ВОЗМОЖНОСТИ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ КАЛЬКУЛЯТОРОВ ДЛЯ ТОЧНОГО РАСЧЁТА ТРАЕКТОРИИ ВИНТОВОЧНОЙ ПУЛИ

АННОТАЦИЯ

В статье приведены принципы построения и общая система уравнений 6DOF моделей внешней баллистики, применяемая в современных баллистических калькуляторах. Рассмотрено развитие систем прицеливания на базе 6DOF моделей в будущем. Показано, что точность баллистических калькуляторов ограничивается не детализацией физических и математических моделей, а точностью исходных данных и качеством их калибровки.

Статья будет полезна спортсменам-стрелкам, охотникам, а также всем любителям высокоточной спортивной стрельбы из нарезного оружия.

Работа выполнена в интересах мирового спортивного стрелкового сообщества по инициативе авторов и на их собственные средства, с использованием открытых источников информации.

ABSTRACT

The article presents the principles of construction and the general system of equations of 6DOF models of external ballistics, which is used in modern ballistic calculators. The development of aiming systems based on 6DOF models in the future is considered. It is shown that the accuracy of ballistic calculators is limited not by the detail of physical and mathematical models, but by the accuracy of the initial data and the quality of their calibration. The article will be useful to competitive shooters, hunters, and all enthusiasts of precision rifle shooting. This work was undertaken in the interest of the global competitive shooting community at the authors’ initiative and funded from their own resources, using open-source information.

Ключевые слова: внешняя баллистика пуль, баллистический калькулятор

Keywords: external ballistics of bullets, ballistic calculator

Введение

В последние годы баллистические калькуляторы стали повседневным инструментом спортсменов и охотников. Они встроены в мобильные приложения, лазерные дальномеры, метеостанции и даже оптические прицелы. Для подавляющего большинства пользователей калькулятор воспринимается как «чёрный ящик». На вход подаются начальная скорость, баллистический коэффициент, дальность, угол, погода и ветер — на выходе ожидается «готовая» поправка в кликах прицела. Если расчёты не совпадают с фактической точкой попадания, привычной реакцией часто становится вывод: «модель несовершенная», «калькулятор врёт», «физика не учитывает что-то важное». На самом деле чаще всего это происходит от небрежно введенных исходных данных. Нам показалось важным донести до стрелков, что математическое описание физических процессов в современных калькуляторах не лимитирует их точности.

На уровне фундаментальной механики и аэродинамики современные модели, закладываемые в баллистические калькуляторы, достаточно совершенны, а проблемой является качество исходных данных: аэродинамических таблиц (drag-моделей и коэффициентов сил и моментов), параметров конкретной пули и ствола, реального профиля ветра и атмосферных условий, а также корректность измерений начальной скорости и настройки оружия.

Исторически развитие баллистики сначала шло от предельно упрощённых моделей — параболической траектории без сопротивления воздуха, далее — к табличным приближённым методам Маевского, Сиаччи и Ингаллса [1-3], далее к модифицированной точечной модели [4] и, наконец, после появления быстродействующих процессоров - к полному описанию полёта пули как вращающегося твёрдого тела в шести степенях свободы (6DOF). На этом уровне пуля описывается не только как «точка с массой и площадью миделя», но и как объект с инерцией, ориентацией в пространстве, угловой скоростью и аэродинамическими моментами. В такую модель естественным образом входят все привычные стрелку эффекты: падение под действием гравитации, сопротивление воздуха, влияние числа Маха, спин-дрейф, рыскание, аэродинамический прыжок, ветровой снос, вращение, кориолис и зависимость траектории от температуры, давления и влажности.

Практический опыт разработчиков высокоточных расчётных комплексов показывает, что, начиная с уровня 4DOF/6DOF, ограничивающим звеном становятся не уравнения, а точность и полнота аэродинамических данных для конкретной пули, корректность моделирования атмосферы и ветра, а также степень калибровки модели по результатам реальной стрельбы. Иными словами, при использовании современной физической модели траектории основная неопределённость переносится из области «описываем ли мы полёт правильно» в область «насколько хорошо мы знаем параметры среды и самой пули».

В этом контексте задача настоящей статьи — не предложить «ещё одну» упрощённую форму баллистических формул, а предельно прозрачно показать структуру полной системы уравнений внешней баллистики винтовочной пули, на которой строятся наиболее точные современные программы расчёта. Мы последовательно выпишем систему уравнений движения в шести степенях свободы, поясним физический смысл каждого члена, свяжем их с привычными стрелкам эффектами и покажем, что на уровне модели учтены все ключевые факторы, влияющие на траекторию. Тем самым мы отделим вопрос адекватности физического описания от вопроса качества исходных данных и тем самым создадим основу для осознанного использования и критической оценки баллистических калькуляторов стрелком-практиком.

Цель этой статьи — показать, что современная система уравнений внешней баллистики для винтовочной пули сама по себе является достаточно совершенной и полной, чтобы описать реальный полёт пули с требуемой для высокоточной стрельбы точностью.

Материалы и методы.

1. С кем мы вообще спорим: классики баллистики

Корни понимания того, что делает и за что отвечает баллистический калькулятор, уходят глубоко в историю создания моделей полета пули. Перечислим «классиков» внешней баллистики.

• Николай Маевский (N. V. Mayevski) — придумал концепцию «стандартного снаряда» и табличного сопротивления [1]. По сути, наш соотечественник - прадедушка всех «G1/G7 BC», введение которых часто приписывается другим исследователям.
• Франческо Сиаччи (F. Siacci) — разработал метод расчёта траектории при малых углах [2]. Это то самое «плоское» приближение, которое до сих пор живёт в простых формулах.
• Джеймс Ингаллс (J. M. Ingalls) — собрал всё это в рабочие таблицы для артиллерии [3].
• Франклин Манн (F. W. Mann) — «тот самый сумасшедший», который построил бетонный тоннель, зажал винтовку в бетон, стрелял тысячи раз и показал, как маленькие начальные ошибки превращаются в разлёт на мишени [5].
• Роберт Маккой (R. L. McCoy) — уже в XX веке формализовал всё это в современный язык: point-mass, 3DOF, 6DOF [4]. Его книга — «библия» для тех, кто пишет баллистический софт.
• Артур Пейша (A. J. Pejsa) — сделал красивые компактные формулы для стрелков, чтобы не возить с собой артиллерийские таблицы [6].
• Брайан Литц (Bryan Litz) — наш современник, известный в спортивном мире: взял допплер-радар, реальные пули, реальные винтовки и построил огромную базу реальных кривых сопротивления. Его пакет Applied Ballistics — стандарт для спорта [7-9].

Все они выдающиеся энтузиасты своего дела. Параллельно с ними работала промышленность, где сейчас уже сложно выделить отдельные персоны: PRODAS, внутренние 6DOF-коды Lapua, Nammo, Hornady, FOI и т. д. — всё это реальные программы, которые считают более сложные траектории более сложных объектов, и оттуда тоже подпитывается какими-то важными идеями развитие баллистических калькуляторов для наших спортивных дисциплин [10-13].

Результаты и обсуждение.

2. Что на самом деле делает баллистический калькулятор

С точки зрения математики всё очень просто. Программа крутит во времени набор чисел, где сейчас пуля, куда она смотрит, как она вращается и какие силы на неё действуют [4, 12, 13].

В самой развитой модели в 6DOF учитывается:

• положение пули в пространстве — три числа ;
• скорость пули — ещё три числа;
• ориентация пули (куда «смотрит» нос) — четыре числа (кватернион);
• угловая скорость (как она крутится вокруг трёх осей) — ещё три числа.

Всего получается 16 параметров, которые меняются во времени.

Они записываются в векторной форме:

Это и есть «вектор состояния». Калькулятор делает следующее: берёт это всё на момент времени , считает силы и моменты → чуть сдвигает состояние на . И так тысячи шагов до мишени [4].

3. Выбор осей (как договоримся считать «вверх», «вправо» и «вперёд»)

Чтобы не запутаться, жёстко договорились о системе отсчета:

• земная система (E):

• — вперёд, в сторону цели при выстреле;
• — вправо;
• — вверх.

• связанная с пулей (B):

• — вдоль оси пули, от донца к носу;
• — вправо относительно пули;
• — вниз или вверх (как задаст код; мы будем считать вниз).

Тогда:

Это тривиальное уравнение: «изменение координаты = скорость» [4]. Но без него никак.

4. Поступательное движение (классика Ньютона в стрелковом виде)

Векторное уравнение:

Разберём его по частям:

4.1. Гравитация

Здесь всё привычно:

Это то самое «падение вниз», которое вы чувствуете, когда в калькуляторе смотрите «drop» в МОА/MIL [4].

4.2. Аэродинамика — то, ради чего вообще нужен BC

Код считает аэродинамику в осях пули, потому что так легче:

Здесь:

— площадь миделя;

— плотность воздуха;

— скорость пули относительно воздуха (не земли!);

— «лобовое» сопротивление, отвечает за торможение и, через время полёта, за падение;

— боковая сила, сюда попадает ветровой снос и спин-дрифт;

— подъёмная или опускающая сила в вертикальной плоскости, через неё живёт «аэродинамический прыжок и часть влияния ветра по высоте [4, 10–13].

Введём ортонормированную систему координат B, жёстко связанную с пулей, и земную (инерциальную) систему координат E. Ортогональная матрица C_BE задаёт ориентацию пули в пространстве, то есть осуществляет линейное преобразование компонент любого вектора из системы E в систему B и обратно (матрица перехода между B и E):

Где — матрица перехода от связанной с пулей системы координат к земной (инерциальной) системе координат, которая вытаскивается из ориентации (кватерниона) [4, 12, 13].

4.3. Кориолис: то самое, что «чуть-чуть уводит в сторону».

Для дистанций до 600–800 м им можно пренебречь. Для 1–2 км, особенно если стрелять на север или юг и стремиться к более высокой точности, чем «± 0.2 м», — хорошо бы учитывать:

— угловая скорость вращения Земли. Суть: пуля летит в системе, которая сама вращается. Эффект небольшой, но он есть — отсюда поправки «Coriolis» в продвинутых калькуляторах [4, 7, 12].

5. Вращательное движение: от твиста до «spin drift»

Теперь что происходит с ориентацией пули и её спином. Пуля — в современных моделях это не шарик, а удлинённое тело, которое крутится вокруг своей оси со скоростью десятки тысяч оборотов в секунду [4, 12, 13]. Угловая скорость равна:

где:

— spin вокруг продольной оси (нарезы),

— поперечные составляющие угловой скорости — тангаж и рыскание.

Уравнение движения (Эйлер) в осях пули:

Переводим: Изменение спина и «рысканья» определяется моментами, а моменты — это аэродинамика и инерция самой пули [4]. Аэродинамические моменты:

d — калибр;

— момент по крену, отвечает, грубо, за раскрутку и затухание спина;

— момент по тангажу, отвечает за устойчивость по высоте;

— момент по рысканию, отвечает за устойчивость по направлению [4,12,13].

Именно в этом блоке формируются:

• угол установившегося крена и рыскания — маленький устойчивый наклон пули в сторону (для правого твиста — вправо и немного вверх), это источник гироскопического дрейфа;
• аэродинамический скачок траектории — короткий скачек траектории при резком боковом ветре (например, когда пуля вылетает из ствола и попадает в боковой поток) — отсюда jump-поправки.

При использовании полной системы уравнений вращательного движения (5–6) с корректно заданными аэродинамическими коэффициентами все перечисленные эффекты естественным образом проявляются в решении без введения каких-либо дополнительных эмпирических поправок [4,7,10–13].

6. Ориентация пули:

Чтобы каждый раз не путаться в трёх углах Эйлера и синусах/косинусах, в 6DOF берут кватернион . Он кодирует, как надо повернуть «пулю» (B), чтобы сориентировать ее в пространстве (E) [4,12,13]. Его динамика:

Где матрица — это просто компактная запись связи «угловая скорость → изменение ориентации». Стрелку можно запомнить проще: спин + рысканье → через кватернион → как пуля ориентирована к потоку → какие углы атаки видит аэродинамика [4,12].

7. Ветер: как он «заходит» в уравнения

Очень важный момент: ветер не просто добавляется к траектории «сбоку».
Для 6DOF ветер — это скорость воздуха, а пуля летит относительно воздуха.

Пусть:

— скорость пули относительно земли;

— скорость воздуха (ветер) в точке траектории.

Тогда относительная скорость:

Переводим в оси пули:

И вот из этого получаем:

• угол атаки :

• угол скольжения :

Дальше эти идут в аэродинамические таблицы и дают нам:

• ветровой снос → через ;
• вертикальные эффекты ветра (jump, поднятие/опускание траектории при ветре под углом) → через и моменты  [4,7,10–13].

То есть: ветер в 6DOF — это не просто «добавили пару метров в секунду сбоку».
Это изменение угла атаки и угла скольжения, из которых рождаются боковая и вертикальная «подъёмная» сила и моменты.

8. Атмосфера и Mach: почему одна и та же пуля ведёт себя по-разному зимой и летом

Нужно две вещи:

• плотность воздуха — влияет на «силу» сопротивления;
• скорость звука — чтобы считать Mach:

Все аэродинамические зависимости  хранятся как функции .

Условно:

откуда в дозвуке или сверхзвуке пуля тормозится по-разному; в трансзвуке (около ) происходят все тонкие эффекты: дополнительное торможение, изменение устойчивости, возможные неожиданные вертикальные и боковые отклонения [4,7,8,10–13].

Всё это «зашито» в таблицах, которые в серьёзных кодах получены по данным газодинамических труб, допплер-радара и/или CFD-расчётов [7,8,10–13].

9. Резюмируем уравнения как «алгоритм для стрелка»

Если собрать всё вместе, то каждый шаг интегрирования делает:

1. Обновляет положение: .
2. Обновляет ориентацию (кватернион) по (7), исходя из текущей угловой скорости.
3. Считает ветер в точке траектории.
4. Считает скорость относительно воздуха и углы по (8–11).
5. По Mach и углам достаёт аэродинамические коэффициенты из таблиц.
6. Собирает силы (гравитация, аэродинамика, кориолис) — (1–4).
7. Собирает моменты — (5–6).
8. Обновляет скорость и угловую скорость .
9. И так — до тех пор, пока не дорастёт до дистанции мишени или пока пуля «не упадёт» [4,12,13].

И всё это — ради того, чтобы в итоге мы в калькуляторе получили:

• drop в MIL или МОА,
• wind drift для конкретного направления и силы ветра,
• учтённый spin drift, кориолис, jump и прочие «мелочи», которые на 1000–2000 м уже не мелочи [4,7–9,10–13].

10. Где это живёт в реальных программах

Коротко по пакетам, которые можно использовать:

• Applied Ballistics (Litz) — формально это « модифицированная точечная модель», но с очень точными индивидуальными drag-кривыми (CDM) и учётом spin drift, Coriolis и т.д. Для винтовочных пуль до 2 км по факту это «золотой стандарт» [7–9].
• Lapua Ballistics — для пуль Lapua использует внутренний 6DOF-движок Lapua, для прочих пуль — point-mass с BC [8,10].
• Калькулятор Игоря Борисова / Strelok, Strelok+, Strelok Pro (Igor Borisov) — семейство баллистических калькуляторов, изначально созданных как «прикладной» инструмент для стрелков. Реализует модифицированную точечную модель (point-mass), поддерживает G1/G7 BC, для Strelok Pro — также пользовательские drag-функции, библиотеки пуль и прицелов, учёт угла выстрела, температуры, давления, spin drift, Coriolis и привязку к конкретным прицелам и сеткам. По сути, это практико-ориентированный калькулятор, нацеленный на прямую работу стрелка «в поле»: основной акцент не на глубине физической модели, а на удобстве интерфейса, большом каталоге прицельных сеток и возможности быстро получить прикладную поправку под конкретный прицел и винтовку [7–9,14,15].
• Hornady 4DOF — промежуточный вариант: более полная аэродинамика, чем BC-модель, но не полноценный 6DOF [10].
• PRODAS, академические 6DOF-коды — это уже серьезные пакеты, там считается всё, о чём мы выше говорили, с огромными таблицами и детальной моделью атмосферы и ветра [11–13].

Для стрелка-практика на дистанции до 2 км первых трех калькуляторов вполне достаточно. Более того, если в программе хорошие аэродинамические данные и учтены основные физические эффекты, то разница между «красивыми» 6DOF и грамотной point-mass/4DOF-моделью после калибровки по реальному drop'у будет небольшой [4,7–10,12,13]. А вот разница между «BC из коробки» и «правильной CDM/6DOF с калибровкой» — очень заметна. Поэтому точность использования баллистических калькуляторов ограничивается точностью исходных данных и качеством их калибровки [7–9,10–15].

Заключение

Система уравнений внешней баллистики для винтовочной пули, которую мы в общем виде разобрали в этой статье, — это, по сути, «полный словарь» того, что происходит с пулей в полёте. На самом «грубом» уровне она опирается на те же идеи, которые заложили Маевский, Сиаччи, Ингаллс и Манн: гравитация, сопротивление воздуха, влияние формы и скорости [1–3,5]. На более современном уровне — это 6DOF-модель жёсткого тела по Маккою, дополненная точными аэродинамическими данными, которые сегодня получают с помощью допплер-радара, аэродинамических труб и численного моделирования потока [4,7,8,10–13].

Важно подчеркнуть: сами по себе уравнения 6DOF не являются «модой» или маркетинговой надстройкой. Это естественная верхняя ступень развития классической баллистики. В них органично и непротиворечиво живут все такие «стрелковые» эффекты, как гироскопический дрейф пули (spin drift), устойчивый угловой наклон пули (yaw of repose), аэродинамический скачок траектории (aerodynamic jump), ветровой дрейф, влияние плотности воздуха, кориолис [4,7–10,12,13]. Вопрос «нужен ли мне 6DOF» на уровне стрелка обычно сводится не к математике, а к тому, насколько качественно известны аэродинамические коэффициенты и какова погрешность по ветру и атмосфере.

Для практической стрельбы на дальности до 1–2 км хорошо построенная модифицированная точечная модель (point-mass / 4DOF) с корректными drag-кривыми и калибровкой по реальному падению зачастую даёт погрешности, сравнимые с 6DOF [4,7–10]. При этом 6DOF остаётся необходимым инструментом там, где речь идёт об исследовании устойчивости, сложных режимах полёта (большие углы, транзоника, нестандартные конфигурации) [4,11–13]. Если смотреть вперёд, можно ожидать, что математическая основа — система уравнений, описанная в этой статье, — останется в ближайшие десятилетия неизменной. Развиваться будут три других слоя:

1. Аэродинамические данные. Уже сейчас ведущие компании используют не абстрактные G1/G7, а индивидуальные drag-модели для каждой пули. Логичный следующий шаг — расширенные таблицы для коэффициентов сил и моментов в функциях от Mach, угла атаки и угловых скоростей, полученные на базе совмещённых измерений (радар + CFD + стендовые испытания) [7,8,10–13]. Это не изменит структуру уравнений, но сделает их «наполнение» более точным.
2. Датчики и адаптация к реальным условиям. На уровне стрелка это уже видно в виде метеостанций на винтовке, лазерных дальномеров, встроенных инклинометров и компасов. Дальнейшее развитие — интеграция профиля ветра (лидар, радар, несколько метеостанций по трассе) и автоматическая калибровка модели по фактическим попаданиям [7–9,10,12,13]. По сути, речь идёт о том, чтобы 6DOF-решатель «подтягивал» свои параметры (drag, устойчивость, профиль ветра) в реальном времени под конкретную винтовку и конкретный день.
3. Роботизированные и «умные» системы прицеливания. Уже сейчас есть прицелы, которые умеют автоматически измерять дальность, угол, температуру, давление и выдавать готовую поправку [7–9,10]. Логичным продолжением станет по-настоящему роботизированный комплекс:

• электронно-управляемый прицел, знающий свою баллистическую модель (упрощённый или табличный суррогат 6DOF);
• система, считывающая профиль ветра (по датчикам или по последним выстрелам);
• привод, который сам выставляет необходимую линию прицеливания по вертикали и горизонтали.

В таком комплексе исходный «эталон» по-прежнему будет представлять собой либо 6DOF-модель, либо её быструю аппроксимацию (нейросетевой или табличный суррогат), обученную на большом наборе 6DOF-расчётов и реальных стрельб [4,7–9,11–13,15]. Искусственный интеллект в этом контексте не заменяет физику, а выполняет роль ускорителя и адаптера — помогает мгновенно оценивать поправки, подстраиваться под конкретное оружие и стрелка, оценивать доверительные интервалы по ветру [7–9,14,15].

Можно ожидать и появления гибридных моделей, где:

• в основе лежит классическая система уравнений внешней баллистики (как описано в этой статье) [1–4,11–13];
• часть сложных аэродинамических зависимостей («чёрных ящиков») заменена быстрыми приближениями на базе машинного обучения;
• система непрерывно уточняет свои параметры по результатам реальной стрельбы, превращая винтовку, пулю и стрелка в единый «цифровой объект» [7–9,14,15].

При всём этом фундамент остаётся прежним: пуля по-прежнему подчиняется законам механики Ньютона и аэродинамики, а 6DOF-модель остаётся универсальным языком, на котором описывается её полёт [4,11–13]. Всё остальное — качество исходных данных, уровень интеграции датчиков и удобство интерфейса для стрелка — это уже надстройки, которые будут меняться и совершенствоваться [7–10,14,15].

Таким образом, система уравнений внешней баллистики, рассмотренная в данной статье, с высокой вероятностью останется «ядром» точных расчётов и в будущих роботизированных, и в интеллектуальных прицельных системах [4,11–13]. Меняться будет всё вокруг неё, но не сама физика полёта пули.

Список литературы:

1. Маевский Н. V. Traité de balistique extérieure. – Paris: Gauthier-Villars, 1872.
2. Siacci F. Balistica. – Napoli: F. Casanova, 1888.
3. Ingalls J.M. Exterior Ballistics in the Plane of Fire. – New York: D. Van Nostrand, 1886.
4. McCoy R.L. Modern Exterior Ballistics: The Launch and Flight Dynamics of Symmetric Projectiles. – 2nd ed. – Atglen, PA: Schiffer Military History, 2012.
5. Mann F.W. The Bullet’s Flight from Powder to Target. – New York: Munn & Co., 1909.
6. Pejsa A.J. New Exact Small Arms Ballistics: The Source Book for Riflemen. – Kenwood Publishing, 2008.
7. Litz B. Applied Ballistics for Long Range Shooting. – 4th ed. – Cedar Springs, MI: Applied Ballistics LLC, 2023.
8. Litz B. Ballistic Performance of Rifle Bullets. – 3rd ed. – Cedar Springs, MI: Applied Ballistics LLC, 2017.
9. Litz B. Accuracy and Precision for Long Range Shooting. – Cedar Springs, MI: Applied Ballistics LLC, 2012.
10. Hornady Manufacturing. Hornady 4DOF Ballistic Calculator: Technical Overview. – Grand Island, NE: Hornady Mfg., 2018.
11. Arrow Tech Associates. PRODAS V3.5 – Projectile Design and Analysis System: User’s Guide. – Arrow Tech Associates, Inc., 2013.
12. Thuresson M. Development and Evaluation of a Six Degrees of Freedom Trajectory Model for Artillery Projectiles. – Master Thesis. KTH / FOI, 2015.
13. Todić I. Flight Dynamics of Projectiles. – Belgrade: University of Belgrade, Faculty of Mechanical Engineering, 2021.
14. GNU Exterior Ballistics Computer. – Open-source project, SourceForge; документация и руководство пользователя.
15. JBM Ballistics. Online Ballistics Calculators and Technical Notes. – JBM Ballistics LLC.