МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЩИТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ СПОРТИВНОЙ ОДЕЖДЫ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ БАЛКИ

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассмотрена методика расчёта жёсткости и прочностной надёжности защитных элементов накладки для спортивной одежды фигуристов, изготовленных из ТПУ-филамента методом 3D-проектирования. Геометрия защитных элементов представлена цилиндрами, расположенными в шахматном порядке и образующими эллипсоидный контур, что обеспечивает удобную интеграцию в конструкцию одежды. Каждый цилиндрический элемент моделируется как консольная балка, изгибающаяся под действием силы трения, возникающей при падении спортсмена на лёд. На основе дифференциального уравнения упругой линии получено выражение для максимального прогиба, позволяющее оценить жёсткость элемента.

ABSTRACT

This study presents a structural analysis method for determining the stiffness and strength reliability of protective pad elements for figure-skating sportswear manufactured from TPU filament using 3D-design technology. The protective elements are shaped as cylinders arranged in a checkerboard pattern, forming an ellipsoidal contour suitable for integration into clothing. Each cylindrical element is modeled as a cantilever beam subjected to bending caused by frictional force during a fall on the ice. Using the differential equation of the elastic curve, an expression for the maximum deflection is obtained, enabling evaluation of the element’s stiffness. 

Ключевые слова: защитный элемент, теория балки, трение, консольная балка, изгибающий момент.

Keywords: protective element, beam theory, friction, cantilever beam, bending moment.

Введение.

В современном спорте значительно возрастают требования к безопасности и функциональности спортивной одежды. Интенсивные физические нагрузки, высокая скорость движений и риск падений требуют применения специальных защитных элементов, способных снизить вероятность травм и повысить комфорт спортсмена. В связи с этим разработка и совершенствование защитных компонентов функциональной спортивной одежды является актуальным научно-практическим направлением, особенно в тех видах спорта, где механические воздействия на тело спортсмена достигают критических значений [1].

Особое значение защитные элементы приобретают и в массовом любительском катании на коньках, где уровень технической подготовки спортсменов, как правило, невысок, а риск падений значительно выше. При выполнении базовых элементов, резких остановок или потери равновесия основная нагрузка приходится на коленные, локтевые и тазобедренные области, что нередко приводит к ушибам и растяжениям. Поэтому использование облегчённых, гибких и ударопоглощающих защитных элементов в экипировке начинающих и любителей способствует снижению травматизма и формированию безопасной культуры катания [5].

Защитные элементы выполняют двойную задачу: они обеспечивают поглощение ударных нагрузок и одновременно не должны ограничивать подвижность, аэродинамические свойства и эргономику изделия. В последние годы широкое распространение получили инновационные материалы и технологии, такие как термопластичные полимеры, 3D-печать, многослойные композиты и интеллектуальные структуры, способные адаптироваться к условиям эксплуатации. Использование таких решений позволяет разрабатывать более эффективные и персонализированные элементы защиты [7].

Таким образом, изучение свойств материалов, конструкторских параметров и методов интеграции защитных элементов в функциональную спортивную одежду представляет собой важный этап в создании современных высокотехнологичных изделий, направленных на повышение безопасности и эффективности спортсменов.

Методика исследования и математическая модель. Защитные элементы накладки, из ТПУ (Термопластичный полиуретан) филаменты изготовленные методом 3D проектирования имеют форму цилиндров (рис.1) расположенных в шахматном порядке и образующих рядность в двух взаимно перпендикулярных направлениях. При этом количество элементов в центральной части накладки находится в диапазон n=7…..9, уменьшаясь в направлении к периферии и, создавая тем самым эллипсовидный контур, который относительно легко встраивается в элемент одежды в виде защитной накладки для предупреждения характерных травм при катании на льду.

Рисунок 1. Защитные элементы

Каждый защитный элемент можно моделировать балкой, защемленный одним концом (консолью), изгибающейся силой Р и приложенной на другом конце (вершине элемента) (Рис.2).

Рисунок 2. Схема

Составим уравнение упругой линии консоли, нагруженной на конце сосредоточенной силой Р [1]. Поместим начало координат у в заделке l точке

А). Изгибающий момент в сечении   равен

M = P( l-), H*мм                          (1)

Изгибающий момент (1) считаем не зависящим от прогибов из-за малости перемещения. Из дифференциального уравнения упругой линии балки

y"=                                       (2)

 после двукратного интегрирования (2) с учетом (1) находим перемещение при изгибе

y"= (       l  -  + + ) , мм        (3)

где:

Е - модуль упругости материала балки, Н/м ;

 осевой момент инерции сечения балки,  м

- постоянные интегрирования определяемые из граничных условий.

В данном случае при Z=0 имеем у=0 и =0 , откуда =0 и = 0. Тогда получим.

y = (l  - ) , мм                    (4)

Наибольший прогиб имеет место в точке приложения силы            Р, т.е при z=l и равен

=  мм                    (5)

По зависимости (5) можно рассчитать прогиб защитного элемента и тем самым оценить его жесткость.

Из конструктивных соображений примем высоту защитного элемента h=l=5 мм. Размеры поперечного сечения определим из условия прочностной надежности по нормальным напряжениям при прямом плoском поперечном изгибе (рис2)

,     H/м             (6)

-Максимальный изгибающий момент H*мм

-Осевой момент сопротивления сечения, м

- Соответственно расчётное и допускаемое нормальное напряжение Н/м 

Максимальный изгибающий момент  зависит от силы Р,  являющейся в сущности силой трения, возникающей в момент касания падающего тела на поверхность льда. Поэтому сила Р, изгибающая  защитный элемент, зависит от веса падающего тела (mg)  и коэффициента трения материала элемента по льду.

Из зависимости (6) в соответствии с прочностной надежностью найдем

 , м                     (7)

=/32

d , мм                        (8)

С учетом механических свойств ТРU-филамента рассчитаем диаметр защитного элемента,  приняв  [G] = 55 H/м. Максимальный изгибающий момент  определим при условии это наибольший вес тела принят равным G=700H.

Для расчета изгибающего момента необходимо учесть, что сила Р     

(рис. 2) представляет собой силу трения, которая должна быть определена через коэффициент трения между защитной накладкой и льдом в момент падения тела. Основываясь на фундаментальных исследованиях Ф.П. Боудена и Д. Тейбор [2], проведенных по сдрезии льда к металлам и пластикам а также трению льда,следует отметить, это для полимерных материалов коэффициент трения f не превышает значений 0,08….0,1 в интервале температур от -10 дo-30°С. (Рис.3)

Рисунок 3. График

Трения льда по (I) чистой стали; (II) полистерену; (III) ПТФЭ; трения льда по полистерену после павиорных проходов.

Учитывая - технологию изготовления накладок с защитными элементами с помощью 3D проектирования и тщательный осмотр полученной поверхности на вершине защитных элементов в первом приближении можно принять коэффициент трения f =0,2 вследствие очень грубой поверхности, полученной из-за расплавленного состояния материала. 

Исходя из представленных данных выполним оценку необходимого размера поперечного сечения защитного элемента по зависимости (8) при следующих параметрах:

1) сила трения ;

P==fq=0,2700=140 H;

2) момент изгибающий;

M=Ph=140=700 H/мм

d=  =  = 5,03 мм

Таким образом, из условия прочностной надежности защитных элементов накладки установлен размер поперечного сечения в форме круга с диаметpом d = 5,03 мм. Примем для изготовления защитного элемента значение диаметра d = 5 мм. В расчетах сделано допущения что вся нагрузка Q, а значит и сила трения Р воспринимается одним защитным элементом. В действительности нагрузка Q будет воспринимается большим количеством элементов, расположенных в одном ряду. Поэтому данный расчет соответствует условию выполнения многократного запаса прочности.

Выводы. Проведённые теоретические исследования позволили разработать математическую модель защитных элементов, изготовленных из ТПУ-филамента методом 3D-проектирования. Показано, что каждый элемент может быть представлен в виде консольной балки, испытывающей изгиб под действием силы трения, возникающей в момент падения тела на лед. На основе дифференциального уравнения упругой линии получено выражение для определения прогиба элемента, что даёт возможность оценить его жёсткость и работоспособность при эксплуатационных нагрузках. Предложенная математическая модель позволяет обоснованно выбирать конструктивные параметры защитных элементов накладки и служит теоретической основой для последующей разработки и оптимизации защитной экипировки для спортсменов и любителей катания на коньках.

Список литературы:

1. Bauman, A. N. Сопротивление материалов.-М: Высшая школа, 2014-543 с (Балка, изгибающий момент, упругая линия.)
2. Timoshenko, S. P. Теория упругости.- М: Наука, 1975-560 с (Дифференциальные уравнения упругости, балочная теория.)
3. Merino, F.I., Schmitt, K.U., Greenwald, R.M. et al. White Paper: Functionality and efficacy of wrist protectors in snowboarding — towards a harmonized international standard. Sports Engineering, 16, 197–210 (2013).  https://doi.org/10.1007/s12283-013-0113-3 (Научная статья о защитных элементах экипировки в зимних видах спорта.)
4. Chan, M.-k., Hung, S.-c., Yick, K.-l. et al. Impact Absorption Behaviour of 3D-Printed Lattice Structures for Sportswear Applications. Polymers (Basel), 17(19):2611 (2025). PMC (Исследование аддитивных структур для поглощения ударов в спортивной одежде.)
5. Shakhmatova, Y.D., Getmantseva, V.V. Исследование защитных функций спортивной экипировки на примере шлемов. Костюмология. Journal of Clothing Science, Т.8 №2, 2023.kostumologiya.ru (Пример исследования защитных функций экипировки.)
6. Gibson, I., Rosen, D., Stucker, B. Additive Manufacturing Technologies. — Springer, 2015. (Аддитивные технологии и 3D-печать для инженерных приложений.)
7. Darsin, M., et al. Characterization of FDM 3D Printed Parts Using TPU + PETG Filaments For Shin Guard Products. Jurnal Polimesin. e-jurnal.pnl.ac.id (Исследование 3D-печати защитных компонентов для спорта с использованием TPU.)
8. Belenkiy, V.Z. Полимерные материалы: свойства и применение. — СПб.:  Профессия,2016. (Материалы TPU, их механические свойства и область применения.)