения (включая для реактивной струи).

Начальный свободный объем гильзы. Для понимания порядка величин полезно различать истинную плотность зерна и насыпную плотность , которая учитывает пустоты между зернами. Тогда доля объёма, занятая твёрдой фазой, равна

- оценка пустого пространства в «бесконечной» засыпке пороха. Эта оценка объясняет, почему при «полной засыпке» остаётся заметная доля пустот. Например, плотность зерен пороха Vihtavuori N150 ≈ 1.56 г/см³ = 1560 кг/м³, насыпная плотность N150 (по данным Vihtavuori) ≈ 0.91 г/см³ = 910 кг/м³. Насыпная плотность учитывает и зёрна, и пустоты между ними, однако предполагает измерение в достаточно большом объеме, когда более «рыхлый» слой по стенкам мерной емкости не вносит заметной ошибки. Отношение ε = S/V площади контакта пороха с поверхностью мерной емкости S к ее объему V должно быть достаточно малым. Тогда доля объёма, занятая твёрдым порохом непосредственно в засыпке пороха, равна  =/= 0,58, то есть примерно 58 % [5, 6, 29]. Оставшаяся часть — это воздух между зёрнами: . Однако гильза имеет сравнительно большое отношение ε пограничной поверхности к объему V, кроме того, заполнение свободного объема гильзы порохом может быть как меньше 100%, так и больше 100% (при уплотнении). Глубина посадки пули также может быть разной. Это естественно влияет на величину свободного объема. 

Поэтому в нашей 0D-модели начальный свободный объём в гильзе   определен напрямую через измеренную или заданную вместимость гильзы и вычитание объёма пули и твёрдой фазы пороха, без использования приближений вида «» [4–6, 13, 15]. Нам нужно точное значение свободного объема до выстрела. Для этого нужно определить внутренний объем гильзы и вычесть из него объем пороха и объем, занятый пулей. Точное определение объема:

где — полная внутренняя вместимость гильзы после обжима;  = /- объем твердой фазы пороха; в данном случае не важно, занимает порох меньше 100% рабочего объема гильзы или наоборот уплотнен, это уже учитывается в расчете свободного объема гильзы;  — объём части пули внутри гильзы. Поскольку объем гильзы может зависеть от производителя и даже от объема партии, желательно его замерить до края дульца. Практически целесообразно измерять, загерметизировав запальное отверстие и залив в гильзу дистиллированную воду при фиксированной температуре, для которой известна плотность воды [4–6]. Его значение по C.I.P./SAAMI можно найти также у производителей или в базах данных стандартных программ. Нам для общих расчетов можно взять известные цифры. Например, по данным из GRT объем гильзы калибра 6.5х47 Lapua составляет 48,5 gr Н2О. Из него вычитаем объем, занятый пулей и порохом, и получаем значение V₀ [15].

Чтобы определить объем, занятый пулей, нужно взять общую длину патрона, рассчитать глубину посадки пули по ведущей части, рассчитать занимаемый объем от кромки дульца и добавить объем конической хвостовой части пули.

Спуск УСМ, удар бойка по капсюлю и срабатывание капсюля. Колебания ствола начинаются с работы УСМ. А изменения внутри и частично снаружи гильзы начинаются при срабатывании капсюля. Приближенно массу газов и скорость газообразования от сгорания ударного состава капсюля можно определить по формулам:

здесь — доля газовой фазы в продуктах сгорания ударного состава капсюля (не путать с коволюмом в уравнении Нобля–Абеля). Приход продуктов сгорания капсюля определим простой аппроксимацией:

На ранней стадии (до воспламенения пороха) уравнение состояния можно записать без коволюма:

где — свободный газовый объём в гильзе за пулей до старта, — эффективная температура газов капсюля в гильзе (уже с учётом быстрого охлаждения). Начальная температура продуктов сгорания ударного состава капсюля очень высокая, но их масса очень маленькаяпоэтому в гильзе газы быстро охлаждаются о массу пороха и стенки гильзы. Для инженерного расчёта в 0D-модели удобно использовать параметр   как «собранный» эффект. Для примера, масса ударного состава капсюля Federal 205M , долю шлаков примем 60%, тогда оценка массы газов . Время сгорания состава капсюля примерно равно (порядок десятков мкс). Эффективную температуру газов капсюля в камере можно принять как . В более точной модели  будет функцией начальных объема и температуры.  Давление «потолка» от капсюля (без сдвига пули и без горения пороха) определим по формуле: 

От капсюля важна не только высокая температура для зажигания пороха, но и начальное давление для нормального горения пороха, поскольку порох при низком давлении горит медленно и неустойчиво. И главное, учет срабатывания капсюля нужен для фазировки сил, действующих на ствол. На самом деле введение величины  как константы является грубым допущением. Она должна быть функцией теплопотерь и имитировать разницу в воспламенении пороха при разных начальной температуре и объеме. Поскольку мы исследуем влияния посадки на кучность, а при ее изменении меняется начальный объем, процессы при срабатывании капсюля должны это учитывать. Но пока оставим в стороне этот вопрос до проведения расчетных исследований и выявления проблемы. Сила давления на донце пули равна:

Площадь донца пули до входа в пульный вход равна площади сечения пули, в процессе прохождения пульного входа она меняется и после полного профилирования практически соответствует площади сечения канала ствола. Для патрона калибра 6.5×47 Lapua давление от малого капсюля приблизительно равно  или 17 lbf, что ниже типичного уровня усилия страгивания пули 35–45 lbf. То есть, при нормальном натяге одним капсюлем мы не страгиваем пулю (как и требуется для удобного рабочего давления ). Однако при более мощном капсюле и меньшем натяге это вполне может произойти.

При срабатывании капсюля возможно его небольшое «вспучивание» или даже его выдвижение в капсюльном гнезде, что способно влиять на контактные силы в узле «затвор–гильза–патронник», может привести к продвижению патрона в направлении пульного входа (поскольку коническая опора тела гильзы на патронник не является жесткой) и появлению еще одной импульсной силы на зеркало затвора и патронник. В рамках 0D-модели это явление учитывается параметрически (через P_init, t₀ или стартовую ветку сил), поскольку отдельная детальная модель деформации капсюля избыточна для цели фазировки сил в стволе.

Практически стабильный вариант учета влияния срабатывания капсюля на процесс воспламенения пороха и движение пули — задать  при и использовать , где — эффективный момент начала “вовлечения” пороха в горение (например, 0.05–0.1 мс), определяемый калибровкой по эксперименту (момент страгивания и скорость) [4–6]. В наших числах для калибра 6.5×47 Lapua  . Начало воспламенения пороха  берется из решения обратной задачи по расчетной модели или по эксперименту. В более точной модели начало воспламенения  и скорость распространения фронта горения по зернам пороха учитывает их зависимость от свободного объема и температуры. После воспламенения части зерен пороха у запального отверстия уравнение состояния с учетом коволюма (модель Нобля–Абеля) будет иметь вид:

где — масса газов от горения ударного состава и пороха в камере. После воспламенения пороха свойства и температуру смеси газов в гильзе принимаем как для пороховых газов, то есть, упрощаем описание процессов тепломассообмена двух видов продуктов сгорания в гильзе. Изменением начального объема гильзы при выгорании ударного состава капсюля пренебрегаем. Текущий объем определяем через координату , давление и функцию , получаемую из блока «геометрия»:

где — геометрическая (кусочно-заданная) функция, включающая: переход по давлению через с порогами ; геометрию зон в системе ;

Согласование обозначений: сопловая площадь истечения в «Баллистике» обозначается отдельно как , чтобы не конфликтовать с .

Переход объёма гильзы по давлению  При росте давления гильза сначала расширяется в пределах упругой деформации, потом переходит в пластическую деформацию и потом полностью растекается по стенкам патронника. Это происходит не мгновенно по времени и в определенном диапазоне давлений. Точную физическую модель процесса расширения гильзы в модель баллистики пока вводить нет смысла. Такие расчеты, проведенные автономно по точным моделям, показали, что у гильзы 6.5х47 Lapua начало пластики происходит примерно при давлении P₁ = 130–170 бар, а полное растекание по патроннику при давлении примерно P₂ = 380–430 бар. Для такого изменения давления потребуется около 0,1 мс. На основании этих данных мы ввели эмпирическую зависимость и используем гладкий переключатель, чтобы переход не был резким [4–6]:

Эта функция входит в и тем самым в (см. блок «геометрия»).

Плавный переход площади донца пули . При разгоне пули в стволе газы давят на площадь ее сечения.  В начальный момент она равна площади сечения пули по ведущей части, но после прохождения пульного входа ужимается до площади сечения канала ствола. Эффективная площадь, например, в калибре 6.5х47 Lapua при этом падает примерно на 2.2%: до врезания  мм² (для , после полного профилирования   мм². Поэтому силу давления считаем так:

где  плавно переходит от  к на участке прохождения пульного входа . Математическая запись этого перехода:

Таким образом, в уравнениях 0D-баллистики сила давления автоматически учитывает «усадку» эффективной площади по мере врезания и профилирования пули.

Закон горения пороха с учетом постепенного воспламенения зерен. Часто в моделях внутренней баллистики задают закон горения пороха, исходя из его геометрии, предположения о мгновенном воспламенении всей поверхности зерен и одинаковой скорости горения по всем направлениям зерна. Однако в практике пороха для спорта не все так просто. Пороха для спортивных винтовок (Vihtavuori, Hodgdon, Ирбис/Игла и ряд других) представляет собой экструдированные цилиндрические зерна трубчатого типа с открытыми торцами [13]. Он воспламеняется постепенно, имеет объемную и поверхностную анизотропию, часто имеет покрытие, с помощью которого управляют прогрессивно-дегрессивным горением. Физическая модель прогрева и воспламенения поверхности пороховых зерен с постепенным распространением фронта горения по отдельным зернам и всей засыпке пороха достаточно сложна и неприменима для инженерных расчетов. Поэтому закон горения такого пороха и его коэффициенты определяются экспериментально по испытаниям в «манометрической бомбе». В нашем случае логичнее закон горения представить в виде обобщенной функции , которая входит в модель «Баллистика» в качестве исходных данных. Физику процесса постепенного воспламенения пороха заменим характерной эмпирической зависимостью  и экспериментально измеренными коэффициентами [4–7, 13, 15].  В этом случае закон горения пороха записываем в виде:

Здесь — безразмерная форм-функция (нормирована так, что ). Безразмерный параметр z определяется как отношение текущего и начального критического размера горящего свода: . Коэффициент имеет смысл линейной скорости горения при MPa (в тех же единицах, что и ; при в мм — в мм/с). Опорные точки z и соответствующие им значения функции F(z) задаются в нормированном виде (z=0, F₀=F(0); z=z_1, F₁=F(z₁); z= z_2,  F₂=F(z₂); …, F₃=F(1)). Аппроксимация функции F между опорными точками подбирается в зависимости от вида функции. Типичная форма учёта постепенности воспламенения (задержка + плавный разгар):

где — функция Хевисайда, — эффективный момент начала поджига зерен пороха у запального отверстия, — характерное время распространения фронта горения по поверхности зерен, которое также зависит от температуры, давления и начального объема:  =     — пороговое давление, при котором фронт пламени вовлекает основной заряд.

Критический размер толщины горения определяется в зависимости от соотношения диаметра и длины зерна. При открытых торцах и трубчатом зерне есть два возможных критических размера: радиальный  и укорочение по длине . В общем виде максимальная толщина горящего свода определится как:

Степень выгорания пороха и связь с массой газа. Изменение массы сгоревшего пороха определим соотношением:

Плотность твёрдой фазы  считаем постоянной, тогда . Степень выгорания (массовую долю сгоревшего пороха) определяем геометрически:

В баллистике используем эту степень выгорания как переменную, определяющую массу газов:

Масса сгоревшего пороха и её производная [1–4, 13, 25]:

Масса газов в стволе, истечение и догорание зерен после вылета пули. Масса газов в стволе винтовки:

где — масса газов и недогоревших зерен, вышедшая из ствола после вылета пули. При неоптимально подобранном (медленном) порохе определенная его часть догорает уже после вылета пули. В этом случае при истечении пороховых газов из ствола часть остатков догорает в стволе, а часть вылетает с пороховыми газами. Довольно сложно получить исходные данные для модели, учитывающей долю вылетающих из ствола недогоревших остатков, поэтому сделаем предположение, что эти остатки расположены ближе к патроннику и полностью сгорают в стволе. Ключевое допущение по догоранию пороха после вылета пули: если к моменту вылета пули , то остаточная масса  полностью догорает в стволе (при ) и вносит вклад в расход  и реактивную силу  газов параллельно истечению той массы газов, которая образовалась до вылета пули из ствола. Это даёт верхнюю оценку газового импульса, но в большинстве случаев завышение небольшое, поскольку сами остатки не так велики. Выброс части недогоревших зёрен приведёт к уменьшению , не разрушая форму [4–7].

Энергетический баланс газа. Полная внутренняя энергия газов в камере равна:

где — масса газов в камере, — их температура, — удельная теплоёмкость при постоянном объёме. Дифференцируя правую часть уравнения, получаем соотношение:

С другой стороны, баланс энергии в 0D-приближении с учётом расширения объёма, работы по разгону пули внутри и вне ствола, истечения газа, трения пули и теплопотерь в ствол определим соотношением:

— приток энергии за счёт горения пороха, — удельная химическая энергия пороха (без учёта потерь);  — работа расширения свободного объема при разгоне пули в стволе ( согласован с модулем «геометрия»). В общем виде

где  берётся из модуля «геометрия». Для инженерной проверки в простейшем приближении можно использовать запись  при движении внутри ствола, однако в расчёте, согласованном с геометрией, используем именно .

До выхода пули из ствола , , , ; после выхода: определяется выбранной схемой (обычно внутренний объём ствола фиксирован, а изменение давления задаётся истечением), ,  плавно падает к нулю,  до полного выгорания пороха.

 — работа газа по разгону пули уже вне ствола (постдульный «дожим»), в расчетах до вылета пули за дульный срез не участвует; — весовой коэффициент «видимости» донца пули для давления, ; — массовый расход через дульный срез, — теплоёмкость при постоянном давлении, — температура газа на выходе дульного среза (по сопловым формулам) [16-19];  — энергия, уносимая истекающей струёй (реактивная струя), — энергия, уходящая на сопротивление дульца, формирование канавок и трение пули о ствол; — тепловой поток (теплопотери) в стенки патронника и ствола. Потери энергии на формирование канавок и трение пули о ствол можно определить приближенной зависимостью:

где — сила на формирование канавок и «трение» пули о ствол определяется формулой:

Составляющие силы передаются из модуля «силы»). Для автономной отладки программы внутренней баллистики  упрощенно задавали как

Коэффициенты и являются эффективными интегральными величинами. В пульном входе и канале ствола при высоких давлениях и нагрузках реализуется более сложная картина взаимодействия поверхностей «медь – сталь» или «медь — карбон», чем обычное трение. Здесь классическая физика простого трения при таких скоростях и давлениях уже не работает. Оболочка пули не трётся о сталь — она вдавливается и врезается в микронеровности стали нарезов, а контакт поверхностей становится не просто плотным, а взаимопроникающим в тонком пограничном слое. Осаждение меди — это в основном адгезионно-механический перенос и «размазывание» оболочки по стали или по слою карбона. Поэтому коэффициент динамического трения вбирает в себя все эффекты взаимодействия пули и ствола, включая микросрезание и адгезию, которые появляются при высоких давлениях, скорости и локальном нагреве.

Теплопотери в ствол определим формулой:

где — эффективный коэффициент теплоотдачи в ствол, — площадь контакта газа со стволом, является функцией   и растёт по мере увеличения , — температура ствола. С учётом приведенных выше формул окончательное ОДУ для температуры принимает вид [16-19]:

Что ещё существует физически, но не выделено в 0D-модели: 1) кинетическая энергия недогоревших зёрен и твёрдой фазы (зёрна пороха и твердая фаза продуктов сгорания, которые уносятся потоком), в стандартной 0D-модели это либо игнорируется, либо «сидит» внутри ; 2) энергия акустических и упругих колебаний ствола (звук, вибрации ствола и ложи) — тоже обычно входит в «потери»; 3) излучение (радиационные потери). Для времён порядка миллисекунд и размеров ствола — очень маленький вклад, его, как правило, прячут в теплопотерях; 4) химическая энергия недогоревшей части пороха, это отдельный резервуар энергии (ещё не перешедшей в газ); в 0D-схеме она живёт в виде  и появляется в газе только через слагаемое . При необходимости можно ввести явную структуру:

и выписать баланс для суммы. Но для 0D модели с явными и  уровень детализации и без этого уже очень приличный [4–6, 15]. Надо также учитывать, что чем больше переменных в модели, тем сложнее ее калибровать. И затачивать под нашу цель, не увлекаясь детализацией процессов, которые не чувствительны к глубине посадки пули.

Фактор Себерта. Неформально (по описаниям из руководств и практики QuickLOAD-подобных моделей) Sebert factor трактуют как весовой коэффициент для суммарных потерь (поток энергии, нагрев, трение). Но именно поэтому он и не измеряется напрямую, а является калибровочным коэффициентом. В GRT фактор Себерта введен в качестве исходных данных. Он достаточно сильно влияет на давление, поэтому мы не можем обойти его стороной. Физически фактор Себерта (Sebert factor, 0…1) в GRT — это коэффициент подхвата или пропускной способности, который вводят не как геометрию, а как поправку на «потери» энергии газа, прежде всего на кинетическую энергию потока пороховых газов и частично на прочие «неидеальности» (трение, нагрев и т. п. в рамках упрощённой 0D-модели). В документации GRT он прямо описан так: «flow energy можно учитывать, «прибавляя» долю массы заряда к массе пули как к ускоряемой массе» — то есть вводится эффективная масса. Как это отражается в физике и в формулах. Идея состоит в том, что часть массы пороха «как бы разгоняется вместе с пулей», поэтому в уравнение движения вместо  подставляют

где — масса пули, — масса пороха, — Sebert factor.

Тогда в первом приближении уравнение движения можно записать так:

Эквивалентно по энергии: добавка  означает, что газ должен затратить энергию еще и на кинетику потока. Грубая оценка «потери» в таком приближении:

Смысл именно такой, что не «пуля стала тяжелее» физически, а модель заставляет газ тратить больше работы на разгон системы «пуля+часть пороха». Фактор Себерта влияет на давление через механику внутренней баллистики, связь прямая: больше ⇒ больше ⇒ меньше ускорение при том же , пуля медленнее увеличивает объём за ней ⇒ давление успевает вырасти выше (как правило растёт , сдвигаются времена , ), при прочих равных скорость на выходе обычно падает, потому что больше энергии уходит в «разгон потока и потери». Важно, что в реальной настройке параметры сильно коррелируют:  «перетягивает» на себя то, что можно частично компенсировать другими способами (энергия, прогрессивность пороха, трение и т. д.). Поэтому ощущение «изменил фактор и всё поменялось» абсолютно ожидаемо. Фактор Себерта – это не табличная константа пороха,  почти никогда нельзя «выписать из справочника» под ваш калибр. На практике это калибровочный параметр модели. Лучший случай (правильный), есть скорость (хронограф) + есть давление и кривая тензометрического датчика (хотя бы с доверенным источником) → тогда можно подобрать так, чтобы одновременно совпали , и разумная форма . Типичный случай (как у большинства): есть только → тогда лучше фиксировать (взять “разумный” старт) и подгонять другие параметры, иначе вы получите множество эквивалентных решений (математика «сойдётся», а физический смысл будет плавать).

Газовая сила на пулю с учётом . Газовая сила, толкающая пулю, в каноническом виде:

где — каноническая функция площади донца пули, содержащая плавный переход  на участке прохождения пульного входа , как зафиксировано в модуле «Модели сил и моментов».

Радиальная нагрузка как явная функция времени: , , . Поскольку модуль «Баллистика» даёт нам ход донца (а значит и ), все квазистатические зависимости можно просто переписать во времени через подстановку .

Кинематика в пульном входе. Введём координату врезания (она же «глубина входа в нарезы» в нашей силовой идеализации):

где — координата первого контакта.

Осевая сила сопротивления врезанию берётся из силовой модели:

а эффективная длина контактной зоны (если делаем её переменной) задаётся тем же весом:

Перевод осевой силы в эквивалентное радиальное «распирание». Для конуса пульного входа с половинным углом эквивалентная радиальная составляющая (осесимметричная) в первом приближении:

Чтобы сложить эту механику с газовым давлением, переведём силу в давление по внутренней поверхности «активного» участка контакта. Введём внутренний радиус канала (для «дыхания» удобно брать ) и площадь внутренней поверхности контактной зоны:

Тогда эквивалентное «механическое» радиальное давление:

Смысл важный: при малом (пологий пульный вход) множитель велик, и умеренная осевая сила даёт сильный радиальный «распор».

Совместное действие: газовое давление + механика врезания. Осесимметричная радиальная нагрузка, которая идёт в «дыхательную» моду канала, складывается из газовой и механической частей:

Газовая часть. В простейшем приближении (без осевой локализации):

Если хочется локализовать вклад по оси (опционально), вводится вес :

Итоговая формула (главный результат). В общем виде:

А в самом простом варианте :

Что идёт в изгиб (не в «дыхание»). Всё вышеприведённое — осесимметричная («кольцевая») компонента для радиальной и дыхательной моды. Несимметрия, возбуждающая изгиб, учитывается отдельно через микроплечо и момент:

после чего этот момент проецируется на изгибные моды ствола.

Минимальный набор входов (чтобы блок работал однозначно): или ; ; модель (или + ); ; (например, ); модель (хотя бы константа ); (опционально)  для осевой локализации газового вклада.

Сборка полной цепочки свободного объёма. Базовые определения. Осевая координата донца пули:

Смещение за дульный срез:

Функция отсечки:

Для расчета зависимости давления от времени нам нужно знать изменение свободного объема. Общая формула свободного объема для всех этапов движения пули равна:

Где  – свободный объем,  – объем в области патронника, - объем фрибора,  – объем пульного входа,  – объем канала ствола,  – условный объем за стволом, где реактивная струя действует на пулю.

Свободный объем для пороховых газов до выхода пули из дульца включает только свободный объем гильзы. До начала расширения ее объем вычислим по формуле:

 

 -  измеренная или заданная вместимость гильзы после фуллсайза (задается как исходные данные);   – объем, занятый порохом; рассчитывается по формуле:

 – масса пороха,  – плотность зерен пороха;

(формула “цилиндр + усечённый конус” находится в модуле «геометрия»). После того, как гильза начинает упруго и затем пластически расширяться, ее объем начинает изменяться. Для учета этого изменения введем плавную функцию. Задаём два порога  и гладкий шаг:

Вводим два референсных значения свободного объёма при :     - свободный объем газа после растекания гильзы по патроннику. Плавный переход:

Определяем значения   и  при :

Внутренний объём патронника в зоне гильзы после растекания:

— геометрический объём патронника от до ,  – масса гильзы,  – плотность латуни. Фрибор : фаска + цилиндр . Вводим длины зон: фаска (шейка фрибор): , цилиндрический фрибор: , суммарно до начала конуса: . Справочная площадь сечения фрибора:

Открытая газу длина внутри участка :

Тогда объём фрибора (включая фаску) равен:

Примечание: фаска учтена явно через предел . Никаких скрытых смещений на дальше по тексту нет. Конус пульного входа  через , и смешение с . Обозначим  Условный диаметр внутри конуса как функция безразмерной координаты : Длина конуса:  Длина конуса, “открытая газу”:

Плавное смешение площади с . Берём закон смешения:

Тогда эффективная площадь в конусе:

Это гарантирует плавный переход: при  площадь “как во фриборе” , при площадь ровно . Определим приращение объёма конуса от  до текущего :

Интеграл берётся в явном виде:

Постоянный канал до дула (через ):

Условный объём “снаружи” после вылета (геометрическое продление)

Итоговая сборка объёма (как выше)

Истечение продуктов сгорания пороха из ствола через кольцевую щель между пулей и дульным срезом.

Начальная температура газов  при вылете пули получается из уравнения:

Эффективный объем , занимаемый газами после вылета пули, включает объем канала ствола от дульного среза до пульного входа, объем пульного входа, фрибора и патронника за вычетом объема, занимаемого металлом гильзы, поскольку гильза раздута по патроннику, и недогоревшими зернами пороха. При движении пули в стволе объем считается до ведущей части пули за вычетом объема хвостового конуса.

В нарезном стволе живое сечение канала отличается от простого круга по «номинальному калибру». Профиль образован чередованием полей и нарезов, причём пуля обтюрируется по сложному профилю, а свободный объём для газов определяется, в первую очередь, геометрией нарезов. Реальный профиль нарезов конкретной винтовки имеет скругления и фаски, а также подвержен износу и омеднению, в разных винтовках разное число нарезов, поэтому точный интегральный расчёт площади по реальному контуру даёт выигрыш по точности в пределах нескольких процентов при существенно большей сложности геометрии. Для точного расчета параметров истечения газа из ствола, если нет точных размеров для своей винтовки, лучше взять справочную живую площадь сечения конкретного ствола.

Объём газовой камеры за пулей. В нашем варианте используется:

где берётся из раздела «геометрия» (кусочно-заданная геометрия + ).

Ниже в разделе про истечение используются  и ; при этом внутренняя геометрия объёма остаётся заданной функцией .

Воздействие реактивной силы на пулю. Полная реактивная компонента силы (как у ракеты) равна:

Первый член — изменение импульса потока, второй — сила от перепада давления на выходной плоскости щели [16-19]. Нас интересует реактивное истечение газов примерно до 3–4 калибров пули, когда на пулю влияет реактивная струя газов, в том числе асимметричная. Нам понадобится варьировать несимметричностью струи для изучения ее влияния на сход пули с траектории. После 3–4 калибров дальше пуля летит по инерции, и реактивная струя пороховых газов на нее уже не влияет.

Дополнительный «дожим» пули газовой струёй в начальный момент вылета. После выхода из ствола на пулю действует дополнительная сила от газовой струи, которая создает эффект выброса за ствол. Пока пуля в стволе, её разгоняет давление газов в камере. Но, даже на микроны выйдя за дульный срез, пуля открывает проход пороховым газам, иногда несимметрично, которые продолжают разгонять и влиять на нее уже вне ствола, за счёт давления и реактивного обдува газами [7-9, 16–19]. Когда пуля вышла за дульный срез, из ствола через кольцевую щель вырывается реактивная струя пороховых газов, которая может асимметрично обтекать донце пули. В простейшем виде это можно описать как добавочный «реактивный» напор на донце:

где — плотность газа на выходе; — эффективная площадь донной части пули, реально обдуваемая струёй; — безразмерный коэффициент, учитывающий угол отражения потока и неидеальность схемы [7-9, 16-19]. Тогда уравнение движения пули будет иметь вид [4, 5]:

При асимметрии обтекания реактивной струёй возможны боковая сила и опрокидывающий момент — это учитывается отдельно в блоке «Колебания» через эксцентриситет и момент истечения.

Геометрия кольцевой щели и эффективная площадь. Пусть — абсолютная координата донца пули в системе (как в модуле «силы»), а — координата дульного среза. Введём смещение пули за плоскость дульного среза:

Когда пуля только выходит, между её оболочкой и дульным срезом образуется тонкая кольцевая щель, через которую газы начинают истекать наружу. Полное сечение канала открывается не мгновенно. Вводим эффективную площадь «сопла» (открывающейся щели) между пулей и дульным срезом:

где — условная длина, на которой сопло «раскрывается» до полного сечения (около двух калибров) [16-19].

Истечение газов через «открывающуюся» щель. Весовой коэффициент действия давления на донце пули:

Массовый расход через считаем по стандартной изоэнтропической модели сопла. Обозначим

Если или , то .

Критическое истечение ():

Докритическое истечение ():

Осевая скорость истечения [9, 10]:

В реальности нарезы немного закручивают внешнюю часть истекающего из ствола потока, но их влияние на осевую составляющую скорости потока также составляет доли процента, и поэтому считаем осевую скорость без учета закрутки газов.

Реактивная сила струи на дульном срезе [9, 16-19]:

 

где

Истечение газов из ствола после ухода пули на 3–4 калибра от ствола. Как только пуля уходит от дульного среза на 3–4 калибра, эффект воздействия на пулю потока продуктов сгорания пороха затухает, и они начинают свободно истекать из ствола при постоянной площади «сопла», создавая реактивную силу отдачи. Уравнения для истечения потока и реактивной силы струи те же.

Аппроксимация реактивной силы истечения по импульсу. Точный профиль реактивной силы истечения пороховых газов из ствола  в большинстве задач нам не нужен, поэтому удобно заменить его простой аппроксимацией, согласованной по импульсу. Один из практичных вариантов — экспоненциальная модель:

где соответствует моменту сразу после выхода пули (канал открыт), когда давление в канале ещё равно , а масса газа в стволе — .

Начальная реактивная сила в этой точке:

где — массовый расход через дульный срез при , — скорость истечения, — давление на выходе, — эффективная сопловая площадь истечения (в простейшем приближении ), — атмосферное давление. Параметры вычисляются по стандартным сопловым формулам при известных и расходном коэффициенте .

Оценка характерного времени выдува газа:

где — эффективный объём газовой камеры при вылете пули, — температура газа при вылете, и — параметры газа. Альтернативно удобно выбирать из условия равенства импульсов:

где берётся из 0D-модели (численное интегрирование “точного” до падения давления до ). Такой выбор гарантирует правильный импульс при максимально простой форме . Так мы получаем простую «газовую полку и хвост» после вылета пули, которая по импульсу совпадает с более полной моделью, но не требует точного профиля .

Уравнение движения пули. До выхода пули за дульный срез (когда и ):

Сразу после выхода (если в модели учитывается «дожим» струёй на пулю) допускается добавка:

где задаётся в «Баллистике» через параметры струи по ранее введённой модели истечения.

Координата точки приложения реактивной струи и связь с колебаниями. Реактивная сила струи прикладывается в плоскости дульного среза:

Эта координата должна быть явно передана в раздел «Колебания» как точка приложения для и при учёте соответствующего изгибающего момента от эксцентриситета истечения.

Интерполяция рядов для передачи из баллистического модуля в модуль колебаний. Поскольку для расчёта сил и возбуждения колебаний нужны точные, “формо-сохраняющие” интерполяции рядов во времени и их производных, используем монотонную кусочно-кубическую эрмитову интерполяцию (PCHIP). Она точно проходит через все табличные точки (ошибка в узлах = 0), задаёт аналитическую формулу на каждом интервале (кубический полином), сохраняет форму без паразитных осцилляций, даёт аналитические производные и на каждом интервале.

Формат данных, передаваемых между модулями. Из баллистического модуля в модуль сил и колебаний передаются таблицы: , , . Передача v(t) предпочтительнее передачи x(t), потому что дифференцирование, тем более двойное, усиливает шум, а интегрирование его подавляет. Опционально (только для контроля согласованности и событий) и  . Ускорение в силовом балансе получаем через дифференцирование , а путь — через интегрирование . Табличный используется как контрольный ряд, а не как источник ускорения. Ускорение вычисляется как первая производная скорости:

а путь восстанавливается интегрированием скорости:

PCHIP-представление на интервале и аналитический интеграл. Каждая строка коэффициентов задаёт один интервал по времени  и кубическое уравнение по локальному времени

где  и выражены в миллисекундах. Для любого ряда на интервале  используется кубический полином:

Тогда аналитическая производная равна:

Аналитический интеграл на интервале (с константой ) равен:

Получение ускорения дифференцированием. Поскольку  на каждом интервале задаётся кубиком,

то ускорение на этом интервале получается аналитическим дифференцированием:

Восстановление пути  интегрированием скорости . Путь восстанавливается интегрированием скорости на каждом интервале:

Переход между интервалами выполняется накоплением как значения в конце предыдущего интервала, что обеспечивает непрерывность и согласованность с .

Использование данных из модуля «Баллистика» в модуле колебаний. После построения PCHIP-представлений получаем на мелком шаге: (и при необходимости ), и ускорение , интегрированием . Опциональные и , переданные из баллистического модуля, используются только для контроля (проверка согласованности интеграла скорости и табличного пути, контроль момента выхода).

Результаты и обсуждение.

Примеры расчета сил F(t), моментов M(t) и давления P(t) в функции времени. Расчеты сил, моментов и давления для случая достаточно большого изменения глубины посадки пули (68–72 мм или 0,157 дюйма) показали главное. При изменении глубины посадки и заданной массе пороха изменение времени пребывания пули в стволе  достаточно маленькое, и можно ожидать, что изгибные колебания не покажут чувствительности не только между выстрелами в одной партии, но и в разных партиях при достаточно большом изменении глубины посадки пули. Чувствительность кучности к осевым и радиальным нагрузкам необходимо проверить расчетами. На рис. 2 приведены кривая давления без учета эквивалентной радиальной силы от врезания пули в пульный вход (а) и с ней (б). На рис. 1б наблюдается острый пик от прохода пули через нарезы пульного входа, который может породить импульс «дыхательной» волны, и более мощный, но более гладкий пик от максимального давления в стволе, который скорее всего возбудит «длинную» волну, приводящую к подбросу ствола.

На рис. 2 (а, б, в) приведены осевые силы, действующие на ствол от момента страгивания до момента движения пули в канале ствола для общей длины патрона 68, 71 и 72 мм. Видно, что они сильно отличаются по фазам прохождения пульного входа, при этом, как уже говорилось, общее время пребывания пуль в стволе отличается не слишком заметно. В модуле «колебания» мы будем изучать, как это связано с фазами процессов и влиянием на кучность. На рис. 2 г представлен изгибной момент при прохождении пулей пульного входа. Он может быть значительным, но, как мы уже сказали, вряд ли чувствительность этих импульсов сможет конвертироваться во влияние на кучность. Влияние несимметричной продольной волны от этого момента нужно изучить как отдельно, так и в комплексе с действием реактивной струи.

 

а                                                                       б

Рисунок 1.(а) – давление в стволе винтовки без учета распирающей силы; (б) – локальный пик эквивалентного давления от силы пули, распирающий ствол при проходе пульного входа

 

а                                                                     б

в                                                                         г

Рисунок 2. (а, б, в) - осевые силы, действующие на ствол от момента страгивания до момента движения пули в канале ствола для общей длины патрона 68, 71 и 72 мм; (г) - изгибающий момент, порождаемый силами при проходе пули через пульный вход

 

Расчёт изгибающего момента на дульном срезе от эксцентриситета линии действия силы давления (когда результирующая сила давления на донце пули и на зеркало затвора приложены с разными боковыми смещениями).

Модель (минимальная, но физически корректная для “момента-пары”)

Сила давления:

Пусть линии действия этих сил смещены относительно оси ствола на и .
Тогда момент-пара:

Если рассматривать ствол как консоль (заделка в коробке), то внутренний изгибающий момент вдоль ствола от приложенной пары одинаков, поэтому

(т. е. тот же момент “доходит” до дула как внутренняя изгибающая диаграмма от пары).

 

Рисунок 3. Зависимость от времени изгибающего момента на дульном срезе от эксцентриситета линии действия силы давления

 

На графике рис. 3 показан не “ответ ствола”, а возбуждение: изгибающий момент, полученный как

где в основном пропорциональна (через ,  и т. п.).
А в 0D-баллистике гладкая (без ударных “зубцов”) ⇒ тоже гладкий. У “момента как входа” нет причины самопроизвольно колебаться. Если входной изгибающий момент получается гладким, то вокруг него не обязаны появляться высокочастотные колебания. Причина простая: это возбуждение почти целиком низкочастотное (спектр ограничен формой ), а высокие моды изгиба заметно раскачиваются только от резких событий (удар и импульс в пульном входе, резкий фронт , “ring-down” от локального контакта и т. п.). Гладкое даёт в основном квазистатический прогиб и медленный разгон мод. Высокочастотные колебания появляются в отклике конструкции, когда этот момент проходит через динамику ствола:

То есть осцилляции “вокруг” возникают не в , а в , , деформациях и т. д. — это обычная ситуация: вход плавный, выход звенит (если есть достаточно быстрые фронты). Если возбуждение почти квазистатическое относительно собственных частот изгиба, отклик будет следовать плавно. Собственные частоты изгибной консоли для ствола вообще не десятки кГц, а существенно ниже. Для этих параметров оценка даёт примерно: Гц, Гц, Гц. На временах порядка – мс это означает: 734 Гц → период ~1.36 мс → меньше одного–двух циклов до вылета. Колебания должны быть в отклике ствола (, ), и их “мало” до вылета — тоже нормально для изгиба (частоты сотни Гц).   это именно угол дула (наклон оси и касательной) во времени в вашей текущей прогонке. В канале “несоосность приложения силы давления к пуле и зеркалу” вы фактически задаёте пару сил ⇒ чистый концевой изгибающий момент (а не поперечную силу). Для квазистатической части (а она доминирует при гладком ) у консоли   равен:

Прогиб дула  из угла  для этого канала получаем через связь:

То есть форма графика будет той же, что у , только по другой шкале. Например, для : Практически берём график  в рад и умножаем по оси на 0.330 — получаем в м.

Ответ получается в основном гладким и медленно меняющимся. Иногда на нём появляется лёгкая высокочастотная “дрожь” (обычно от 2–3-й собственной моды), если мы добавляем короткий импульс в зоне пульного входа. Но сам канал асимметрии давления (неравномерное приложение давления к пуле и зеркалу затвора) почти не возбуждает эту дрожь и даёт в основном плавную составляющую.

Входы из модуля «геометрия» - выходы в блок «колебания» [1-3]. Данный блок фиксирует интерфейс обмена данными между модулями «Силы» → «Баллистика» → «Колебания», чтобы расчёт сил и событий во времени был однозначно связан с геометрией патронника, моментом выхода пули за дульный срез и с задачей расчёта колебаний дульного среза.

В. Внутренние вычисления в разделе «Баллистика» (преобразование к явным функциям времени)

B.1. Кинематика и события

• Ход донца: , скорость .
• Абсолютная координата донца:
• Смещение за дульный срез:

B.2. Объём и уравнение состояния

• Текущий объём камеры:
• Давление и температура: — из уравнения состояния + энергетического баланса.

B.3. Истечение через дульный срез

• Сопловая площадь истечения (не путать с ):
• Весовой коэффициент «видимости донца»:
• Массовый расход: Параметры истечения: .
• Реактивная струя подключается как обычный PCHIP-ряд:

C. Выходы из раздела «Баллистика» в раздел «Колебания» [1-3].

C.1. Явные зависимости сил от времени (главный результат)

Модуль «Обозначения и силы» задаёт сопротивления как функции координаты (и, при необходимости, давления и скорости):

В модуле «Баллистика» они становятся явными функциями времени. Силы, передаваемые в «Колебания» в явном виде:

• Газовая сила на пулю:
• Сопротивление шейки:
• Сопротивление врезания:
• Сила скольжения:
• Суммарная сила сопротивления:
• Реактивная сила истечения на дульном срезе: 

(При использовании в модели: как отдельный выход.)

C.2. Координаты точек приложения сил вдоль оси (обязательный выход)

• Реактивная струя:  
• Контакт в шейке: зона (характерная точка ).
• Контакт в пульном входе: зона (характерная точка ).
• Скольжение в канале: зона (характерная точка или распределённая нагрузка).

C.3. Календарь событий (временные метки для фазировки возбуждения)

Передать в «Колебания» времена: — страгивание (старт движения пули); : ; : (начало врезания); : ; : ; — окончание конусной стадии в силовой модели (если используется); : .

C.4. Дополнительные временные ряды (по необходимости в «Колебаниях»)

, , , , , , ; , , ; , , .

D. Итоговая логика связки блоков

Блок «Силы» задаёт , , , , , → «Баллистика» решает ОДУ и получает → формирует и точки приложения (включая ) → «Колебания» использует и -координаты для расчёта колебаний дульного среза.

Заключение

В статье представлена 0D-модель внутренней баллистики, специально разработанная как связующий блок между геометрией патронника, патрона и пули, действующими в процессе выстрела силами, моментом выхода пули за дульный срез и накладывающимися на движение пули колебаниями ствола. Модель обеспечивает:

1. получение непрерывных временных рядов , , , , и сил , , , , ;

2. геометрический расчет объёма газов в стволе  на основе кусочно-заданной геометрии зон и механизма расширения гильзы через , что исключает расчётные приближения объёма и обеспечивает точную фазировку давления;

3. параметризацию кинетики горения с постепенным вовлечением заряда и возможностью калибровки по экспериментальным данным и справочным источникам производителей порохов;

4. описание постдульной стадии через «открывающееся сопло» и изоэнтропическое истечение, позволяющее рассчитать реактивную силу струи на плоскости дульного среза ; и ее действие на пулю после выхода из ствола;

5. фиксацию интерфейса «Силы» → «Баллистика» → «Колебания», включая координаты точек приложения сил и календарь событий , определяющих фазу возбуждения колебаний ствола.

Тем самым подготовлен полный набор формул и выходных данных, необходимых для дальнейшего расчёта колебаний дульного среза и анализа влияния стартовой динамики и постдульных процессов на направление вылета пули и на кучность [1–19].

 

Список литературы:

1. Богословский В.Н., Жуков И.Г. Теория кучности спортивной винтовки. Часть 1. Постановка задачи. Физическая модель процесса выстрела. (в печати).
2. Богословский В.Н., Жуков И.Г. Теория кучности спортивной винтовки. Часть 2. Модель расчета действующих сил и моментов (в печати).
3. Богословский В.Н., Жуков И.Г. Теория кучности спортивной винтовки. Часть 4. Колебания дульного среза и контакт-режим (в печати).
4. Карлуччи Д. Э., Джейкобсон С. С. Баллистика: теория и проектирование орудий и боеприпасов / пер. с англ. — М.: (справочное изд.), 2018.
5. Корнер Дж. Теория внутренней баллистики артиллерийских систем / пер. с англ. — М.: (справочное изд.), 1960.
6. Хэтчер Дж. Записки Хэтчера (Hatcher’s Notebook) / пер. с англ. — М.: (справочное изд.), 2000.
7. Андерсон Дж. Д. Современные течения сжимаемого газа: с исторической перспективой / пер. с англ. — М.: (справочное изд.), 2004.
8. Isentropic Flow Equations (NASA Glenn Research Center): Электронный ресурс. Режим доступа: https://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/isentrop.html (дата обращения: 25.12.2025).
9. Nozzle Choked Flow Equations: Электронный ресурс. Режим доступа: https://flow-rate-calculator.com/Nozzle-Choked-Flow-Equations.php (дата обращения: 25.12.2025).
10. C.I.P. — 6,5 x 47 Lapua (Homologation / TDCC / Pressures): Электронный ресурс. Режим доступа: https://bobp.cip-bobp.org/fr/tdcc_public?page=1&cartridge_type_id=1&cartridge_id=383 (дата обращения: 25.12.2025).
11. C.I.P. (официальный сайт): Электронный ресурс. Режим доступа: https://www.cip-bobp.org/ (дата обращения: 25.12.2025).
12. SAAMI (официальный сайт): Электронный ресурс. Режим доступа: https://saami.org/ (дата обращения: 25.12.2025).
13. Vihtavuori Reloading Guide 2024: Электронный ресурс. Режим доступа: https://www.vihtavuori.com/app/uploads/2024/03/Vihtavuori-Reloading-Guide-2024-ENG.pdf (дата обращения: 25.12.2025).
14. Lapua — 6.5×47 Lapua (cartridge information): Электронный ресурс. Режим доступа: https://www.lapua.com/cartridge/6-5x47-lapua/ (дата обращения: 25.12.2025).
15. Gordon’s Reloading Tool (GRT): Электронный ресурс. Режим доступа: https://www.grtools.de/ (дата обращения: 25.12.2025). 
16. Ongaro F. et al. Modelling of internal ballistics of gun systems: A review // Journal of Defense Technology. 2024.
17. McCoy R. L. Modern Exterior Ballistics: The Launch and Flight Dynamics of Symmetric Projectiles. 2nd ed. Schiffer Publishing, 2012.
18. Carlucci D. E., Jacobson S. S. Ballistics: Theory and Design of Guns and Ammunition. 3rd ed. Boca Raton: CRC Press, 2024.
19. McShane J.P., Kelley J.E., Reno H.W. Interior Ballistics of Guns. Baltimore: The Ordnance Department / Johns Hopkins University Press, 1947.