СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ И ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ СПОРТИВНОЙ ВИНТОВКИ

 

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается современное состояние и развитие уравнений и программ внутренней баллистики применительно к спортивной винтовке. Вводится краткий исторический обзор формирования теоретической базы (уравнение Нобля–Абеля, закон скорости горения Вьей, термодинамические и газодинамические модели 0D/1D), после чего излагается одномерная (1D) и двухмерная (2D) постановки задачи «газ + пуля» с постепенным воспламенением порохового заряда. На основе этой постановки выводится развернутая 0D-модель: баланс массы и энергии, уравнение состояния, кинетика выгорания, уравнение движения пули с учётом страгивания пули и трения в стволе.

Отдельный раздел посвящён анализу прикладных программ QuickLOAD, Gordon’s Reloading Tool (GRT), P-Max и Precise Load.  Показано, какие уравнения лежат в их основе, как устроены базы данных, каковы ограничения 0D-подхода и какая роль отводится калибровке модели по скорости пули и (при возможности) по давлению в стволе. Обсуждаются ограничения 0D-моделей для задач настройки винтовки на экстремальную кучность и формулируется концепция комплексной модели, связывающей внутреннюю баллистику с продольными и поперечными колебаниями ствола, а также с внешней баллистикой. В заключении обозначены перспективы развития: применение инверсных методов и ИИ для автоматизированной калибровки, построения комплексных моделей и «цифровых двойников» системы «ствол–патрон», обеспечивающих более осознанную и воспроизводимую настройку винтовки на экстремальную кучность. Статья будет полезна спортсменам-стрелкам, охотникам, а также всем любителям высокоточной спортивной стрельбы из нарезного оружия.

Работа выполнена в интересах мирового спортивного стрелкового сообщества по инициативе авторов и на их собственные средства, с использованием открытых источников информации.

ABSTRACT

The article discusses the current state and development of internal ballistics equations and programs in relation to the sports rifle. It provides a brief historical overview of the formation of the theoretical basis (Noble–Abel equation, Viy law, and 0D/1D thermodynamic and gasdynamic models), followed by a detailed presentation of the one-dimensional formulation of the "gas + bullet-piston" problem with gradual ignition of the powder charge. Based on this formulation, an expanded 0D model is derived: the balance of mass and energy, the equation of state, the kinetics of burnout, the equation of bullet motion taking into account shot-start pressure and barrel friction.

A separate section is devoted to the analysis of the QuickLOAD, Gordon’s Reloading Tool (GRT), P-Max, and Precise Load application programs: it shows what equations underlie them, how the databases are structured, what the limitations of the 0D approach are, and what role is assigned to model calibration based on chronograph and (if possible) pressure-trace data. The limitations of 0D models for the tasks of tuning a rifle for extreme accuracy are discussed, and the concept of a complex model is formulated that links internal ballistics to longitudinal and transverse vibrations of the barrel (including Christopher Long's OBT approach), as well as to external ballistics. In conclusion, the prospects for development are outlined: the use of inverse methods and AI for automated calibration, the construction of surrogate models and "digital twins" of the "barrel-cartridge" system, which provide more conscious and reproducible tuning of key modes. The article will be useful to competitive shooters, hunters, and all enthusiasts of precision rifle shooting.

This work was undertaken in the interest of the global competitive shooting community at the authors’ initiative and funded from their own resources, using open-source information.

 

Ключевые слова: внутренняя баллистика винтовочного выстрела, программы расчета

Keywords: internal ballistics of a rifle shot, calculation programs

 

Введение. Процесс выстрела из винтовки состоит из трех тесно взаимосвязанных процессов: внутренней баллистики, механики ствола и внешней баллистики. На данном этапе развития физических и математических методов моделирования выстрела винтовки эти три процесса представлены автономными моделями. Внутренняя баллистика спортивной винтовки изучает процессы от момента воспламенения порохового заряда до схода пули со ствола, включая тепловыделение, горение, газодинамику, рост давления и разгон пули. Задача – предсказывать давление в патроннике и канале ствола, скорость и время вылета пули, тепловые и силовые нагрузки на ствол и патрон, а в спортивной стрельбе – ещё и разброс этих величин.

Сегодня почти каждый серьёзный спортсмен слышал про QuickLOAD, GRT, P-Max, Precise Load или активно пользуется ими. Эти программы обещают за несколько секунд выдать давление в патроннике, начальную скорость, время выстрела и даже подсказать «оптимальные» навески. На этом фоне легко возникнуть иллюзии: достаточно «вбить навеску» — и компьютер сам сделает точный расчёт. На практике быстро выясняется несколько проблем.

Базы данных неполны и далеки от идеала. Базы данных указанных выше программ практически не содержат сведения о российских порохах и пулях. Объём гильзы в базе часто не совпадает с объёмом реальных стреляных гильз, сформированных вашим патронником. Разные партии латунных гильз отличаются по толщине и объёму. Различие капсюлей не учитывается. Параметры пороха меняются от партии к партии, что нужно отражать в базах, но данные производителей иногда умышленно «загрублены» по соображениям безопасности и экспортного контроля,

Ввод своих исходных данных требует дисциплины. Нужно измерять H₂O-ёмкость гильз, фактическую длину патрона и пули, свободный ход до нарезов, длину ствола «по факту», температуру патрона. Для многих пользователей это кажется излишней морокой, и в ход идёт «как в книжке написано». Результат — расчёты могут уходить на 5–10 % по скорости и намного больше по давлению, что делает сомнительной пользу от применения программ.

Калибровка моделей редко проводится как положено. Судя по отзывам, значительная часть российских стрелков вообще не делает системной подгонки модели под реальные данные своего ствола и патрона (скорость, давление), а использует программы «из коробки». Тогда вся точность фундаментальных уравнений полностью теряется в шумах исходных данных и приближениях по пороху, пуле, гильзе, трению пули в стволе и т. п.

При этом фундаментальная физика, от Нобля–Абеля до современных термодинамических моделей, достаточно хорошо отработана. Работы по сравнению моделей Noble–Abel и более сложных уравнений состояния (EOS) с экспериментами и CFD-расчётами показывают, что при корректной настройке модели ошибки по начальной скорости могут быть порядка 0,5–3 %, а по времени выстрела — доли процента, что более чем достаточно для задач релоадинга, оценки безопасного давления и подбора оптимальных навесок пороха [2,4,10].  Такая точность для простых программ является предельной, поэтому на уровне фундаментальных уравнений внутренней баллистики революций уже не ожидается. Система физических уравнений и формальных эмпирических поправок, используемая в современных прикладных программах, как видим, позволяет получать полезную информацию по начальной скорости и достаточно надёжную относительную шкалу давления. Главный резерв точности сегодня — не в новых формулах, а в аккуратной подготовке исходных данных и тщательной калибровке модели под конкретную винтовку и конкретный набор компонентов.

Цель статьи - провести системный анализ физических моделей и математических уравнений внутренней баллистики, используемых при расчете параметров выстрела винтовки, показать их возможности и ограничения, подготовить стрелков к эффективному использованию программных комплексов будущего.

Исторически развитие уравнений внутренней баллистики шло по нескольким линиям.

• XIX век – термодинамическая линия. Работы Нобла (Sir Andrew Noble) и Абеля (Frederick Abel) над испытаниями пороха в закрытых сосудах (манометрическая бомба) привели к вводу понятий «сила пороха», «коволюм», закон горения пороха и к формированию уравнения состояния Нобля–Абеля для пороховых газов, учитывающего занятый объём частиц газа [11–12].
• Закон скорости горения пороха Вьей (Paul Marie Eugène Vieille). В конце XIX – начале XX века Вьей и последующие авторы формализовали зависимость скорости поверхностного горения пороха от давления в виде степенного закона с модификациями под конкретные химсоставы и геометрию зерна [10–11].
• Классические аналитические схемы. Лагранж, Ледюк, Ингаллс и др. выводили полуэмпирические формулы для связи давления, скорости и толщины сгорания («системы Лагранжа–Ледюка–Ингаллса»), сводя сложную задачу к нескольким параметрам, подбираемым по результатам стрельб [4,16].
• Термохимические и численные модели. Во второй половине XX века оформляются полноразмерные термохимические модели внутренней баллистики, где для заданного состава пороха и его геометрии рассчитываются сила, коволюм и функции горения, а сама задача решается в виде системы ОДУ/уравнений газовой динамики [4–5,10–12,23].

Сегодня для спортивных винтовок практически во всех прикладных программах (QuickLOAD, GRT, P-Max, Precise Load и др.) используется один и тот же фундамент:

• термодинамическая 0D-модель внутренней баллистики с уравнением Нобля–Абеля,
• степенной закон горения (Вьей) с уточнениями,
• уравнение движения пули,
• дополнительно – термохимические данные пороха и экспериментальные поправки [1–4,6–9].

Ниже мы последовательно разберём систему уравнений в одномерной постановке с постепенным воспламенением заряда, обобщим ее на двумерную задачу, рассмотрим реализацию этих идей в популярных 0D программах (QuickLOAD, GRT, P-Max, Precise Load и др.), подготовку исходных данных и калибровку моделей под конкретную спортивную винтовку, подходы к использованию программ при подборе навесок пороха, а также перспективы развития уравнений и программ внутренней баллистики и цифровых моделей винтовки.

Материалы и методы.

1. Одномерная модель «газ + пуля» с постепенным воспламенением заряда.

Рассмотрим осесимметричную винтовку: заряд и пороховые газы занимают область от дна гильзы до донца пули.

В 1D-приближении (по оси ствола ): — дно гильзы; — донце пули (подвижная граница); площадь канала ствола .

Переменные газа: — плотность; — осевая скорость; — давление; — полная удельная энергия (на единицу объёма),   где — внутренняя энергия.

Пуля: координата , скорость .

Порох (твёрдая фаза): — линейная плотность не сгоревшего пороха (кг/м); — доля выгоревшей массы (объёмная модель).

1.1. Уравнения газодинамики (1D Эйлер с источниками)

Для области пишем систему Эйлера с объёмными источниками массы и энергии от горения пороха [4–5,10–12,23]:

Сохранение массы газа

где — источник массы (кг/(м³·с)).

Связь с линейной скоростью горения:

Сохранение импульса

Сохранение энергии

где — удельная теплота газообразования, — теплопотери. Уравнение состояния — чаще всего идеальный газ либо Нобль–Абель:

где — коволюм [2,10].

1.2. Горение пороха и постепенное воспламенение

Масса не сгоревшего пороха на единицу длины:

Вводим кинетику горения:

где: — функция постепенного зажигания пороха (0 до прихода фронта огня, 1 после; может быть плавной); — закон горения (обычно степенной по давлению, с учётом геометрии зерна).

Простейший вариант на основе закона горения пороха Вьей:

где учитывает уменьшение поверхности при выгорании (геометрия зерна). Формы подробно обсуждаются в термохимической литературе [10–11].

Тогда:

Постепенность воспламенения задаётся профилем : послойное зажигание (разные интервалы по , разные задержки ); фронт огня, движущийся от капсюля к пуле (задержка зажигания растёт с ); комбинированные модели (порог по давлению + временная задержка); объемное зажигание (разгар поверхности зерен).

1.3. Уравнение движения пули и граничные условия

Пуля рассматривается как подвижный поршень с массой и площадью основания :

Граничные условия:

• дно гильзы: ;
• донце пули: .

Эта система (1D Эйлер + кинетика горения + движение пули) лежит в основе «серьёзных» инженерных и исследовательских расчётов внутренней баллистики [1,4,10,12]. В практических программах для стрелков она почти всегда упрощается до 0D-модели (пространственное усреднение), но многие параметры (сила, коволюм, функции горения) берутся именно из таких более полных постановок.

2. Переход от 1D к 2D-модели

1D-модель предполагает, что по радиусу параметры однородны, а по длине ствола изменяются. Для гладкого спортивного ствола это допустимо, но локальные пики температуры у стенки, тонкости теплоотдачи, асимметрии потока (особенно вблизи пули, нарезов, газоотводов) требуют двумерного (или даже трёхмерного) описания. В 2D осесимметричной постановке вводим координаты и решаем систему уравнений Навье–Стокса (или Эйлера, если вязкость игнорируется) для сжимаемого реагирующего газа [4–5,10,12,23]:

Сохранение массы

Сохранение импульса

где , — тензор вязких напряжений.

Сохранение энергии

К ним добавляется уравнение состояния (Equation Of State, EOS) Нобля–Абеля или более сложные термохимические уравнения состояния EOS [2,10,23]. Горение пороха описывается как распределённый источник массы и энергии в объёме (когда порох ещё не газифицирован), либо как отдельная дисперсная фаза (двухфазная модель газ–частицы).

Пуля и стенка ствола задаются как подвижные или неподвижные границы с условиями нулевого проникновения, контактной температуры и т. п. Такой уровень моделирования характерен для НИР-кодов в промышленности, а не для прикладных программ релоадинга [1,4–5,12,23].

Модели 1D и 2D наряду с экспериментальными данными служат для калибровки 0D моделей в прикладных программах внутренней баллистики винтовки.

3. 0D-модели в прикладных программах GRT, QuickLOAD, P-Max, Precise Load

Практически все программы, доступные стрелку-спортсмену, используют 0-мерную термодинамическую модель: давление и температура в каждый момент времени считаются однородными в объёме; уравнение состояния — Нобль–Абель; горение — закон Вьей (или модификации); движение пули — 2-й закон Ньютона [3,6–9,13,15]. Ниже — краткая характеристика наиболее важных пакетов.

3.1. QuickLOAD — коммерческий Windows-пакет, долгое время де-факто стандарт среди стрелков-релодеров [6,12,15]. Ключевые особенности:

Модель. Термодинамическая внутренняя баллистика (0D), уравнение Нобля–Абеля, степенной закон горения с «двухфазной» аппроксимацией кривой выгорания пороха. Полный механизм не опубликован, но его структура соответствует классическим моделям [2–4,10–13].

Базы данных. Большие базы порохов, пуль и патронов (CIP/SAAMI), наполняемые в основном за счёт производителей и авторов пакета [6,12]. Данные по российским порохам и пулям отсутствуют.

Ограничения. 0D-подход (нет распределения давления по стволу), зависимость от корректности базовых данных (объём гильзы, параметры пороха), ограниченный учёт капсюля и позиционной чувствительности [6,15]. QuickLOAD хорошо подходит для поиска диапазона безопасных навесок и оценки относительных изменений давления и скорости, но не заменяет ни испытательный ствол, ни датчики давления.

3.2. Gordon’s Reloading Tool (GRT) — бесплатная программа, задуманная как более открытая альтернатива QuickLOAD [7,13,16]. Особенности:

Модель. 0D-термодинамика с Нобль–Абелем, закон горения Вьей, но с трёхступенчатой аппроксимацией кривой выгорания (начало – основной объем – остатки (хвост)), что позволяет гибче встраивать реальные данные по давлению и скорости [7,13].

Базы данных. Пули, пороха, патроны – в редактируемых пользовательских базах; есть официальные файлы от некоторых производителей (например, Reload Swiss), активная краудсорсинг-поддержка [7,13,16].

Философия. Предполагается, что пользователь будет калибровать модель под свой ствол, порох и гильзы, используя хронограф и (по возможности) датчики давления в стволе. Для этого предусмотрены интерфейсы импорта данных и обратного подбора параметров [7,13,23]. Программа легко калибруется по экспериментальным данным. По функциональности GRT ближе к «лаборатории внутренней баллистики», чем QuickLOAD, программа может подстраиваться под ваши данные по порохам и пулям, которые вносятся как дополнения базы данных, но требует большего понимания физики и дисциплины пользователя. GRT и Precise Load концептуально заточены под схему « измерение → подгонка», в то время как QuickLOAD исторически ориентирован на работу «из коробки» с минимальными правками базы [7–9,13,15,21,23].

3.3. BBT P-Max  — бесплатный веб-симулятор внутренней баллистики, создаваемый Border Ballistics Technologies (Geoffrey Kolbe) [8,20]. Отличительные черты: реализует чистую численную симуляцию термодинамической модели без жёстких априорных допущений о значениях пикового давления и скорости, полагаясь на корректный ввод параметров пользователем; доступны как бездымные (пироксилиновые и нитроглицериновые), так и дымные (чёрные) варианты порохов (отдельная версия Black Powder P-Max) [8,26]; автор параллельно публикует обширное руководство по внутренней баллистике «Internal Ballistics Manual», фактически пересобирающее классическую теорию и готовящее версию для цифровой эпохи [3,8,20]. В программе P-Max разработчик показывает связь между используемыми им уравнениями и классической теорией (Ледюк, Лагранж, Нобль–Абель).

3.4. Precise Load – современный бесплатный веб-калькулятор внутренней и внешней баллистики [9,15,19,22]. Автор прямо заявляет, что модель внутренней баллистики реализует подход, аналогичный QuickLOAD и GRT, с 0D-постановкой, Нобль–Абелем и степенным законом горения [9,11]. Особое внимание уделяется точному измерению геометрии пуль, пульного входа и усилия посадки. Для этого даже разработан отдельный инструмент для измерения пули «Bullet Measurement Tool» и сопровождающие видеоинструкции [9,15,29]. В отличие от QuickLOAD/GRT, Precise Load изначально ориентирован на тесную связку измерений стрелка и модели (включая трение пули), что интересно именно для высокоточной спортивной стрельбы.

Несмотря на отличия интерфейса и баз данных, физическое ядро у QuickLOAD, GRT, P-Max, Precise Load и похожих программ одно и то же — 0-мерная (0D) термодинамическая модель внутренней баллистики. Вместо распределения параметров по длине ствола рассматриваются только интегральные величины, зависящие от времени : объём зарядной камеры ; масса пороховых газов ; давление ; температура газов ; путь пули по стволу ; скорость пули ; степень выгорания пороха .

Ниже приведена развернутая 0D-модель, фактически реализуемая в QuickLOAD, GRT, P-Max и Precise Load (с вариациями в деталях).

Основные переменные и параметры

Переменные (то, что решается во времени): — путь пули от исходного положения (м); — скорость пули (м/с); — доля выгоревшей массы пороха (безразмерная); — масса газов (кг); — температура газов (K); — давление газов (Па).

Параметры, зависящие от оружия и патрона: — масса пули; — площадь донной части пули (из калибра и профиля); — начальный объём зарядной камеры (обычно гильза + свободный ход  пули + объём ствола до пульного входа, конкретно нужно смотреть в инструкции); — длина ствола от зеркала затвора до дульного среза; — масса пороха (навеска).

Параметры пороха (из базы данных или калибруемые): — удельная теплота газообразования (Дж/кг); — газовая постоянная пороховых газов (Дж/(кг·K)); — удельная теплоёмкость при постоянном объёме (Дж/(кг·K)); — коволюм (м³/кг); — коэффициенты закона горения (Lagrange–Vieille); — «функция формы», описывающая геометрию зёрен.

Калибруемые эмпирические параметры: — эффективное начальное давление страгивания и врезания в нарезы; — сила трения пули в стволе (возможно, зависящая от ); поправочные множители к скорости горения (или Ba-factor или аналог в GRT и Precise Load).

Геометрия зарядного объёма. Объём за пулей считается линейной функцией её пути:

Здесь: определяется по H₂O-ёмкости гильзы, поправке на глубину посадки пули, свободный ход (freebore) и объём ствола до контакта пули с нарезами; , где — диаметр канала ствола по полям или по нарезам (в зависимости от принятой в программе конвенции).

Масса газов и степень горения пороха. Полная масса пороха: степень горения:  Масса газов:  Скорость газификации:

Закон горения пороха (кинетика). В 0D-модели большинство программ используют интегральную форму закона Вьей:

где:

(иногда Ba, Ba-factor и т. п.) — коэффициент горения;

— степень зависимости от давления;

— функция поверхности горения, задающая изменение площади поверхности зёрен при росте ;

— функция зажигания (0 до воспламенения, 1 после, может включать задержку/разгар).

Типичные архитектуры: QuickLOAD — двухступенчатая аппроксимация кривой динамики (две «дуги», подгоняемые под данные бомбы и стрельб); GRT — трёхступенчатая модель, дающая больше свободы при подгонке; P-Max, Precise Load — концептуально те же зависимости, но с собственными параметрами и форматами ввода.

Функция для разных типов пороха задаётся либо аналитически, либо таблично (нейтральное, прогрессивное, дегрессивное горение).

Уравнение состояния пороховых газов (Нобль–Абель). Уравнение Нобля–Абеля учитывает не только температуру и массу газов, но и занятый газом объём (коволюм):

При оно переходит в идеальный газ. В реальных диапазонах плотностей и давлений пороховых газов учёт коволюма уменьшает ошибку в оценке давления по сравнению с идеальным газом, особенно в начале выстрела.

Баланс энергии. Полная внутренняя энергия газов:  Энергетический баланс в 0D-модели (без подробных теплопотерь) можно записать как:

где:

— удельная теплота газообразования пороха;

— работа газов по расширению объёма;

— изменение кинетической энергии пули;

— теплопотери на стенку ствола и гильзу (в прикладных программах часто либо задаются очень упрощённо, либо вовсе опускаются).

Раскроем производную слева:

Выражаем :

Это уравнение определяет изменение температуры газов с учётом тепловыделения при горении (); работы расширения (); ускорения пули (); теплопотерь (если они учитываются).

Страгивание, прохождение пульного входа и движение пули в 0D-модели. В реальном выстреле пуля последовательно проходит несколько механически различных стадий: удержание в дульце гильзы (натяг и статическое трение), страгивание и выход из дульца, свободный ход по фрибору и пульному входу (если есть зазор), врезание в нарезы и дальнейшее движение с установившимся трением в стволе. Каждая из этих стадий имеет свой вклад в сопротивление движению пули и, соответственно, в форму начальной части кривой давления [2–4, 10]. В «полной» механической постановке уравнение движения пули можно записать как

где — масса пули, — площадь её донной части, — давление газов в зарядном объёме, а суммарное сопротивление включает несколько слагаемых:

где описывает удержание в дульце (натяг и статическое трение), — максимум сопротивления при врезании оболочки и ведущих поясков в пульный вход и начальную часть нарезов, а — установившееся трение пули в нарезной части ствола. Параметры и определяются, соответственно, длиной посадки пули в дульце и геометрией пульного входа [3, 4, 16].

В работах по внутренней баллистике начальное давление часто связывают с максимальной силой сопротивления при врезании: максимум усилия пересчитывается в эффективное «давление страгивания» по простой оценке

и именно это давление рассматривается как порог, при котором пуля срывается с места и начинается её движение по стволу [10–12]. Для спортивных винтовок физика процесса та же, однако полноценное моделирование требует точных данных о натяге в дульце, упругих и пластических свойствах гильзы и пули, геометрии пульного входа, состоянии поверхности (нагар, смазка, эрозия) и т. п., которые практически недоступны в обычной стрелковой практике.

Поэтому суммарное сопротивление движению пули, включающее удержание в дульце гильзы (натяг и статическое трение); врезание в пульный вход и в нарезы; установившееся трение в стволе в прикладных 0D-моделях (QuickLOAD, GRT, P-Max, Precise Load и др.) существенно огрубляется и сворачивается в один-два эмпирических параметра:

• — эффективное начальное давление, при котором пуля считается сорвавшейся с места и начавшей движение;
•  — усреднённая сила сопротивления пули при движении в нарезной части ствола.

В рамках 0D-подхода уравнение движения пули записывается в виде

или, в эквивалентной пороговой форме,

где при по сути принудительно принимается равной нулю. Физически  в такой формулировке можно понимать как

то есть как эквивалентное давление, представляющее собой сумму удержания в дульце и пика сопротивления при врезании, отнесённую к площади основания пули. Параметр трения моделирует уже установившееся сопротивление после выхода пули в нарезную часть. При ускорение принудительно ограничивается нулём. Давление  берут из разумного диапазона в зависимости от посадки в нарезах или джампе (jump/jam), конструкции пули и состояния ствола; — либо константа (Н), либо линейная функция скорости , параметры которой калибруются по данным хронографа.

Практически это означает, что всё разнообразие процессов «страгивание — движение в дульце — упор в пульный вход — врезание» в 0D-моделях свёрнуто в один численный параметр , а всё дальнейшее движение по стволу — в параметр трения пули в стволе. Оба параметра либо задаются ориентировочно по типу пули и калибра, либо, в более продвинутых подходах, калибруются по данным хронографа и (при наличии) по измерениям усилия посадки и страгивания пули. Попытка развернуть этот блок до полного механического описания в рамках настольной 0D-программы оказывается нецелесообразной, для этого нужны недоступные стрелку входные данные и существенно более тяжёлые по вычислениям модели (2D/3D контактная механика, СПГ- и FEM-расчёты), оправданные лишь в специализированных НИОКР-задачах [10–12, 22].

Полная система уравнений 0D-модели. Сводя всё вместе, получаем 0D систему ОДУ:

ачальные условия: ; (или очень малая величина); — начальная температура патрона; . Эта система — ядро, вокруг которого строятся все прикладные программы внутренней баллистики. Различия между QuickLOAD, GRT, P-Max, Precise Load заключаются в следующем:

• как именно задаётся и аппроксимируется функция и параметры ;
• насколько детально учитывается и температурная зависимость параметров;
• как организован ввод и хранение исходных данных (базы порохов, гильз, пуль, патронов);
• какие инструменты калибровки (подбор , , скорость горения) предоставлены пользователю.

Но в основе — именно эта 0D-схема: баланс массы газов, уравнение Нобля–Абеля, закон горения, баланс энергии и движение пули с порогом страгивания. Всё, что стрелок видит в интерфейсе — графики давления, скорости, время нахождения пули в стволе, оценка нагрузки на ствол — это производные величины, вычисленные из этого набора уравнений при тех исходных данных, которые он ввёл и (или) откалибровал.

4. Подготовка исходных данных: от измерений к модели

Главный источник ошибок в прикладных расчётах — вовсе не уравнения, а исходные данные. Практика и авторы пособий по внутренней баллистике сходятся в том, что для надёжной работы QuickLOAD, GRT, P-Max, Precise Load и аналогов критичны следующие шаги [3–4,6–9,13,15]:

Реальный объём гильзы (H₂O-объем). Измеряется дистиллированной водой для стреляных (и/или обжатых) гильз конкретного лота, сформированных вашим патронником. Отличия в 0,5–1,5 gr H₂O для малых калибров дают заметные ошибки по расчётному давлению.

Геометрия патрона. Длина гильзы после обжатия; COAL и глубина посадки пули; реальная длина пули (до касания нарезов) и расстояние до нарезов (точное положение пули относительно пульного входа — ключевой параметр свободного объёма и усилия страгивания).

Параметры ствола. Длина ствола «от зеркала затвора до дульного среза»; профиль нарезов, число и шаг; состояние ствола (новый, обкатанный, эрозия горловины) — всё это влияет на трение и динамику горения.

Порох. Точный тип (марка, партия, иногда даже диапазон плотности насыпки); температура пороха и патрона; для GRT и Precise Load – выбор корректного набора параметров пороха из базы (или создание собственного файла по результатам стрельб).

Трение и «стартовое давление». Во многих программах стартовое давление и осевая сила трения задаются отдельным параметром; для высокоточных расчётов его желательно калибровать по данным измерений и, при наличии, по измерениям усилия посадки и страгивания пули [3,9,13].

5. Калибровка моделей под конкретную винтовку

Даже идеальные уравнения внутренней баллистики не дадут точного результата без обратной задачи подгонки параметров модели под реальные данные. В современной литературе это описывается как «обратная задача внутренней баллистики» [10–11,22,28].

Практический алгоритм для стрелка:

Выбор опорной навески. Берётся заведомо безопасная навеска (ниже максимума по мануалу). Для неё тщательно измеряются скорость, температура окружающей среды (и патрона), COAL, глубина посадки пули, H₂O-объём гильзы.

Первичная «жёсткая» настройка. Введя эти данные в программу, подбирают: H₂O-объём гильзы (если ещё не измерен); температуру; длину патрона и ствола; при необходимости – начальный коэффициент горения.

Многоточечная калибровка. Стрелок подбирает 3–5 навесок в разумном диапазоне, для каждой измеряет скорость. В программе подбираются параметры: коэффициенты закона горения, параметр трения и стартового давления, так чтобы минимизировать суммарную ошибку между расчётной и измеренной скоростью по всем экспериментальным точкам.

Проверка экстраполяции. После калибровки строят прогноз ещё для нескольких навесок и проверяют его на практике; если ошибки остаются в пределах 1–3 % по начальной скорости, модель считается пригодной для тонких сравнений внутри этого диапазона.

6. Применение 0D моделей в комплексе моделей вибраций ствола для настройки винтовки на экстремальную кучность.

0D-модели, лежащие в основе QuickLOAD, GRT, P-Max, Precise Load, прекрасно решают термодинамическую задачу: как растёт давление, сколько тепла выделяется, как разгоняется пуля, какова начальная скорость и время выстрела. Но у них есть принципиальное ограничение: ствол в этих моделях считается абсолютно жёстким и неподвижным. Это означает: нет поперечных и продольных колебаний ствола; нет учёта того, в какой фазе колебаний находится дульный срез в момент выхода пули; нет прямой связи между внутренней баллистикой и рассеиванием (кучностью) по мишени. Поэтому настройка винтовки на экстремальную кучность — задача другого класса. 0D-модель внутренней баллистики здесь может играть только роль поставщика входных данных (давление , путь пули , время выстрела ), но сама по себе она не способна предсказать, будет ли это кучная полка или «развал» кучности.

В чём именно ограничение 0D-подхода. В 0D-модели ствол по сути — просто жёсткая труба, через которую проходит пуля. Всё, что делает программа: 1) решает систему ОДУ: , , — газ; , — пуля; — выгорание пороха; 2) отдаёт стрелку: начальную скорость , время выстрела – время пули в стволе , максимум давления , профиль давления и скорости во времени. Ничего из этого не говорит: под каким углом был направлен дульный срез в момент выхода пули; какова была угловая скорость дульного среза (скорость качания вверх и вниз); насколько сильно ствол «гулял» поперёк за время от воспламенения до вылета пули. А именно эти величины — мгновенное положение и скорость дульного среза — и определяют, куда полетит пуля и насколько чувствительной будет точка попадания к малым вариациям во внутренней баллистике (температура, навеска, усилие посадки и т. п.).

Отдельная постановка: модель вибраций ствола. Чтобы связать внутреннюю баллистику с кучностью, нужна отдельная модель растяжения-сжатия и колебаний ствола, в которой: 0D-модель даёт возбуждающее воздействие (давление, сила от пули, момент времени выхода пули), ствол моделируется как упругое тело (балка или стержень), на выходе мы получаем смещение и угол дульного среза во времени, затем сопоставляем момент вылета с фазой колебаний: если пуля выходит, когда дульный срез «спокоен» (минимальное смещение и угловая скорость), это и есть условие кучной «полки».

Словами постановку можно описать так:  Найти такие параметры патрона (навеска, посадка пули, тип пороха), при которых время вылета , рассчитанное по внутренней баллистике, попадает в интервал времени, где перемещения и угловые скорости дульного среза минимальны (т. е. ствол в окрестности дульного среза максимально близок к «псевдонеподвижности»).

6.1. Волновая модель и ограничения 0D-подхода

Как уже обсуждалось выше, 0D-модели (QuickLOAD, GRT, P-Max, Precise Load) описывают термодинамику выстрела — рост давления, горение, разгон пули, время выстрела. При этом ствол в этих моделях фактически считается абсолютно жёстким и неподвижным. Любые колебания ствола, а значит и влияние их фазы на направление полёта пули, в 0D-подход явно не входят. В реальности же ствол — это упругий волновод, по которому при выстреле бегут механические волны растяжения, сжатия и изгиба. Если мы хотим говорить не только о давлении и скорости, но и об экстремальной кучности, внутреннюю баллистику в 0D-постановке нужно рассматривать как источник возмущения и времени вылета для отдельной модели колебаний ствола.

Теоретической основой такого подхода в стрелковой практике являются идея Гарольда Вона о поперечных колебаниях ствола и идея Кристофера Лонга (Chris Long) о периодических продольных возмущениях дульного среза, чередующихся с его «относительно стабильным» состоянием. Его метод OBT (Optimal Barrel Time) опирается на модель продольной вибрации ствола [22].

Физическая картина: продольная волна растяжения

В области патронника — в пространстве между донцем гильзы и донцем пули — при выстреле возникает зона повышенного давления. Это давление создаёт осевое и радиальное растягивающее напряжение в теле ствола, особенно в области патронника и переходного конуса. За счёт упругости стали ствола это растягивающее воздействие инициирует продольную волну растяжения, которая начинает распространяться вдоль оси ствола от патронника к дульному срезу. Далее, отражаясь от дульного среза, возвращается к патроннику. Процесс повторяется, образуя квазипериодические продольные колебания ствола.

Кристофер Лонг интерпретирует это так [22]: когда фронт продольной волны находится в районе дульного среза, этот участок ствола проходит через фазу максимального смещения и напряжения, и его мгновенное положение и наклон могут изменяться. Если в этот момент пули вылетают с небольшим разбросом по времени и скорости, они «захватывают» разные мгновенные положения дульного среза и уходят в слегка разные направления — растёт рассеивание. Когда же фронт волны уходит от дульного среза к патроннику, дульный срез на короткий интервал времени оказывается относительно неподвижным (по крайней мере, в рамках данной моды колебаний). Пули, вылетающие в этот «тихий» интервал, даже при некотором разбросе по времени вылета и скорости, выходят в одном и том же направлении, что приводит к сжатой, «кучной» группе попаданий. Идея OBT состоит в том, чтобы подобрать заряд так, чтобы расчётное время вылета (из 0D-модели внутренней баллистики) попадало в интервал “относительной неподвижности” дульного среза, то есть в фазу, когда продольная волна ушла от дульного среза обратно к патроннику.

3D-упругая модель волновых процессов в стволе.

Рассмотрим трехмерную картину напряжений и деформаций ствола, чтобы не упустить важных процессов колебания ствола. При выстреле ствол ведёт себя как толстостенная трёхмерная упругая оболочка, в которой возбуждаются объёмные волны: продольные (P-волны), поперечные (S-волны), изгибные и крутильные моды [34–37]. В зоне между донцем гильзы и основанием пули внутреннее давление пороховых газов создаёт локальную область повышенного давления, которая перемещается вдоль канала ствола вслед за пулей. Эта область одновременно:

• раздувает стенку ствола по радиусу;
• растягивает ствол вдоль оси;
• возбуждает изгибные и крутильные колебания, если нагрузка и опоры не идеально осесимметричны [38–42].

Быстрая часть деформации распространяется в виде упругих волн со скоростями порядка скорости звука в стали (P- и S-волны), тогда как медленное квазистатическое расширение от локального давления «едет» за пулей и меняется на временном масштабе внутренней баллистики, существенно более медленном, чем характерное время пробега упругой волны по стволу [34–36].

3D-уравнения движения (модель Навье–Коши). Рассмотрим ствол как изотропное линейно-упругое тело с плотностью , модулем Юнга  и коэффициентом Пуассона . В декартовых координатах поле смещений подчиняется уравнениям движения (уравнения Навье–Коши) [1–4]:

где — тензор напряжений Коши, — объёмная сила (для ствола обычно пренебрежимо мала по сравнению с нагрузкой от давления).

Деформации при малых перемещениях описываются симметричным тензором малых деформаций

а связь «напряжения–деформации» для изотропного материала задаётся законом Гука в форме Ламе [35–37]:

где — параметры Ламе, связанные с :

Подставляя закон Гука в уравнение движения, получаем векторную форму уравнений Навье [34–36]:

Эта система описывает полноценную 3D-картину упругих волн: продольных (объёмных), поперечных, изгибных и крутильных. В однородной среде на её основе легко выделяются скорости продольной и поперечной объемных волн [34–36]:

Для стали эти скорости порядка нескольких км/с, что согласуется с экспериментальными оценками по стволам [38–42].

Геометрия ствола и граничные условия. Ствол моделируем как толстостенный цилиндр длиной с внутренним радиусом и внешним . Удобно использовать цилиндрические координаты , где ось совпадает с осью ствола [2–4]:

область:

смещения:

Граничные условия формулируются в терминах поверхностных сил: на внутренней поверхности канала ствола действует внутреннее давление пороховых газов , локализованное на участке между донцем гильзы и основанием пули. Вектор поверхностных напряжений , действующий на внутреннюю поверхность канала ствола:

а касательные составляющие (сдвиг от трения газов) обычно малы и в первом приближении опускаются [38–42]. На наружной поверхности — хорошее первое приближение: свободная поверхность (нет внешних напряжений):

В казённой части (область контакта со ствольной коробкой) закрепление можно аппроксимировать как жёсткое:

или как частично упругое (через пружинные опоры), если нужно моделировать податливость коробки [38,40–42]. На дульном срезе  при отсутствии навесных устройств — приближённо свободный торец:

хотя в реальности на него накладываются дополнительные импульсы от истечения газов и работы дульного тормоза, если он есть [39–42]. Таким образом, задача формулируется как начально-краевая задача линейной теории упругости:

Начальные условия описывают фактическое состояние ствола в момент воспламенения капсюля (остаточные напряжения, тепловое состояние, предшествующие колебания после предыдущего выстрела и т. п.) [38–42].

Структура волнового процесса в стволе

Решение этой задачи удобно трактовать как суперпозицию мод упругих волн [34–37]: осесимметричные моды ( по угловой координате ): продольное растяжение и сжатие вдоль оси (P-волна с компонентами ); радиальное «дыхание» — расширение и сужение сечения почти без изгиба; изгибающие моды (), при которых: ось ствола описывает колебательное движение в пространстве; дульный срез получает наклон и эллиптическую деформацию; крутильные моды (перекручивание вокруг оси, ).

Даже если начальная нагрузка от давления строго осесимметрична, любой малый перекос опор, неоднородность материала, эксцентриситет пули возбуждают изгибные и крутильные компоненты [40–43].

С точки зрения волновой картины это выглядит так:

1. В момент резкого роста давления между донцем гильзы и пулей в этом участке канала ствола возникает локальная зона высокого объёмного напряжения.
2. Эта зона создаёт входной импульс для объёмных (P-) и поперечных (S-) волн, которые распространяются по металлу ствола со скоростями и к дульному срезу и казённику, многократно отражаясь от закреплённого и свободного торцов [34–36].
3. Одновременно квазистатическое поле напряжений, связанное с текущим распределением давления в газах, медленно перемещается вместе с пулей и формирует более «медленную» часть деформации (фоновое удлинение и раздувание), которая меняется на временных масштабах внутренней баллистики [38–41].

В результате в окрестности дульного среза в каждый момент времени действует сложная суперпозиция мод: ось ствола вблизи дульного среза может быть смещена и наклонена; поперечное сечение может расширяться и сужаться (дыхательные моды), перекашиваться и становиться эллиптическим (изгибные моды), испытывать локальное скручивание (крутильные моды) [40–43].

Для каждой точки на дульном срезе вектор смещения  и скорость в разные моменты могут иметь компоненты во всех трёх направлениях (радиальном, тангенциальном и вдоль оси). Соответственно, локальный нормаль к поверхности и локальный диаметр канала — величины, зависящие от фазы колебаний.

Численные работы по моделированию «ствол–снаряд–газы» в 3D с учётом перемещающегося давления и взаимодействия снаряда со стенкой подтверждают, что амплитуда и фаза колебаний дульца существенно зависят от профиля давления во времени и по длине ствола; учёт радиального эффекта давления газов сильно меняет картину дульных колебаний и рассеивание снарядов [39–42,44].

Дульный срез и «кучные полки». С точки зрения кучности нас интересует, в каком состоянии находится дульный срез в момент выхода пули. В рамках 3D-модели это формулируется так: для каждой моды колебаний ствола можно ввести фазу ; дульный срез характеризуется: вектором переноса центра , углом поворота (ориентацией нормали) , локальным изменением диаметра и овальности .

Если время вылета совпадает с фазой, когда мало, , угловая скорость и вариации минимальны, то дульный срез на этот миг практически неподвижен и мало деформирован, и группа пуль, вылетающих в узком окне времени вокруг , будет иметь минимальную чувствительность к разбросу внутренних параметров (давление, скорость, усилие страгивания и т.п.) [40–43].

Напротив, если вылет происходит, когда дульный срез проходит через максимумы скоростей и кривизны изгибных и дыхательных мод, угол оси и локальный диаметр канала быстро меняются, то даже небольшие вариации режима внутренней баллистики приводят к заметным различиям в угле вылета и начальном завале траектории, что увеличивает рассеивание [40–42,44]. Именно в этом смысле, даже при полной 3D-картине, сохраняется интуитивная идея: «Группа пуль должна проходить дульный срез в те интервалы времени, когда сложная трёхмерная волна ушла в сторону патронника, а дульный срез находится в квази-узловой фазе — почти неподвижен и слабо деформирован». Задача внутренней баллистики плюс 3D-упругой модели ствола сводится к согласованию распределения давления во времени и по длине ствола (и, как следствие, ) с фазами основных мод колебаний ствола, чтобы время вылета приходилось на такие «полки» минимальной чувствительности.

Связка 0D-IB → продольная модель → OBT. С точки зрения строгой постановки задачи настройка винтовки на экстремальную кучность по OBT выглядит так: 0D-модель внутренней баллистики (QuickLOAD, GRT или другая реализация) вычисляет профиль давления , профиль ускорения пули и осевой силы, время вылета как функцию навески , сидения пули и других параметров. Модель продольных колебаний ствола (в духе описанной выше волновой модели) воспринимает это как возбуждающее воздействие и даёт: смещение и/или его производную по времени в точке (дульный срез), моменты времени, когда дульный срез проходит через «тихую» фазу (минимальное смещение и скорость).

Метод OBT (Optimal Barrel Time) Кристофера Лонга предлагает подбирать навеску  и конфигурацию патрона так, чтобы: расчётное приходилось на «тихий» интервал дульного среза (узел или полупериод продольной волны), а чувствительность к изменениям была минимальна (полка в интервале времени вылета пуль). Практическая реализация этой идеи встроена в ряд баллистических программ: QuickLOAD и GordonReloadingTool (GRT) позволяют экспортировать или напрямую использовать время пули в стволе и эмпирические формулы OBT Кристофера Лонга для поиска «кучных» зон по времени вылета [11, 28]. При этом важно понимать: 0D-модель сама по себе не описывает колебаний ствола; она лишь даёт время вылета и профиль давления, которые затем используются как вход для модели продольных колебаний и алгоритма OBT. Именно такая связка — «0D-внутренняя баллистика → продольная волновая модель ствола (с нашим расширением до 3D модели) → подбор времени нахождения пули в стволе под “тихую” фазу дульного среза» — и лежит в основе концептуальной схемы настройки винтовки на экстремальную кучность по подходу Кристофера Лонга.

В реальности на точку попадания также влияют поперечные (изгибные) колебания, но продольная модель наглядно показывает идею: ствол — это система распространения волн, и у него есть моменты времени, когда определённая точка (дульный срез) проходит через состояние минимальной скорости/перемещения.

Представленная выше модель вибраций ствола имеет «узкие места» в отражении полной картины физических процессов и формировании исходных данных. Так, если навеску пороха можно увязать с вибрациями ствола и временем нахождения пули в стволе, то как отразить влияние глубины посадки пули, пока не ясно. Меняя положение пули в стволе, мы можем существенно изменять кучность. Скорее всего, это происходит от того, что при изменении положения пули в стволе изменяются и вибрации ствола, и время нахождения пули в стволе. Также не очевидна связь скорости с временем нахождения пули в стволе из-за неясности, как влияет глубина посадки пули на процесс ее страгивания и прохождения пульного входа. При линейном изменении положения пули в стволе ее скорость колеблется в небольших пределах. При этом не ясно, может ли пуля настолько по-разному двигаться в начальный момент, что между скоростью и временем пребывания пули в стволе не будет жесткой связи.  По сути, на сегодняшний день нет физической модели, которая достоверно отражала бы влияние положения пули в стволе на механику и внутреннюю баллистику и связывала бы положение пули в стволе, вибрации ствола, время нахождения пули в стволе и скорость пули.

Также сложно получить исходные данные и увязать в систему вибраций взаимодействие ствола со ствольной коробкой, прикладом, прицелом, ложем, плечом стрелка, сошками или другими упорами.

Однако эти проблемы, как и другие, связанные с моделью вибрации, могут быть решены построением отдельных блоков модели по экспериментальным данным.

Результаты и обсуждение.

Роль 0D-моделей и связка с моделью вибраций ствола.

Из проведенного анализа математических моделей внутренней баллистики вытекает важный вывод: 0D-модель внутренней баллистики сама по себе не предназначена для настройки винтовки на экстремальную кучность. Она не знает ничего о колебаниях ствола, не умеет считать угол дульного среза и, тем более, рассеивание по мишени. Зато она даёт критически важные входные данные для «кучной» модели: время вылета пули , профиль давления , ускорение пули (и, следовательно, осевую силу на ствол), — то есть возбуждающее воздействие для модели вибраций. Поэтому корректная постановка задачи настройки на экстремальную кучность такова:

1. Использовать 0D-модель для расчёта времени вылета и основных характеристик внутренней баллистики при различных навесках и посадках.
2. Подать эти данные в модель колебаний ствола (минимум — в виде «времени нахождения пули в стволе» и модальных форм; максимум — как нагружение по длине ствола).
3. Искать режимы, где момент вылета попадает в «окно» минимальных смещений и скоростей дульного среза — и уже эти режимы проверять на мишени.

Вибрации ствола и внутренняя баллистика связаны более тесно, чем принято считать. Движение пули в вибрирующем стволе может заметно отличаться от ее движения в жестком неподвижном стволе. При движении пули по стволу продольные волны могут проноситься от патронника к дульному срезу и обратно несколько раз до вылета пули. В такой модели пуля многократно проходит места локальных расширений, сжатий и изгибов ствола, соответственно, в эти моменты она может тормозиться или ускоряться. Такое движение пули, в свою очередь, будет влиять на волновые процессы и горение пороха в стволе. Именно в такой связке: 0D-внутренняя баллистика → модель вибраций ствола → расчёт чувствительности к разбросу → поиск оптимальной навески программы наподобие QuickLOAD/GRT/P-Max/Precise Load могут стать частью инструментальной цепочки для настройки винтовки на экстремальную кучность — но сами по себе, без модели динамики ствола, они эту задачу решить не могут.

Современное состояние внутренней баллистики для спортивной винтовки можно суммировать в несколько ключевых тезисов.

Теоретическая база: «скелет» уже сформирован. На уровне фундаментальных уравнений — уравнение состояния Нобля–Абеля, закон Вьей, термодинамический баланс, одномерная и двумерная газодинамика — теория внутренней баллистики в целом сложилась и хорошо формализована [1–5, 10–12, 23–33]. Развитие идёт вглубь, а не вширь: уточняются стандартные функции, совершенствуются уравнения состояния и термохимические модели, развиваются двухфазные описания «твёрдый порох + газ», активно решаются обратные задачи по экспериментальным данным [10–11, 22].

Для винтовочных калибров мы уже располагаем системой физических уравнений и формальных эмпирических поправок, которая при грамотной постановке задачи и калибровке даёт точность расчётов по начальной скорости порядка 1–3 %, а в ряде случаев и лучше. С точки зрения именно физической модели и формы уравнений поводов ожидать революций немного.  Дальнейшие улучшения, скорее всего, будут касаться параметров и алгоритмов, а не принципиально новых законов.

Прикладные программы: зрелые 0D-инструменты. Для стрелка-спортсмена основным рабочим инструментом стали прикладные программы на основе 0D-моделей — QuickLOAD, GRT, P-Max, Precise Load и аналогичные им [3, 6–9, 13, 15]. В компактной форме они реализуют классическую термодинамическую схему: баланс массы газов; уравнение Нобля–Абеля; закон горения пороха со стандартной функцией; уравнение движения пули с порогом страгивания и трением; энергетический баланс.

Эти программы позволяют за минуты оценивать давление, начальную скорость, время выстрела, нагрузку на ствол при различных навесках и конфигурациях патрона. При аккуратной подготовке исходных данных и калибровке их точность по скорости достигает 0,5–3 %, а относительная шкала давления оказывается вполне пригодной для инженерных оценок. Абсолютные значения давления остаются приближенными, но их задача — скорее обозначить уровень риска, чем заменить баллистический ствол.

Ограничения: где заканчивается внутренняя баллистика. При всех достоинствах 0D-подход имеет жёсткие ограничения. Он не видит распределения давления и температуры по длине и сечению ствола, а значит, не способен учитывать локальные экстремумы и тонкие эффекты теплообмена; он принципиально не включает колебания ствола — ни продольные, ни поперечные, ни «крутильные»; он не описывает напрямую рассеивание на мишени, так как не моделирует мгновенное положение и угловую скорость дульного среза в момент выхода пули. При этом существенную часть практических ошибок дают вообще не уравнения, а исходные данные: неточно измеренный объём гильзы, геометрия патрона «по каталогу», неучтённая температура, произвольные значения начального давления и трения. При этом сами по себе 0D-модели достаточно «честные» — их можно считать уже зрелым «двигателем», который нуждается не столько в переделке, сколько в качественном топливе (данных) и правильной обвязке.

Интегрированная модель: внутренняя баллистика + вибрации ствола + внешняя баллистика. Для настройки винтовки на экстремальную кучность одной внутренней баллистики недостаточно. 0D-модель даёт нам: профиль давления ; путь и скорость пули ; время вылета и время нахождения пули в стволе . Но сам по себе этот набор не отвечает на главные вопросы стрелка: в каком направлении смотрел ствол в момент выхода пули и насколько чувствительно это направление к разбросу внутренних параметров; по какой траектории полетит группа пуль, которая вышла из ствола под немного разными углом и направлением?

Концептуально следующая ступень видится как интегрированная модель, включающая:

1. Блок внутренней баллистики (0D или, в перспективе, 1D-упрощение) – расчёт , , , при заданных навеске, посадке пули, температуре и т. д.
2. Блок механики ствола – модель продольных и поперечных колебаний ствола (от простой модальной схемы до конечно-элементного описания), использование результатов внутренней баллистики как возбуждающего воздействия (осевая сила от давления, масса и ускорение пули) с обратной связью о шагам, расчёт смещения и угла дульного среза , , а также их производных по времени.
3. Блок внешней баллистики и расчёта кучности – постановка начальных условий по скорости, углу и направлению вылета пуль из блоков внутренней баллистики и механики ствола; распространение этих состояний на мишень с учётом ветра, баллистического коэффициента и т. п.; оценка чувствительности точки попадания к малым вариациям , , усилию посадки и т. д.

В такой связке становится возможным строго сформулировать задачу настройки на кучную полку: найти такие параметры патрона, при которых время вылета попадает в интервал, где и минимальны (дульный срез квази-неподвижен);  мало (время нахождения пули в стволе образует полку по навеске); чувствительность точки попадания к вариациям внутренних параметров минимальна.

Идеи, аналогичные методу OBT Кристофера Лонга, уже прокладывают мостик между внутренней баллистикой и продольными колебаниями. Но в перспективе возможна более богатая и строго обоснованная версия: с учётом реальных мод ствола, его крепления, навесного оборудования, а также статистики вариаций патронов.

Роль ИИ и «цифровых двойников» в будущем моделей. Рост вычислительных мощностей и развитие методов искусственного интеллекта логично подталкивают внутреннюю баллистику и связанные с ней механику ствола и внешнюю баллистику в нескольких направлениях.

Инверсные задачи «под ключ». Уже сегодня можно решить обратную задачу: по нескольким сериям «навеска–скорость», измерениям усилия посадки и, при наличии, данным о давлении, автоматически подобрать параметры пороха, трения, стартового давления и теплопотерь. Методы оптимизации и машинного обучения позволяют оценивать параметры модели вместе с их доверительными интервалами; выдавать не одну «кривую давления», а диапазон возможных решений с указанием вероятностей; учитывать различия в партиях пороха, латунью и пуль. Для стрелка это означает переход от «попадания на глазок» к формальной калибровке своей системы «ствол–патрон» по набору объективных измерений.

Аппроксимирующие и гибридные модели 0D–1D–CFD. Полноценные 2D/3D CFD-расчёты слишком тяжелы для повседневного использования. Но ИИ-модели (нейросетевые аппроксимации), обученные на заранее просчитанных выборках, могут мгновенно оценивать сложные зависимости, ранее доступные только в больших моделях; служить «продвинутым EOS» или «модулем горения», встроенным в 0D или 1D-код; давать поправки к простой модели в тех областях, где она систематически ошибается. В перспективе стрелок может использовать, по сути, тот же «0D-интерфейс», но на уровне ядра под ним будет работать гибрид «0D + аппроксимации 1D/3D», уже откалиброванный по более сложным расчётам и экспериментам. По сути, 0D модели уже являются аппроксимациями (симуляторами) в заданных диапазонах параметров. Например, по программе GRT мы не можем в широких пределах изменять навеску, длину и твист ствола, чтобы в познавательных целях просчитать дозвук или посмотреть, при какой навеске и длине ствола пуля застрянет в нем, или при каком твисте пуля сорвется с нарезов и т. п.

Интеграция модели внутренней баллистики с моделью вибраций и внешней баллистикой. ИИ здесь может выполнять роль быстрого модуля колебаний ствола, который по набору геометрических параметров, способу крепления и профилю давления оценит фазу и амплитуду колебаний дульного среза; «оптимизатора узлов», предлагающего стрелку кандидатов навески на кучную полку, исходя из связанного анализа внутренней баллистики и динамики ствола; инструмента, строящего цифровой двойник винтовки: модель, учитывающую реальный ствол, реальные патроны и реальные измерения, и способную предсказывать не только скорость, но и ожидаемое рассеивание на различных дистанциях. Уже несколько десятилетий в различных отраслях промышленности для многофакторных и статистических расчетов применяют аппроксимации сложных физических моделей в узких диапазонах изменения факторов. Однако подбор аппроксимирующих полиномов или других зависимостей до появления нейросетей выполнялся специалистами вручную. Передача этой функции нейросети радикально изменяет ситуацию с созданием цифровых двойников винтовок. То есть путь от 0D-моделей внутренней баллистики к модели экстремальной кучности — это не замена одних уравнений другими, а их аппроксимация «встраивание» в более широкий контекст: механику ствола, внешнюю баллистику и богатую измерительную базу, усиленную методами ИИ для комплексного решения задачи от патрона до пробоин на мишени.

Расширение измерительной базы и онлайновая адаптация. Появление доступных датчиков давления, оптоволоконных сенсоров, лазерных дальномеров, высокоточных устройств для измерения усилия посадки и страгивания, а также развитие «умных» хронографов создаёт всё более плотный поток данных. Для ИИ это идеальная среда: каждая сессия стрельбы становится экспериментом, по результатам которого цифровой двойник винтовки сам улучшается и подстраивается.  

Заключение.

Что это всё означает для стрелка-спортсмена.

Стрелок в перспективе может получать не только текущие рекомендации по навеске, но и оценку кучной полки, оценку риска выхода за пределы безопасного давления, прогноз изменений при смене партии пороха или гильз и т. п. Если суммировать, картина выглядит так: на уровне уравнений внутренней баллистики революций не будет. Нынешний набор — Нобль–Абель, закон Вьей, термодинамический баланс, стандартные кинематические модели пули — уже достаточен для очень точных расчётов в рамках доступных измерений. Главное поле роста — аппроксимации сложных моделей нейросетью, адаптация к конкретным задачам, исходные данные и связка трех моделей «внутренняя баллистика-механик-внешняя баллистика» в интегрированный комплекс.

Эту схему условно можно представить таким образом. Есть сайт, на котором собраны сложные физические модели и базы данных и который обслуживается и развивается специалистами. Стрелку не нужно погружаться внутрь моделей в сложную физику и математику, ему важны исходные данные и результат. Он заказывает упрощенную по структуре, но такую же точную цифровую копию конкретно своей винтовки или своих задач. Нейросеть на основе его исходных данных и сложных физических моделей создает простую аппроксимацию модели, которую можно в том числе встраивать в комплекс стрелка или в его приборы (метеостанцию, хронограф и т. п.). Со временем такие модели приведут к появлению систем, на входе которых будут исходные данные, получаемые в том числе с датчиков ветра, температуры, давления, данные по патрону и винтовке, а на выходе данные по обнулению прицела на точку попадания. Хотя в открытом доступе очень мало информации, но, судя по ней, основы этой технологии уже применяются в продвинутых системах управления огнем. Они объединяют лазерные дальномеры, баллистические вычислители и датчики окружающей среды для расчета точки прицеливания и обнуления прицела.

Основные резервы точности таких интегрированных комплексов лежат в аккуратной подготовке исходных данных (геометрия, объём, температура, трение); систематической калибровке моделей под конкретную винтовку; в организации обмены данными блоков внутренней баллистики, вибраций ствола и внешней баллистики. Искусственный интеллект станет не заменой физике, а усилителем и инструментом создания упрощенных моделей под конкретную задачу. Его роль — помочь решать обратные задачи, строить аппроксимирующие модели сложных процессов, связывать разрозненные измерения в единый цифровой двойник системы «ствол–патрон–окружающая среда - стрелок».

Для спортивной стрельбы это в перспективе означает: переход от полуинтуитивной «обкатки навесок» к осознанной и воспроизводимой настройке винтовки на экстремальную кучность, когда время вылета и профиль давления известны с хорошо оценённой точностью, фаза колебаний дульного среза в этот момент рассчитана, а выбор навески и посадки пули делается не вслепую, а на основе связанной физической и статистической модели:  использование полученных настроек в комбинации с данными о конкретных условиях стрельбы для обеспечения максимальной вероятности попадания в цель.

 

Список литературы:

1. Precise Load : web-based internal and external ballistics calculator for reloaders. –PreciseLoad.com (дата обращения: 17.11.2025).
2. Johnston I. A. The Noble–Abel Equation of State: Thermodynamic Derivations for Ballistics Modelling. // Propellants, Explosives, Pyrotechnics DSTO, 2005.
3. Kolbe G. Classical Internal Ballistics: For the Digital Age. – Border Ballistics Technologies, 2023.
4. Carlucci D. E., Jacobson S. S. Ballistics: Theory and Design of Guns and Ammunition. – 3rd ed. – Boca Raton : CRC Press, 2024.   
5. AMCP 706-150. Engineering Design Handbook. Ballistics Series. Interior Ballistics of Guns. – U.S. Army Materiel Command, 1965.
6. QuickLOAD Interior Ballistics Program : User’s Manual. – NECO, 2000-е гг. 1.
7. Gordon’s Reloading Tool (GRT) : Documentation & User Manual. – GRT Project, 2019–2025. –grtools.de (дата обращения: 17.11.2025).
8. P-Max Internal Ballistics Simulator. – Border Ballistics Technologies, 2020–2025. –p-max.uk (дата обращения: 17.11.2025).
9.  Precise Load – New Web-Based Interior Ballistics Calculator. – SnipersHide, 2025.
10. Fluid Dynamic Investigation of Projectile Movement Inside and Outside of the Tube: Numerical–Experimental Assessments and Two Equations of State Comparison // Defence Technology (on-line). – 2023.
11. Ballistics Software (Interior / Internal) used by Hand Loaders. – ReloadToday.com, 2020.
12. Internal Ballistics. – KWK Ballistics Web Site. – Режим доступа: kwk.us/ibsw.html (дата обращения: 17.11.2025).
13. Gordons Reloading Tool. User Manual & Handbook. Version 2021. – GRT Project, 2021.
14. Gordons Reloading Tool – Reload Swiss Powder Data. – Reload-Swiss.com, 2022.
15. Reloading Bullets: Essential Software. – Rifle-Shooter.com, 2022.
16. New BBT “P-Max” Internal Ballistics Program. – UKVarminting.com Forum, 2020.
17. Precise Load. Web-based Internal Ballistics Calculator. – PreciseLoad.com, 2023-2025.
18. Quickload vs Manufacturers’ Limits – Massive Disparities. – TheStalkingDirectory.co.uk, 2021.
19. Gordon’s Reloading Tool. – Reload Swiss Website, Simulation Tools, 2021.
20. Kolbe G. Kolbe–Leduc Internal Ballistics System. – Geoffrey-Kolbe.com, 2020.
21. Tuto GRT FR : fonctionnalités avancées (OBT, charges optimales). – 2023.
22. Chris Long. Optimal Barrel Time [Электронный ресурс] // The Long Family. – 2003–2004. –URL: https://www.the-long-family.com/OBT_paper.htm (дата обращения: 17.11.2025).
23. Ongaro F., et al. Modelling of internal ballistics of gun systems: A review // Defence Technology. 2024.
24. Schmidt M. Improvement of Barrel Weapon Internal Ballistic Model Using Dynamic Vivacity Function // Advances in Military Technology. 2021.
25. Leciejewski Z. Evaluation of the Burning Rate of Black Powder used in Polish Artillery in the 17th Century // Central European Journal of Energetic Materials. 2025.
26. Miner R. Computational Interior Ballistics Modeling. – M.Sc. Thesis, University of New Mexico, 2013.
27. Internal Ballistics. // Wikipedia : free encyclopedia. – Accessed 2025.
28. Study of Interior Ballistics. Extended Abstract. – Instituto Superior Técnico, Lisbon, 2014.
29. Ballistics Software (Interior/Internal) used by Hand Loaders. // ReloadToday.com, 2020.
30. Ingalls J. M. Interior Ballistics. – Washington: Government Printing Office, 1912.
31. Interior Ballistics of Guns. Interior Ballistics Design Handbook. – U.S. Army Materiel Command, 1965.
32. 21. Kolbe G. Classical Internal Ballistics: For the Digital Age. – Newcastleton: Border Ballistics Technologies, 2025.
33. 21. Kolbe G. P-Max Internal Ballistics Simulator. – Border Ballistics Technologies, 2020-2025.
34. Achenbach J. D. Wave Propagation in Elastic Solids. – Amsterdam: North-Holland, 1973. – 425 p.
35.  Graff K. F. Wave Motion in Elastic Solids. – New York: Dover Publications, 1991. – 704 p.
36. Landau L. D., Lifshitz E. M. Theory of Elasticity. – 3rd ed. – Oxford: Butterworth-Heinemann, 1986. – 195 p.
37. Love A. E. H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. – 4th ed. – Cambridge: Cambridge University Press, 1927. – 643 p.
38. Esen I., Koç M. A. Dynamic response of a 120 mm smoothbore tank barrel due to firing. // Latin American Journal of Solids and Structures. – 2015. – Vol. 12, No. 9. – P. 1725–1744.
39. Koç M. A., Esen I. Dynamic analysis of gun barrel vibrations due to effect of an unbalanced projectile considering 2-D transverse displacements of barrel tip using a 3-D element technique. // Latin American Journal of Solids and Structures. – 2018. – Vol. 15, No. 7. – P. e70.
40. Dursun T., et al. A review on the gun barrel vibrations and control for a main battle tank. // Defence Technology. – 2017. – Vol. 13, No. 3. – P. 167–177.
41. Li C., Yang G., Yu Q., Sun Q. Analysis of projectile–barrel coupling vibration characteristics considering the radial effect of propellant gas pressure. // Journal of Vibroengineering. – 2021. – Vol. 23, No. 5. – P. 1129–1139.
42. Leonhardt D. Barrel Vibrations in Small Arms using Combined Experimental/Computational Methods: PhD thesis. – Christchurch: University of Canterbury, 2021.
43. Zhao Y., et al. Research on vibration characteristics of gun barrel based on experiment and simulation. // AIP Conference Proceedings. – 2017. – Vol. 1820. – P. 020017.
44. Liennard M. An analysis of the accelerations of a projectile in a gun tube. // Mechanics & Industry. – 2018. – Vol. 19, No. 4. – P. 405.